4.2等差数列 选择题专项突破训练-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册（含解析）

第四章 4.2等差数列（选择题专项突破训练）
选择性必修第二册高中数学同步专题
1．已知等差数列{an}满足a3+a6+a8+a11＝12，则2a9﹣a11的值为（　　）
A．﹣3 B．3 C．﹣12 D．12
2．等差数列{an}，{bn}前n项和分别为Sn与Tn，且（3n+2）Tn＝（2n+1）Sn，则＝（　　）
A． B． C． D．
3．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a3+S5＝18，a6＝a3+3，则数列{}的最大项为（　　）
A． B． C． D．
4．疫情防控期间，某单位把120个口罩全部分给5个人，使每人所得口罩个数成等差数列，且较大的三份之和是较小的两份之和的3倍，则最小一份的口罩个数为（　　）
A．6 B．10 C．12 D．14
5．一百零八塔位于宁夏青铜峡市，是喇嘛式实心塔群（如图）．该塔群随山势凿石分阶而建，依山势自上而下，第一阶1座，第二阶3座，第三阶3座，第四阶5座，第五阶5座，从第五阶开始塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等差数列，总计108座，故名一百零八塔．则该塔群最下面三阶的塔数之和为（　　）
A．39 B．45 C．48 D．51
6．据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多n（n为常数）盏，底层的灯数是顶层的13倍，则塔的底层共有灯（　　）
A．2盏 B．3盏 C．26盏 D．27盏
7．《九章算术 均输》中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5 钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，乙所得为（　　）
A．钱 B．钱 C．钱 D．钱
8．已知等差数列{an}中，a5，a15是函数f（x）＝x2﹣3x﹣2的两个零点，则a3+a8+a12+a17＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
9．若{an}是等差数列，且a2，a2022是方程x2﹣4x+3＝0的两个根，则2…×＝（　　）
A．4046 B．4044 C．24046 D．24044
10．已知数列{an2}为等差数列，且a1＝1，a3＝2，则a12+a22+…+a82＝（　　）
A．81 B．72 C．64 D．50
11．已知函数f（x）是定义在R上的单调增函数且为奇函数，数列{an}是等差数列，若前2022项和小于零，则f（a1）+f（a2）+ +f（a2022）的值（　　）
A．恒为正数 B．恒为负数 C．恒为0 D．可正可负
12．已知函数f（x）是定义在R上的单调递减函数，且f（x）为奇函数，数列{an}是等差数列，a158＞0，则f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a313）+f（a314）+f（a315）的值（　　）
A．恒为负数 B．恒为正数 C．恒为0 D．可正可负
13．已知数列{an}的各项为互异正数，且其倒数构成公差为3的等差数列，则＝（　　）
A． B． C．3 D．6
14．已知等差数列{an}中，，则a2+a4的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
15．设{an}是递减的等差数列，前三项的和是15，前三项的积是105，当该数列的前n项和最大时，n等于（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
16．△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinA，2sinB，sinC成等差数列，且，则＝（　　）
A． B． C．2 D．
17．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5＜S6，S6＝S7，S7＞S8，则下列结论错误的是（　　）
A．a6+a8＝0 B．S5＝S8
C．数列{an}是递减数列 D．S13＞0
18．已知等差数列{an}，满足a2019+a2020＜0，a2019 a2020＜0，且数列{an}的前n项和Sn有最大值，那么Sn取最小正值时，n＝（　　）
A．4037 B．4036 C．4035 D．4034
19．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若当且仅当n＝10或11时Sn取得最小值，则下列选项错误的是（　　）
A．数列{an}的首项a1＜0
B．数列{an}的公差d＞0
C．存在k∈N*，使得Sk＝Sk+4
D．存在k∈N*，Sk＝S2k，使得a11是ak+1和a2k的等差中项
20．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知，且a6a7＜0，则（　　）
A．当n＝6时，Sn取最大值 B．当n＝7时，Sn取最大值
C．当m＝6时，Sn取最小值 D．当n＝7时，Sn取最小值
21．已知等差数列{an}的公差为﹣2，前n项和为Sn，a3，a4，a5为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120°，若Sn≤Sm对任意的n∈N*恒成立，则实数m＝（　　）
A．7 B．6 C．5 D．4
22．已知数列{an}是正项等差数列，在△ABC中，＝t（t∈R），若＝a3+a5，则a3a5的最大值为（　　）
A．1 B． C． D．
23．已知数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，数列{bn}满足关系：，数列{bn}的前n项和为Sn，则S5的值为（　　）
A．454 B．450 C．446 D．442
24．等差数列{an}的首项为2，公差d≠0，前n项和为Sn，若是非零常数，则＝（　　）
A． B． C． D．2
25．已知数列{an}为等差数列，且a8＝1，则2|a9|+|a10|的最小值为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
26．已知a＞0，b＞0，并且，，成等差数列，则a+9b的最小值为（　　）
A．16 B．9 C．5 D．4
27．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，am﹣1与am+1的等差中项的3倍等于am2，S2m﹣1＝57，其中m≥2，且m∈N*，则m＝（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
28．设Sn为等差数列{an}的前n项的和，a1＝﹣2017，﹣＝2，则a2017的值为（　　）
A．﹣2015 B．﹣2017 C．2015 D．2017
29．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sk＝2，S3k＝18，则S4k＝（　　）
A．24 B．28 C．32 D．54
30．已知数列{an}的前n项和Sn＝an2+bn+c，则数列{an}是等差数列的充要条件为（　　）
A．a≠0，c＝0 B．a＝0，c＝0 C．c＝0 D．c≠0
第四章 4.2等差数列（选择题专项突破训练）
参考答案与试题解析
1．已知等差数列{an}满足a3+a6+a8+a11＝12，则2a9﹣a11的值为（　　）
A．﹣3 B．3 C．﹣12 D．12
解：∵a3+a6+a8+a11＝12，
∴4a7＝12，解得a7＝3．
设等差数列{an}的公差为d，
则2a9﹣a11＝a7＝3．
故选：B．
2．等差数列{an}，{bn}前n项和分别为Sn与Tn，且（3n+2）Tn＝（2n+1）Sn，则＝（　　）
A． B． C． D．
解：因为等差数列{an}，{bn}前n项和分别为Sn与Tn，且（3n+2）Tn＝（2n+1）Sn，
即＝，
设Sn＝kn（3n+2），Tn＝kn（2n+1），
b4＝T4﹣T3＝4k×9﹣3k×7＝15k，
a7＝S7﹣S6＝7k×23﹣6k×20＝41k，
所以，
故选：A．
3．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a3+S5＝18，a6＝a3+3，则数列{}的最大项为（　　）
A． B． C． D．
解：∵a3+S5＝a3+＝6a3＝18，
∴a3＝3，
又a6＝a3+3＝3+3＝6，
∴a1＝1，d＝1，
∴an＝＝，当n＝7，或n＝8时，数列{}取得最大项，且最大项为．
故选：B．
4．疫情防控期间，某单位把120个口罩全部分给5个人，使每人所得口罩个数成等差数列，且较大的三份之和是较小的两份之和的3倍，则最小一份的口罩个数为（　　）
A．6 B．10 C．12 D．14
解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d＞0，
由条件可知，，a3+a4+a5＝3（a1+a2），
即3（a1+3d）＝3（2a1+d），即，解得a1＝12，d＝6，
所以最小一份的口罩个数为12个．
故选：C．
5．一百零八塔位于宁夏青铜峡市，是喇嘛式实心塔群（如图）．该塔群随山势凿石分阶而建，依山势自上而下，第一阶1座，第二阶3座，第三阶3座，第四阶5座，第五阶5座，从第五阶开始塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等差数列，总计108座，故名一百零八塔．则该塔群最下面三阶的塔数之和为（　　）
A．39 B．45 C．48 D．51
解：设该塔群共有n阶，自上而下每一阶的塔数所构成的数列为{an}，
依题意可知a5，a6， ，an成等差数列，且公差为2，a5＝5，
∴1+3+3+5+5（n﹣4）+＝108，
解得n＝12，
∴该塔群最下面三阶的塔数之和为：
a10+a11+a12＝3a11＝3（5+2×6）＝51．
故选：D．
6．据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多n（n为常数）盏，底层的灯数是顶层的13倍，则塔的底层共有灯（　　）
A．2盏 B．3盏 C．26盏 D．27盏
解：塔的每层的灯数形成等差数列{ak}，公差d＝n．
由题意可得：126＝9a1+n，
a9＝a1+8n＝13a1，
联立解得：a1＝2，n＝3．
∴塔的底层共有灯13×2＝26盏．
故选：C．
7．《九章算术 均输》中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5 钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，乙所得为（　　）
A．钱 B．钱 C．钱 D．钱
解：设等差数列的公差是d，首项为甲所得为a1，
由题意可得，，
即，解得，
所以＝，即乙所得为钱，
故选：B．
8．已知等差数列{an}中，a5，a15是函数f（x）＝x2﹣3x﹣2的两个零点，则a3+a8+a12+a17＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
解：由题意知a5+a15＝3，又{an}是等差数列，
所以a3+a8+a12+a17＝2（a5+a15）＝6．
故选：D．
9．若{an}是等差数列，且a2，a2022是方程x2﹣4x+3＝0的两个根，则2…×＝（　　）
A．4046 B．4044 C．24046 D．24044
解：∵a2，a2022是方程x2﹣4x+3＝0的两个根，
∴a2+a2022＝4，又{an}是等差数列，
∴a1+a2023＝a2+a2022＝ ＝2a1012，即a1012＝2，
∴2×2×2× ×2＝2＝2（1011×4+2）＝24046．
故选：C．
10．已知数列{an2}为等差数列，且a1＝1，a3＝2，则a12+a22+…+a82＝（　　）
A．81 B．72 C．64 D．50
解：设数列的公差为d，则由题意可得＝1，，
即，
则 ，
故选：D．
11．已知函数f（x）是定义在R上的单调增函数且为奇函数，数列{an}是等差数列，若前2022项和小于零，则f（a1）+f（a2）+ +f（a2022）的值（　　）
A．恒为正数 B．恒为负数 C．恒为0 D．可正可负
解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数且是单调增函数，
∴f（0）＝0，且当x＞0，f（x）＞0；当x＜0，f（x）＜0．
故若x+y＜0，即x＜﹣y，
则f（x）＜f（﹣y）＝﹣f（y），即f（x）+f（y）＜0．
∵数列{an}是等差数列，S2022＝＝1011×（a1+a2022）＝1011×（a1011+a1012）＜0，
∴a1+a2022＝a2+a2021＝a3+a2020＝ ＝a1011+a1012＜0，
∴f（a1）+f（a2022）＝f（a2）+f（a2021）＝f（a3）+f（a2020）＝ ＝f（a1011）+f（a1012）＜0，
∴f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a2021）+f（a2022）
＝[f（a1）+f（a2022）]+[f（a2）+f（a2021）]+[f（a3）+f（a2020）]+ +[f（a1011）+f（a1012）]＜0，
故选：B．
12．已知函数f（x）是定义在R上的单调递减函数，且f（x）为奇函数，数列{an}是等差数列，a158＞0，则f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a313）+f（a314）+f（a315）的值（　　）
A．恒为负数 B．恒为正数 C．恒为0 D．可正可负
解：∵函数f（x）是R上的奇函数且是减函数，
∴f（0）＝0，且当x＞0，f（x）＜0； 当x＜0，f（x）＞0．
∵数列{an}是等差数列，a158＞0，故f（a158）＜0．
再根据 a1+a315＝2a158＞0，∴f（a1）+f（a315）＜0．
同理可得，f（a2）+f（a314）＜0，f（a3）+f（a313）＜0，…，
∴f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a315）＜0，
故选：A．
13．已知数列{an}的各项为互异正数，且其倒数构成公差为3的等差数列，则＝（　　）
A． B． C．3 D．6
解：由题意，得﹣＝3（n≥2，n∈N*），则an﹣1﹣an＝3an﹣1an，即an﹣1an＝，
所以＝＝3 ＝3．
故选：C．
14．已知等差数列{an}中，，则a2+a4的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
解：设等差数列{an}的公差为d，a6＝a1+5d，
∵，
∴a12+(a1+5d)2＝8，
故令a1＝2cosθ，a1+5d＝2sinθ，
则d＝（2sinθ﹣2cosθ）
a2+a4＝2a1+4d＝4cosθ+(2sinθ﹣2cosθ)
＝2(cosθ+sinθ)，
且2 ＝,
故﹣≤a2+a4≤，
故选：D．
15．设{an}是递减的等差数列，前三项的和是15，前三项的积是105，当该数列的前n项和最大时，n等于（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
解：∵{an}是等差数列，且a1+a2+a3＝15，∴a2＝5．
又∵a1 a2 a3＝105，∴a1a3＝21．
由及{an}是递减数列，可求得a1＝7，d＝﹣2．
∴an＝9﹣2n，由an≥0得n≤4
故选：A．
16．△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinA，2sinB，sinC成等差数列，且，则＝（　　）
A． B． C．2 D．
解：依题意，sinA，2sinB，sinC成等差数列，所以4b＝a+c，
又，∴解得cosA＝，
∴cosA＝＝，
∵4b＝a+c，
∴c＝4b﹣a，
∴＝，化简得＝2．
故选：C．
17．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5＜S6，S6＝S7，S7＞S8，则下列结论错误的是（　　）
A．a6+a8＝0 B．S5＝S8
C．数列{an}是递减数列 D．S13＞0
解：由S6＝S7，则，即a1+6d＝a7＝0，
又S5＜S6，S7＞S8，易知：d＜0，故数列{an}是递减数列，故C正确；
根据a6+a8＝2a7＝0，A正确；
，，则5a3﹣4a2＝a1+6d＝0，故S5＝S8，故B正确；
再根据S13＝＝13a7＝0，故D错误，
故选：D．
18．已知等差数列{an}，满足a2019+a2020＜0，a2019 a2020＜0，且数列{an}的前n项和Sn有最大值，那么Sn取最小正值时，n＝（　　）
A．4037 B．4036 C．4035 D．4034
解：∵数列{an}的前n项和Sn有最大值，
∴数列{an}为递减数列，
又∵a2019+a2020＜0，a2019 a2020＜0，
∴a2019＞0＞a2020，
即该数列前2019项为正数，从第2020项开始为负数，
由等差数列求和公式和性质可得S4037＝＝4037a2019＞0，S4038＝＝2019（a2020+a2019）＜0，
∴当Sn取最小正值时，n＝4037．
故选：A．
19．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若当且仅当n＝10或11时Sn取得最小值，则下列选项错误的是（　　）
A．数列{an}的首项a1＜0
B．数列{an}的公差d＞0
C．存在k∈N*，使得Sk＝Sk+4
D．存在k∈N*，Sk＝S2k，使得a11是ak+1和a2k的等差中项
解：依题意，等差数列{an}的前n项和为Sn，当且仅当n＝10或11时Sn取得最小值，
所以数列{an}为递增数列，即d＞0，且a1～a10为负项，a11＝0，故AB正确；
对于C选项，Sk＝Sk+4，即ak+1+ak+2+ak+3+ak+4＝0，
设等差数列{an}的公差为d，
所以4a1+（4k+6）d＝0，又因为a11＝a1+10d＝0，
所以4a1+40d＝0，故4k+6＝40，解得k不为整数，
故C错误；
对应D选项，Sk＝S2k，即S2k﹣Sk＝0，所以ak+1+a2k＝0，
所以当k＝7时，ak+1+a2k＝0＝2a11，∴a11是ak+1和a2k的等差中项，故D正确；
故选：C．
20．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知，且a6a7＜0，则（　　）
A．当n＝6时，Sn取最大值 B．当n＝7时，Sn取最大值
C．当m＝6时，Sn取最小值 D．当n＝7时，Sn取最小值
解：依题意，数列{an}是等差数列，
设首项为a1，公差为d．由等差数列的前n项和公式Sn＝na1+，
所以＝+，
即数列{}是以为公差的等差数列，因
已知，所以数列{}是递减数列，
所以＜0，所以d＜0．
所以数列{an}为递减数列，
又因为a6a7＜0，所以a6＞0，a7＜0，即数列前6项为正项，从第7项起为负项，
所以前6项的和最大．
故选：A．
21．已知等差数列{an}的公差为﹣2，前n项和为Sn，a3，a4，a5为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120°，若Sn≤Sm对任意的n∈N*恒成立，则实数m＝（　　）
A．7 B．6 C．5 D．4
解：等差数列{an}的公差为﹣2，a3，a4，a5为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120°，
∴＝﹣2a4 a5cos120°，
∴＝++2a4，
化为：﹣5a4＝0，a4≠0，
解得a4＝5，
∴a3＝7，a5＝3，a6＝1，a7＝﹣1．
∵Sn≤Sm对任意的n∈N*恒成立，则实数m＝6．
故选：B．
22．已知数列{an}是正项等差数列，在△ABC中，＝t（t∈R），若＝a3+a5，则a3a5的最大值为（　　）
A．1 B． C． D．
解：∵＝t，故B，C，D三点共线，
又∵＝a3+a5，
∴a3+a5＝1，
数列{an}是正项等差数列，故a3＞0，a5＞0
∴1＝a3+a5≥2，解得：a3a5≤，
故选：C．
23．已知数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，数列{bn}满足关系：，数列{bn}的前n项和为Sn，则S5的值为（　　）
A．454 B．450 C．446 D．442
解：由题意可得：an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．
∵，
∴n≥2时，……+＝1﹣，
相减可得：＝，可得bn＝（2n﹣1） 2n．
n＝1时，＝1﹣，可得b1＝2．
则S5＝2+3×22+5×23+7×24+9×25＝454．
故选：A．
24．等差数列{an}的首项为2，公差d≠0，前n项和为Sn，若是非零常数，则＝（　　）
A． B． C． D．2
解：设Sn＝An2+Bn．
∵n＝1时，2＝S1＝A+B，可得B＝2﹣A．
∴Sn＝An2+（2﹣A）n．
＝＝是非零常数，
∴2﹣A＝0，解得A＝2．
∴Sn＝2n2，
∴n≥2时，an＝2n2﹣2（n﹣1）2＝4n﹣2．
则＝＝．
故选：B．
25．已知数列{an}为等差数列，且a8＝1，则2|a9|+|a10|的最小值为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
解：设等差数列{an}的公差为d，又a8＝1，
∴a9＝d+1，a10＝2d+1，
则2|a9|+|a10|＝2|d+1|+|2d+1|＝．
作出分段函数f（d）＝|＝的图象如图，
∴2|a9|+|a10|的最小值为1．
故选：C．
26．已知a＞0，b＞0，并且，，成等差数列，则a+9b的最小值为（　　）
A．16 B．9 C．5 D．4
解：根据题意，a＞0，b＞0，且，，成等差数列，
则+＝2×＝1；
则a+9b＝（a+9b）（+）＝10++≥10+2＝16；
即则a+9b的最小值为16；
故选：A．
27．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，am﹣1与am+1的等差中项的3倍等于am2，S2m﹣1＝57，其中m≥2，且m∈N*，则m＝（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
解：由am﹣1与am+1的等差中项的3倍等于am2，S2m﹣1＝57，其中m≥2，且m∈N*，
∴（am﹣1+am+1）＝3am＝am2，S2m﹣1＝＝（2m﹣1）am＝57，
解得am＝3，m＝10．
故选：C．
28．设Sn为等差数列{an}的前n项的和，a1＝﹣2017，﹣＝2，则a2017的值为（　　）
A．﹣2015 B．﹣2017 C．2015 D．2017
解：由Sn为等差数列{an}的前n项的和，﹣＝2，所以a1004﹣a1003＝2，即公差d＝2，所以a2017＝a1+2×2016＝﹣2017+4032＝2015；
故选：C．
29．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sk＝2，S3k＝18，则S4k＝（　　）
A．24 B．28 C．32 D．54
解：由等差数列{an}的性质可得：Sk，S2k﹣Sk，S3k﹣S2k，S4k﹣S3k成等差数列．
∴2（S2k﹣Sk）＝Sk+S3k﹣S2k，∴2×（S2k﹣2）＝2+18﹣S2k，解得S2k＝8，
∵6，10，S4k﹣18成等差数列，可得2×10＝6+S4k﹣18，解得S4k＝32．
故选：C．
30．已知数列{an}的前n项和Sn＝an2+bn+c，则数列{an}是等差数列的充要条件为（　　）
A．a≠0，c＝0 B．a＝0，c＝0 C．c＝0 D．c≠0
解：由Sn＝an2+bn+c，可得：a1＝a+b+c，当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝an2+bn+c﹣[a（n﹣1）2+b（n﹣1）+c]＝2an﹣a+b，
数列{an}是等差数列的充要条件为2a﹣a+b＝a+b+c，解得c＝0．
故选：C．