第七章复数 单元检测-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（含解析）

第七章 复数单元检测
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数z＝a2－1＋(a＋1)i，其中a∈R，i是虚数单位．若z为纯虚数，则a的值为(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．－1或1
2．已知i为虚数单位，复数z＝，z为z的共轭复数，则|z|＝(　　)
A. B.
C. D.
3．已知z1，z2为复数，则下列说法正确的是(　　)
A．若|z1|＝|z2|，则z1＝z2
B．若z1＝z1，则z1为实数
C．若z22>0，则z2为纯虚数
D．若(z1－1)2＋(z2－1)2＝0，则z1＝z2＝1
4．已知复数z满足(1－i)z＝i2 020(其中i为虚数单位)，则z的虚部为(　　)
A. B.i
C．－ D．－i
5．已知复数z满足z(1＋2i)＝i(1＋z)，则z＝(　　)
A.＋i B.－i
C．1＋i D．1－i
6．“a＝1”是“复数z＝a2－a＋(a＋1)i(a∈R，i是虚数单位)为纯虚数”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．已知复数z＝m－3＋(m－1)i(m∈Z)在复平面内对应的点在第二象限，则＝(　　)
A. B．2
C. D.
8．在复平面内，复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应向量(O为坐标原点)，设||＝r，以射线Ox为始边，OZ为终边的角为θ，则z＝r(cos θ＋isin θ)．法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：zn＝[r(cos θ＋isin θ)]n＝rn(cos nθ＋isin nθ)，则(－1＋i)10＝(　　)
A．1 024－104 i
B．－1 024＋1 024 i
C．512－512 i
D．－512＋512 i
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知方程x2＋2x－a＝0，其中a＜0，则在复数范围内关于该方程的根的结论错误的是(　　)
A．该方程一定有一对共轭虚根
B．该方程可能有两个正实数根
C．该方程两根的实部之和等于－2
D．若该方程有虚根，则其虚根的模一定小于1
10．下列命题正确的是(　　)
A．若复数z满足z2<0，则z是纯虚数
B．若z1，z2互为共轭复数，则z1＋z2∈R
C．2是复数－1＋i的三角形式
D．“复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数”的充要条件为“b≠0”
11．已知复数z1，z2，z3，则下列结论正确的是(　　)
A．若z1＋z2＝0，则|z1|＝|z2|
B．若|z1＋1|＝|z2＋1|，则|z1|＝|z2|
C．z12＝|z1|2
D．若z3＝z1z2，则|z3|＝|z1||z2|
12．已知z＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，z1，z2∈C，定义：D(z)＝‖z‖＝|a|＋|b|，D(z1，z2)＝‖z1－z2‖，则下列结论正确的是(　　)
A．对任意z∈C，都有D(z)＞0
B．若z是z的共轭复数，则D(z)＝D(z)恒成立
C．若D(z1)＝D(z2)，则z1＝z2
D．对任意z1，z2，z3∈C，则D(z1，z3)≤D(z1，z2)＋D(z2，z3)恒成立
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．实部为5，模与复数4－3i的模相等的复数的个数为________．
14．若x，y互为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，则|x|＋|y|＝________.
15．已知复平面内平行四边形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别为(－2，－1)，(2，4)，(11，7)，则向量所对应的复数是________．
16．已知复数z，且|z|＝1，则|z＋3＋4i|的最小值是________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)[山东泰安2021高一期中]①复数z与复数2－12i相等，②复数z与复数12＋16i互为共轭复数，③复数z在复平面内对应的点在第一、三象限角平分线上．从这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答．
问题：若复数z＝(1＋i)m2＋(5－2i)m＋(6－15i)(m∈R)，________，求方程x2＋mx＋1＝0(x∈C)的根．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．(本小题满分12分)已知复数z1＝m－2i，z2＝1－ni，其中i是虚数单位，m，n为实数．
(1)若m＝1，n＝－1，求|z1＋z2|的值；
(2)若z1＝z22，求m，n的值．
19．(本小题满分12分)已知复数z1＝1＋2i，z2＝3－4i.
(1)若复数z1＋λz2在复平面内对应的点在第二象限，求实数λ的取值范围；
(2)若复数z＝z1·(μ＋z2)(μ∈R)为纯虚数，求z的虚部．
20．(本小题满分12分)已知虚数z1＝4cos θ＋3sin θ·i，z2＝2－3sin θ·i，其中i为虚数单位，θ∈R，z1，z2是实系数一元二次方程z2＋mz＋n＝0的两根．
(1)求实数m，n的值；
(2)若|z－z1|＋|z－z2|＝3 ，求|z|的取值范围．
21．(本小题满分12分)已知z＝－＋i.
(1)z是z的共轭复数，求z2＋z＋1的值；
(2)求21－z2 022的值．
22．(本小题满分12分)(1)已知关于x的实系数一元二次方程x2＋mx＋n＝0，若1＋i是该方程的一个复数根，求m，n的值；
(2)已知z∈C，z＋3i，均为实数，且复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.
答案及解析
1．【答案】C
【详解】依题意可得，解得a＝1，所以a的值为1.故选C.
2．【答案】B
【详解】化简复数z＝＝＝－＋i，则z＝－－i.根据复数的模的定义，则|z|＝＝.故选B.
3．【答案】B
【详解】选项A，当z1＝1，z2＝i时，|z1|＝|z2|，显然z1≠z2，错误；
选项B，若z1＝z1，则z1的虚部为0，即z1为实数，正确；
选项C，只有当z2为非零实数时，z22>0才成立，错误；
选项D，当z1＝i，z2＝－i时，(z1－1)2＋(z2－1)2＝－2i＋2i＝0也成立，错误．故选B.
4．【答案】C
【详解】∵2 020＝4×505，∴i2 020＝i4＝1.∴z＝＝＋i，∴z＝－i，∴z的虚部为－.故选C.
5．【答案】A
【详解】因为z(1＋2i)＝i(1＋z)，所以z(1＋i)＝i，所以z＝＝＝＝＋i，故选A.
6．【答案】A
【详解】当a＝1时，z＝2i为纯虚数，成立；当z＝a2－a＋(a＋1)i为纯虚数时，则解得a＝0或a＝1.所以由充分条件与必要条件的定义知，“a＝1”是“复数z＝a2－a＋(a＋1)i(a∈R，i是虚数单位)为纯虚数”的充分不必要条件．故选A.
7．【答案】C
【详解】由题意得解得18．【答案】D
【详解】根据复数乘方公式zn＝[r(cos θ＋isin θ)]n＝rn(cos nθ＋isin nθ)，得(－1＋i)10
＝210
＝1 024
＝1 024(－＋i)＝－512＋512 i.故选D.
9．【答案】ABD
【详解】方程x2＋2x－a＝0，a＜0，则Δ＝4＋4a，当Δ≥0，即－1≤a＜0时，方程有实数根，所以A错误；由一元二次方程根与系数的关系可知，两个实数根的和为－2，所以不可能有两个正数实根，所以B错误；当Δ<0时，方程有两个虚数根，由求根公式可得x＝－1±i，所以两个根的实部之和等于－2，所以C正确；若该方程有虚根，则虚根的模为＞1，所以D错误．
10．【答案】ABC
【详解】设z＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi<0，则由2ab＝0得a＝0或b＝0，若b＝0，则a2－b2＝a2<0不成立，所以a＝0，a2－b2＝－b2<0，b≠0，则z为纯虚数，A正确；若z1＝c＋di(c，d∈R)，则z2＝z1＝c－di，z1＋z2＝2c∈R，B正确；2(cos ＋isin )＝2＝－1＋i，2是复数－1＋i的三角形式，C正确；当a≠0时，a＋bi不是纯虚数，D错误．故选ABC.
11．【答案】AD
【答案】AD
【详解】对于A，若z1＋z2＝0，则z1＝－z2，所以|z1|＝|－z2|＝|z2|，所以A正确；对于B，设z1＝2＋4i，z2＝4，则|z1＋1|＝|3＋4i|＝5＝|z2＋1|＝|5|，而|z1|＝＝2 ≠|z2|＝4，所以B错误；对于C，设z1＝x＋yi(x，y∈R)，则z12＝(x＋yi)2＝x2－y2＋2xyi，|z1|＝，所以|z1|2＝x2＋y2，所以z12≠|z1|2，所以C错误；对于D，设z1＝x＋yi(x，y∈R)，z2＝a－bi(a，b∈R)，则z1z2＝(x＋yi)(a－bi)＝(ax＋by)＋(ay－bx)i，所以|z1z2|＝＝，|z1||z2|＝，所以当z3＝z1z2时， |z3|＝|z1||z2|，所以D正确．故选AD.
12．【答案】BD
【详解】对于A，当z＝0时，D(z)＝|0|＝|0|＋|0|＝0，故错误；对于B，z＝a＋bi，则z＝a－bi，则D(z)＝‖z‖＝|a|＋|－b|＝|a|＋|b|＝‖z‖＝D(z)，故正确；对于C，如z1＝1＋i，z2＝1－i，满足D(z1)＝D(z2)(z1，z2∈C)，但z1≠z2，故错误；对于D，设z1＝m＋ni(m，n∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，z3＝e＋f i(e，f∈R)，则D(z1，z2)＝‖z1－z2‖＝‖(m－c)＋(n－d)i‖＝|m－c|＋|n－d|，D(z2，z3)＝‖z2－z3‖＝‖(c－e)＋(d－f)i‖＝|c－e|＋|d－f|，D(z1，z3)＝‖z1－z3‖＝‖(m－e)＋(n－f)i‖＝|m－e|＋|n－f|，由|m－e|＝|(m－c)＋(c－e)|≤|m－c|＋|c－e|，|n－f|＝|(n－d)＋(d－f)|≤|n－d|＋|d－f|，得D(z1，z3)≤D(z1，z2)＋D(z2，z3)恒成立，故正确．故选BD.
13．【答案】1
【详解】依题意设z＝5＋bi(b∈R)，则|z|＝，而|4－3i|＝＝5，所以＝5，解得b＝0.所以z＝5.故满足题意的复数只有1个．
14．【答案】2
【详解】设x＝a＋bi，则y＝a－bi，a，b∈R，代入(x＋y)2－3xyi＝4－6i，得(2a)2－3(a2＋b2)i＝4－6i，所以(2a)2＝4，3(a2＋b2)＝6，解得|a|＝1，|b|＝1，所以|x|＋|y|＝2 ＝2 .
15．【答案】9＋3i
【详解】∵四边形ABCD为平行四边形， A(－2，－1)，B(2，4)，C(11，7)，∴＝＝(11，7)－(2，4)＝(9，3)，∴向量所对应的复数为9＋3i.
16．【答案】4
【详解】复数z满足|z|＝1，复数z在复平面内对应的点的集合是以原点为圆心，1为半径的圆．则|z＋3＋4i|表示复数z在复平面内对应的点Z与点(－3，－4)之间的距离，圆心O与点(－3，－4)之间的距离d＝＝5，∴|z＋3＋4i|的最小值为5－1＝4.
17．【答案】z＝(1＋i)m2＋(5－2i)m＋(6－15i)＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i.
若选择条件①：根据复数相等的充要条件，
有解得m＝－1，
∴方程x2－x＋1＝0的根为x＝.
若选择条件②：根据共轭复数的定义，
有解得m＝1，
∴方程x2＋x＋1＝0的根为x＝.
若选择条件③：由题意得，m2＋5m＋6＝m2－2m－15，解得m＝－3，
∴方程x2－3x＋1＝0的根为x＝.
18．【答案】(1)当m＝1，n＝－1时，z1＝1－2i，z2＝1＋i，
所以z1＋z2＝(1－2i)＋(1＋i)＝2－i，
所以|z1＋z2|＝＝.
(2)若z1＝z22，则m－2i＝(1－ni)2，
所以m－2i＝(1－n2)－2ni，
所以解得
19．【答案】(1)z1＋λz2＝1＋2i＋λ(3－4i)＝(1＋3λ)＋(2－4λ)i，
又z1＋λz2在复平面内对应的点在第二象限，
所以解得所以λ<－.
所以实数λ的取值范围为.
(2)z＝z1·(μ＋z2)＝(1＋2i)×(μ＋3－4i)＝μ＋11＋(2μ＋2)i.
因为z为纯虚数，所以μ＋11＝0且2μ＋2≠0，所以μ＝－11，
此时z＝－20i，所以z的虚部为－20.
20．【解】(1)由题意，z1＝z2，即4cos θ＋3sin θ·i＝2＋3sin θ·i，故cos θ＝，
根据根与系数的关系有m＝－(z1＋z2)＝－(2＋3sin θ·i＋2－3sin θ·i)＝－4，n＝z1z2＝(2＋3sin θ·i)·(2－3sin θ·i)＝4＋9sin 2θ＝4＋9(1－)＝，即m＝－4，n＝.
(2)由(1)知sin θ＝±＝±，
故不妨设z1＝2＋i，z2＝2－i.设z＝a＋bi(a，b∈R)，z，z1，z2对应的点分别为Z，Z1，Z2，则|z－z1|＋|z－z2|＝3 的几何意义即为复平面内Z(a，b)与Z1，Z2的距离之和为3 .
因为Z1与Z2的距离为－＝3 ，
所以Z(a，b)在线段Z1Z2上．
故当Z为(2，0)时，|z|取得最小值2；
当Z为Z1或Z2时，|z|取得最大值＝.
故|z|的取值范围为.
21．【答案】(1)由题意知z＝－－i，
∴z2＋z＋1＝－－i＋1＝0.
(2)∵z3＝＝1，
∴1－z2 022＝1－(z3)674＝1－1＝0.
∴21－z2 022＝1.
22．【答案】(1)由题意得(1＋i)2＋m(1＋i)＋n＝－1＋m＋n＋2 i＋mi＝0，
∴解得
(2)设z＝x＋yi(x，y∈R)．
∵z＋3i＝x＋(y＋3)i为实数，∴y＝－3.
∵＝＝(x－3i)(3＋i)＝[(3x＋3)＋(x－9)i]为实数，∴x＝9.
∴z＝9－3i.
(z＋ai)2＝81－(a－3)2＋18(a－3)i＝72＋6a－a2＋18(a－3)i，
由已知得
解得3∴实数a的取值范围是(3，12)．