4.2.1 第2课时 等差数列的性质及应用
课程标准 熟悉课标，把握重点
知识梳理 掌握概念，升华提升
基础自测 单选 1★+2★+3★ 多选 4★ 填空5★
题型归类 题型一：an＝am＋(n－m)d的应用
单选1★+2★★+3★★★4★5★+解答6★★+方法总结
题型二：等差数列的性质
单选1★+2★★+3★★★多选4★★填空5★+6★★解答7★★+方法总结
题型三：等差数列的设法与求解
填空1★+2★+解答3★4★★5★+方法总结
题型四：由等差数列构造新数列
单选1★+2★★+多选3★填空4★5★★+方法总结
题型五：等差数列的实际应用
单选1★+2★★+3★★★多选4★★填空5★+6★★解答7★★+方法总结
题型六：等差数列的综合应用
单选1★+2★★+3★★★多选4★★填空5★+6★★解答7★★+方法总结
分层测试 单选6题1★+2★ + 3★+4★+5★★+6★★★
多选3题7★+8★★+9★★★
填空3题10★+11★★+12★★★
解答4题13★+14★+15★★+16★★★
一、课程标准
1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义．
2.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题．
3.体会等差数列与一元一次函数的关系．
二、知识梳理
1．等差数列的性质
若{an}是公差为d的等差数列，正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq。
(1)特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am＋an＝2ak。
(2)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…。
2．等差数列性质的推广
若{an}是公差为d的等差数列，则
(1)an＝am＋(n－m)d；
(2){c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列；
(3){can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；
(4){an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为2d的等差数列；
(5)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列。
3．等差数列在实际中的应用
解答数列应用题的一般步骤：(1)审题；(2)建模，将实际问题转化为数学问题；(3)判型，分清该数列是否为等差数列；(4)求解，按照等差数列的有关知识求出问题的数学解；(5)还原，将结果还原到原问题中。
【升华提升】
1.等差数列的常见性质
(1)an，am是数列{an}中任意两项，则an＝am＋(n－m)d，此式既是通项公式的变形公式，又可作为等差数列的性质，经常使用.
(2)若n，m，p，q∈N*，且n＋m＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq.
特别地：若m＋n＝2k(k，m，n∈N*)，则有an＋am＝2ak.
2.方法归纳：公式法、构造法、解方程组法.
3.常见误区：不注意运用性质而出错或解法烦琐.
三、基础自测
1★（单选）已知等差数列{an}，a7＋a19＝19，a5＝1，则a21的值为( )
A．20 B．18
C．15 D．17
2★（单选）已知数列{an}，{bn}为等差数列，且公差分别为d1＝2，d2＝1，则数列{2an－3bn}的公差为( )
A．7 B．5
C．3 D．1
3★（单选）在等差数列{an}中，已知a3＝10，a8＝－20，则公差d等于( )
A.3 B.－6 C.4 D.－3
4★（多选）下列命题正确的是( )
A．给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式
B．若等差数列{an}的公差d>0，则{an}是递增数列
C．若a，b，c成等差数列，则，，可能成等差数列
D．若数列{an}是等差数列，则数列{an＋2an＋1}不一定是等差数列
5★（填空）已知等差数列{an}的各项均为正数，a1＝1，且a2＋a6＝a8。若p－q＝10，则ap－aq＝________。
四、题型归类
【题型一】an＝am＋(n－m)d的应用
1★（单选） 在等差数列{an}中，a2＋a5＝10，a3＋a6＝14，则a5＋a8等于( )
A．12 B．22 C．24 D．34
2★★（单选）在等差数列{an}中，若a2＋a6＝6，a5＝8，则a10等于( )
A．20 B．25 C．30 D．33
3★★★（单选）数列{an}满足3＋an＝an＋1且a2＋a4＋a6＝9，则log6(a5＋a7＋a9)的值是( )
A．－2 B．－ C．2 D.
4★（填空）在等差数列{an}中，已知a4＝2，a8＝14，则a15等于
5★★（填空）已知{bn}为等差数列，若b3＝－2，b10＝12，则b8＝________。
6★★（解答）在等差数列{an}中，已知a2＝5，a8＝17，求数列的公差及通项公式。
【题型二】等差数列的性质
1★（单选）已知等差数列{an}，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝70，则 a1＋a9的值为（ ）
A.22 B. 24 C. 26 D.28
2★★（单选）已知数列{an}是等差数列，若a1－a9＋a17＝7，则a3＋a15等于( )
A．7 B．14 C．21 D．7(n－1)
3★★★（单选）已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝2，b1＝－3，a7－b7＝17，则a19－b19的值为（ ）
A. 41 B. 40 C. 39 D.38
4★★（多选）已知数列{an}为等差数列，若a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，则数列{an}的通项公式可能为（ ）
A. an＝2n－7 B. an＝－2n＋7
C. an＝－2n＋13 D. an＝－2n－13
5★（填空）若2，a，b，c,9成等差数列，则c－a＝________。
6★★（填空）等差数列{an}中，已知a2＋a3＋a11＝36，则a5＋a8＝________。
7★★（解答）已知等差数列{an}，a5＝10，a15＝25，求a25的值。
【题型三】等差数列的设法与求解
1★（填空） (2)已知等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10＝________.
2★★（填空）(2)已知在公差不为0的等差数列{an}中，a2＋a4＝a6，a9＝a，则a10＝________.
3★（解答）三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数．
4★（多解答）四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．
5★（解答）三个数成等差数列，这三个数的和为6，三个数之积为－24，求这三个数．
【题型四】由等差数列构造新数列
1★（单选）有两个等差数列2,6,10，…，190和2,8,14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数为( )
A．15 B．16 C．17 D．18
2★★（单选）已知数列{an}，{bn}为等差数列，且公差分别为d1＝2，d2＝1，则数列{2an－3bn}的公差为( )
A.7 B.5 C.3 D.1
3★★（多选）下列命题中，正确的是( )
A.若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列
B.若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列
C.若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列
D.若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列
4★（填空）已知两个等差数列{an}：5,8,11，…，与{bn}：3,7,11，…，它们的公共项组成数列{cn}，则数列{cn}的通项公式cn＝________；若数列{an}和{bn}的项数均为100，则{cn}的项数是________．
5★★（填空）已知两个等差数列{an}：5，8，11，…，与{bn}：3，7，11，…，它们的公共项组成数列{cn}，则数列{cn}的通项公式cn＝________；若数列{an}和{bn}的项数均为100，则{cn}的项数是________.
【题型五】等差数列的实际应用
1★（单选）中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗一头细．在粗的一端截下一尺，重四斤；在细的一端截下一尺，重二斤．问依次每一尺各重几斤？”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，则中间三尺的质量为( )
A．3斤 B．6斤
C．9斤 D．12斤
2★★（单选）“珠算之父”程大位是我国明代著名的数学家，他的应用巨著《算法统宗》中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节六升六，上梢四节四升四，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明．”(注：六升六：6.6升，次第盛：盛米容积依次相差同一数量)用你所学的数学知识求得中间两节竹的容积为( )
A．3.4升 B．2.4升
C．2.3升 D．3.6升
3★★★（单选）《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的等于较小的两份之和，则最小的一份为( )
A. B.
C. D.
4★★（多选）《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则( )
A．冬至的日影子长最长，为15.5尺
B．立夏比谷雨的日影子长多1尺
C．大寒、雨水、春分的日影子长成等差数列
D．清明的日影子长为8.5尺
5★（填空）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种，这五种规格党旗的长a1，a2，a3，a4，a5(单位：cm)成等差数列，对应的宽为b1，b2，b3，b4，b5(单位：cm)，且长与宽之比都相等，已知a1＝288，a5＝96，b1＝192，则b3＝________.
6★★（填空）已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中小寒与清明之间的晷影长之差为
7★★（解答）有一批电视机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售．甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，以此类推，每多买一台则所购买各台的单价均减少20元，但每台最少不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售．某单位需购买一批此类电视机，则去哪一家商场购买花费较少？
【题型六】等差数列的综合应用
1★★（单选）在1和19之间插入n个数，使这n＋2个数成等差数列，若这n个数中第一个为a，第n个为b，当＋取最小值时，n的值是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
2★★（单选）已知{an}为等差数列，若a1＋a5＋a9＝π，则tan(a4＋a6)的值为( )
A．－ B．－ C．－ D.
3★★★（单选）在等差数列{an}中，a1≠0，若存在正整数m，n，p，q满足m＋n
A．4
B．1
C.
D．由等差数列的首项a1的值决定
4★★（多选）已知单调递增的等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则下列各式一定成立的有( )
A.a1＋a101>0 B.a2＋a100＝0
C.a3＋a99＝0 D.a51＝0
5★（填空）若等差数列{an}的首项a1＝5，am＝3，则am＋2等于
6★★（填空）若关于x的方程x2－x＋m＝0和x2－x＋n＝0(m，n∈R，且m≠n)的四个根组成首项为的等差数列，则数列的公差d＝________，m＋n的值为________．
7★★（解答）已知数列{an}满足an＋1＝(n∈N*)，且a1＝0.
(1)求a2，a3；
(2)是否存在一个实数λ，使得数列为等差数列，请说明理由．
五、分层测试
一、单选题
1★ 在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为( )
A．5 B．6
C．8 D．10
2★数列{an}满足3＋an＝an＋1且a2＋a4＋a6＝9，则log6(a5＋a7＋a9)的值是( )
A．－2 B．－
C．2 D.
3★在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝( )
A．5 B．8
C．10 D．14
4★已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m等于( )
A．8 B．4
C．6 D．12
5★★已知等差数列{an}中，a3＋a6＝8，则5a4＋a7＝( )
A.32 B.27 C.24 D.16
6★★★《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均输章》有如下问题：“今有五人分六钱，令前三人所得与后二人等，各人所得均增，问各得几何？”其意思是：“已知A，B，C，D，E五个人分重量为6钱(‘钱’是古代的一种重量单位)的物品，A，B，C三人所得钱数之和与D，E二人所得钱数之和相同，且A，B，C，D，E每人所得钱数依次成递增等差数列，问五个人各分得多少钱的物品？”在这个问题中，C分得物品的钱数是( )
A. B. C. D.
二、多选题
7★ 已知等差数列{an}中，a1＝3，公差为d(d∈N*)，若2 021是该数列的一项，则公差d不可能是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
8★★若{an}是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是( )
A．{|an|}
B．{an＋1－an}
C．{pan＋q}(p，q为常数)
D．{2an＋n}
9★★★若{an}是等差数列，则下列数列为等差数列的有( )
A.{an＋an＋1} B.{a}
C.{an＋1－an} D.{2an}
三、填空题
10★ 在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________.
11★★已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9＝________.
12★★★若关于x的方程x2－2x＋m＝0和x2－2x＋n＝0(m≠n)的四个根可组成首项为的等差数列，则|m－n|的值是________.
四、简答题
13★在等差数列{an}中.
(1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13；
(2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d.
14★在等差数列中，若a3＋a8＋a13＝12，a3a8a13＝28.
(1)求数列的通项公式；
(2)求a23的值.
15★★已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，且a11＝－26，a51＝54，求a14的值。你能知道该数列从第几项开始为正数吗？
16★★★某科技公司最新研发的VR眼镜原销售价为每台800元，在甲、乙两家电商平台均有销售。甲商家用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台单价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但每台最低价不能低于440元；乙商家一律都按原价的75%销售。某游乐园需要购买一批此类眼镜，问去哪家商场买花费较少。4.2.1 第2课时 等差数列的性质及应用
课程标准 熟悉课标，把握重点
知识梳理 掌握概念，升华提升
基础自测 单选 1★+2★+3★ 多选 4★ 填空5★
题型归类 题型一：an＝am＋(n－m)d的应用
单选1★+2★★+3★★★4★5★+解答6★★+方法总结
题型二：等差数列的性质
单选1★+2★★+3★★★多选4★★填空5★+6★★解答7★★+方法总结
题型三：等差数列的设法与求解
填空1★+2★+解答3★4★★5★+方法总结
题型四：由等差数列构造新数列
单选1★+2★★+多选3★填空4★5★★+方法总结
题型五：等差数列的实际应用
单选1★+2★★+3★★★多选4★★填空5★+6★★解答7★★+方法总结
题型六：等差数列的综合应用
单选1★+2★★+3★★★多选4★★填空5★+6★★解答7★★+方法总结
分层测试 单选6题1★+2★ + 3★+4★+5★★+6★★★
多选3题7★+8★★+9★★★
填空3题10★+11★★+12★★★
解答4题13★+14★+15★★+16★★★
一、课程标准
1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义．
2.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题．
3.体会等差数列与一元一次函数的关系．
二、知识梳理
1．等差数列的性质
若{an}是公差为d的等差数列，正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq。
(1)特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am＋an＝2ak。
(2)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…。
2．等差数列性质的推广
若{an}是公差为d的等差数列，则
(1)an＝am＋(n－m)d；
(2){c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列；
(3){can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；
(4){an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为2d的等差数列；
(5)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列。
3．等差数列在实际中的应用
解答数列应用题的一般步骤：(1)审题；(2)建模，将实际问题转化为数学问题；(3)判型，分清该数列是否为等差数列；(4)求解，按照等差数列的有关知识求出问题的数学解；(5)还原，将结果还原到原问题中。
【升华提升】
1.等差数列的常见性质
(1)an，am是数列{an}中任意两项，则an＝am＋(n－m)d，此式既是通项公式的变形公式，又可作为等差数列的性质，经常使用.
(2)若n，m，p，q∈N*，且n＋m＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq.
特别地：若m＋n＝2k(k，m，n∈N*)，则有an＋am＝2ak.
2.方法归纳：公式法、构造法、解方程组法.
3.常见误区：不注意运用性质而出错或解法烦琐.
三、基础自测
1★（单选）已知等差数列{an}，a7＋a19＝19，a5＝1，则a21的值为( )
A．20 B．18
C．15 D．17
【解析】 因为a7＋a19＝a5＋a21，所以19＝1＋a21，解得a21＝18。
故选B。
2★（单选）已知数列{an}，{bn}为等差数列，且公差分别为d1＝2，d2＝1，则数列{2an－3bn}的公差为( )
A．7 B．5
C．3 D．1
【解析】2an＋1－3bn＋1－(2an－3bn)＝2(an＋1－an)－3(bn＋1－bn)＝2d1－3d2＝4－3＝1。
故选D。
3★（单选）在等差数列{an}中，已知a3＝10，a8＝－20，则公差d等于( )
A.3 B.－6 C.4 D.－3
【解析】由等差数列的性质得a8－a3＝(8－3)d＝5d，
所以d＝＝－6.
故选B。
4★（多选）下列命题正确的是( )
A．给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式
B．若等差数列{an}的公差d>0，则{an}是递增数列
C．若a，b，c成等差数列，则，，可能成等差数列
D．若数列{an}是等差数列，则数列{an＋2an＋1}不一定是等差数列
【解析】A选项，给出数列的有限项不一定可以确定通项公式，故A不正确；
B选项，由等差数列性质知d>0，{an}必是递增数列，故B正确；
C选项，a＝b＝c＝1时，＝＝＝1是等差数列，而a＝1，b＝2，c＝3时不成立，故C正确；
D选项，数列{an}是等差数列，设公差为d，所以an＋2an＋1＝a1＋(n－1)d＋2a1＋2nd＝3a1＋(3n－1)d也是等差数列，故D不正确．
故选BC。
5★（填空）已知等差数列{an}的各项均为正数，a1＝1，且a2＋a6＝a8。若p－q＝10，则ap－aq＝________。
【解析】设等差数列{an}的公差为d>0。
因为a1＝1，且a2＋a6＝a8，所以2＋6d＝1＋7d，解得d＝1。若p－q＝10，则ap－aq＝10d＝10。
答案 10
四、题型归类
【题型一】an＝am＋(n－m)d的应用
1★（单选） 在等差数列{an}中，a2＋a5＝10，a3＋a6＝14，则a5＋a8等于( )
A．12 B．22 C．24 D．34
【解析】设数列{an}的公差为d，
则d＝＝＝2，
故a5＋a8＝a5＋a2＋6d＝10＋6×2＝22.
故选B。
2★★（单选）在等差数列{an}中，若a2＋a6＝6，a5＝8，则a10等于( )
A．20 B．25 C．30 D．33
【解析】方法一 设等差数列的公差为d，
则
则a10＝－12＋5×9＝33.
方法二 因为a2＋a6＝2a4＝6，
所以a4＝3.
又a5＝8，所以d＝a5－a4＝5，
所以a10＝a5＋(10－5)d＝8＋5×5＝33.
故选D。
3★★★（单选）数列{an}满足3＋an＝an＋1且a2＋a4＋a6＝9，则log6(a5＋a7＋a9)的值是( )
A．－2 B．－ C．2 D.
【解析】由3＋an＝an＋1，
得an＋1－an＝3.
所以{an}是公差为3的等差数列．
又a2＋a4＋a6＝9，
且a2＋a6＝2a4，
所以3a4＝9，
则a4＝3，
所以a7＝a4＋3d＝3＋3×3＝12，
故log6(a5＋a7＋a9)＝log6(3a7)＝log636＝2.
故选C。
4★（填空）在等差数列{an}中，已知a4＝2，a8＝14，则a15等于
【解析】由a8－a4＝(8－4)d＝4d＝14－2＝12，得d＝3，所以a15＝a8＋(15－8)d＝14＋7×3＝35。
答案 35
5★★（填空）已知{bn}为等差数列，若b3＝－2，b10＝12，则b8＝________。
【解析】解法一：因为{bn}为等差数列，所以可设其公差为d，则d＝＝＝2，所以bn＝b3＋(n－3)d＝2n－8。所以b8＝2×8－8＝8。
解法二：由＝＝d，得b8＝×5＋b3＝2×5＋(－2)＝8。
答案 8
6★★（解答）在等差数列{an}中，已知a2＝5，a8＝17，求数列的公差及通项公式。
【解析】设等差数列{an}的公差为d，
因为a8＝a2＋(8－2)d，
所以17＝5＋6d，解得d＝2。
又因为an＝a2＋(n－2)d，
所以an＝5＋(n－2)×2＝2n＋1，n∈N*。
【方法总结】
灵活利用等差数列的性质，可以减少运算量。令m＝1，an＝am＋(n－m)d即变为an＝a1＋(n－1)d，可以减少运算过程。
【题型二】等差数列的性质
1★（单选）已知等差数列{an}，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝70，则 a1＋a9的值为（ ）
A.22 B. 24 C. 26 D.28
【解析】由等差数列的性质，
得a3＋a7＝a4＋a6＝2a5＝a1＋a9，
所以a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝70，
于是a5＝14，故a1＋a9＝2a5＝28。
故选D。
2★★（单选）已知数列{an}是等差数列，若a1－a9＋a17＝7，则a3＋a15等于( )
A．7 B．14 C．21 D．7(n－1)
【解析】因为a1－a9＋a17＝(a1＋a17)－a9＝2a9－a9＝a9＝7，
所以a3＋a15＝2a9＝2×7＝14.
故选B。
3★★★（单选）已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝2，b1＝－3，a7－b7＝17，则a19－b19的值为（ ）
A. 41 B. 40 C. 39 D.38
【解析】令cn＝an－bn，
因为{an}，{bn}都是等差数列，
所以{cn}也是等差数列，
设其公差为d，
由已知，得c1＝a1－b1＝5，c7＝17，
则5＋6d＝17，解得d＝2，
故a19－b19＝c19＝5＋18×2＝41。
故选A。
4★★（多选）已知数列{an}为等差数列，若a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，则数列{an}的通项公式可能为（ ）
A. an＝2n－7 B. an＝－2n＋7
C. an＝－2n＋13 D. an＝－2n－13
【解析】因为a2＋a5＋a8＝9，
由a2＋a8＝2a5，得3a5＝9。
所以a5＝3。
又a3＋a7＝a2＋a8，a3a5a7＝－21。
所以
所以a3，a7是方程x2－6x－7＝0的两个根。
解方程得x＝－1或x＝7。
所以a3＝－1，a7＝7或a3＝7，a7＝－1。
所以公差d＝＝2或d＝－2。
所以an＝a3＋(n－3)d＝2n－7或－2n＋13。
所以数列{an}的通项公式为an＝2n－7或an＝－2n＋13。
故选AC。
5★（填空）若2，a，b，c,9成等差数列，则c－a＝________。
【解析】设公差为d，则d＝＝，所以c－a＝2d＝。
答案
6★★（填空）等差数列{an}中，已知a2＋a3＋a11＝36，则a5＋a8＝________。
【解析】根据等差数列的性质可得a5＋a8＝a2＋a11，a5＋a8＝a3＋a10，所以a5＋a8＝(a2＋a3＋a10＋a11)＝×36＝18。
答案 18
7★★（解答）已知等差数列{an}，a5＝10，a15＝25，求a25的值。
【解析】解法一：设{an}的公差为d，
则解得
故a25＝a1＋24d＝4＋24×＝40。
解法二：因为5＋25＝2×15，
所以在等差数列{an}中有a5＋a25＝2a15，
从而a25＝2a15－a5＝2×25－10＝40。
解法三：因为5,15,25成等差数列，
所以a5，a15，a25也成等差数列，
因此a25－a15＝a15－a5，
即a25－25＝25－10，解得a25＝40。
【方法总结】
解决等差数列运算问题的一般方法：一是灵活运用等差数列{an}的性质；二是利用通项公式，转化为等差数列的首项与公差的求解，属于通用方法；三是兼而有之。这些方法都运用了整体代换与方程的思想。
【题型三】等差数列的设法与求解
1★（填空） (2)已知等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10＝________.
【解析】方法一 ∵a1＋3a8＋a15＝120，
∴5a8＝120，
∴a8＝24，
∴2a9－a10＝(a8＋a10)－a10＝a8＝24.
方法二 ∵a1＋3a8＋a15＝120，
∴a1＋3(a1＋7d)＋(a1＋14d)＝120，
∴a1＋7d＝24，
∴2a9－a10＝a1＋7d＝24.
答案 24
2★★（填空）(2)已知在公差不为0的等差数列{an}中，a2＋a4＝a6，a9＝a，则a10＝________.
【解析】设等差数列{an}的公差为d，d≠0，
∵a2＋a4＝a6，a9＝a，
∴2a1＋4d＝a1＋5d，a1＋8d＝(a1＋5d)2，
解得a1＝d＝，
则a10＝a1＋9d＝10×＝.
答案
3★（解答）三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数．
【解析】设这三个数依次为a－d，a，a＋d，
则
解得
所以这三个数为4,3,2.
4★（多解答）四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．
【解析】设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，
依题意得2a＝2且(a－3d)(a＋3d)＝－8，
即a＝1，a2－9d2＝－8，
所以d2＝1，
所以d＝1或d＝－1.
又四个数成递增等差数列，所以d>0，
所以d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.
5★（解答）三个数成等差数列，这三个数的和为6，三个数之积为－24，求这三个数．
【解析】设这三个数分别为a－d，a，a＋d.
由题意可得
解得或
所以所求三个数为－2，2，6或6，2，－2.
【方法总结】
等差数列的计算技巧
(1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程(组)求出a1和d，即可解决等差数列的有关问题．另外亦可用等差中项及性质找到项与项之间的关系进行解题，此种解法计算量较小．
(2)当已知数列有3项时，可设为a－d，a，a＋d，此时公差为d.若有5项、7项、…时，可同理设出．
(3)当已知数列有4项时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，此时公差为2d.若有6项、8项、…时，可同理设出．
【题型四】由等差数列构造新数列
1★（单选）有两个等差数列2,6,10，…，190和2,8,14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数为( )
A．15 B．16 C．17 D．18
【解析】易知，第一个数列的公差为4，第二个数列的公差为6，
故新数列的公差为具有相同首项的两个数列公差的最小公倍数，其公差为12，首项为2，
所以通项公式为an＝12n－10，
所以12n－10≤190，解得n≤，
而n∈N*，所以n的最大值为16.
故选B。
2★★（单选）已知数列{an}，{bn}为等差数列，且公差分别为d1＝2，d2＝1，则数列{2an－3bn}的公差为( )
A.7 B.5 C.3 D.1
【解析】由于{an}，{bn}为等差数列，故数列{2an－3bn}的公差d＝(2an＋1－3bn＋1)－(2an－3bn)＝2(an＋1－an)－3(bn＋1－bn)＝2d1－3d2＝1.
故选D。
3★★（多选）下列命题中，正确的是( )
A.若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列
B.若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列
C.若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列
D.若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列
【解析】 A项中，∵a，b，c为等差数列，
∴2b＝a＋c，
∴2·(2b)＝2a＋2c，∴2a，2b，2c成等差数列，故A正确.
C项中，∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，
∴2(b＋2)＝(a＋2)＋(c＋2)，
∴a＋2，b＋2，c＋2成等差数列.故C正确.
故选AC
4★（填空）已知两个等差数列{an}：5,8,11，…，与{bn}：3,7,11，…，它们的公共项组成数列{cn}，则数列{cn}的通项公式cn＝________；若数列{an}和{bn}的项数均为100，则{cn}的项数是________．
【解析】由于数列{an}和{bn}都是等差数列，所以{cn}也是等差数列，且公差为3×4＝12，又c1＝11，故cn＝11＋12(n－1)＝12n－1.又a100＝302，b100＝399，所以11≤12n－1≤302，解得1≤n≤25.25，
又n∈N*，故{cn}的项数为25.
答案 12n－1 25
5★★（填空）已知两个等差数列{an}：5，8，11，…，与{bn}：3，7，11，…，它们的公共项组成数列{cn}，则数列{cn}的通项公式cn＝________；若数列{an}和{bn}的项数均为100，则{cn}的项数是________.
【解析】由于数列{an}和{bn}都是等差数列，
所以{cn}也是等差数列，
且公差为3×4＝12，
又c1＝11，故cn＝11＋12(n－1)＝12n－1.
又a100＝302，b100＝399，
所以
解得1≤n≤25.25，
故{cn}的项数为25.
答案 12n－1 25
【方法总结】
对于任何形式的构造数列，判断是否为等差数列，一般从两个方面进行判断：
(1)定义：an－an－1是否为常数；(2)其通项公式是否为关于n的一次函数．
【题型五】等差数列的实际应用
1★（单选）中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗一头细．在粗的一端截下一尺，重四斤；在细的一端截下一尺，重二斤．问依次每一尺各重几斤？”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，则中间三尺的质量为( )
A．3斤 B．6斤
C．9斤 D．12斤
【解析】由题意可知金箠每尺的质量(单位：斤)构成等差数列{an}，设细的一端一尺的质量为a1斤，粗的一端一尺的质量为a5斤，
则a1＝2，a5＝4，
根据等差数列的性质可知a1＋a5＝2a3＝6，解得a3＝3，
所以中间三尺的质量为a2＋a3＋a4＝3a3＝9(斤)．
2★★（单选）“珠算之父”程大位是我国明代著名的数学家，他的应用巨著《算法统宗》中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节六升六，上梢四节四升四，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明．”(注：六升六：6.6升，次第盛：盛米容积依次相差同一数量)用你所学的数学知识求得中间两节竹的容积为( )
A．3.4升 B．2.4升
C．2.3升 D．3.6升
【解析】设从下至上各节的容积分别为a1，a2，…，a9，
由题意知{an}为等差数列，公差为d，
因为解得
所以a4＋a5＝2a1＋7d＝3.4.
故选A。
3★★★（单选）《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的等于较小的两份之和，则最小的一份为( )
A. B.
C. D.
【解析】设五个人所分得的面包个数为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，其中d>0，
则(a－2d)＋(a－d)＋a＋(a＋d)＋(a＋2d)＝5a＝100，∴a＝20.
由(a＋a＋d＋a＋2d)＝a－2d＋a－d，
得3a＋3d＝7(2a－3d)，
∴24d＝11a，
∴d＝，
∴最小的一份为a－2d＝20－＝.
4★★（多选）《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则( )
A．冬至的日影子长最长，为15.5尺
B．立夏比谷雨的日影子长多1尺
C．大寒、雨水、春分的日影子长成等差数列
D．清明的日影子长为8.5尺
【解析】依题意，从冬至起，日影子长依次记为a1，a2，…，a12，则数列{an}(n∈N*，n≤12)是等差数列，因此，a1＋a4＋a7＝37.5，而a1＋a7＝2a4，解得a4＝12.5，又a12＝4.5，设数列{an}的公差为d，于是得解得A正确；a10－a9＝－1，立夏比谷雨的日影子长少1尺，B不正确；而a3，a5，a7成等差数列，即大寒、雨水、春分的日影子长成等差数列，C正确；a8＝a1＋(8－1)d＝8.5，即清明的日影子长为8.5尺，D正确．
故选ACD
5★（填空）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种，这五种规格党旗的长a1，a2，a3，a4，a5(单位：cm)成等差数列，对应的宽为b1，b2，b3，b4，b5(单位：cm)，且长与宽之比都相等，已知a1＝288，a5＝96，b1＝192，则b3＝________.
【解析】由题意，五种规格党旗的长a1，a2，a3，a4，a5(单位：cm)成等差数列，设公差为d，因为a1＝288，a5＝96，可得d＝＝＝－48，可得a3＝288＋(3－1)×(－48)＝192，又由长与宽之比都相等，且b1＝192，可得＝，所以b3＝＝＝128.
6★★（填空）已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中小寒与清明之间的晷影长之差为
【解析】设晷影长构成等差数列{an}，公差为d，则a1＝130.0，a13＝14.8，d＝＝－9.6，故小寒与清明之间的晷影长之差即为a2－a8＝－(a8－a2)＝－6d＝57.6。
7★★（解答）有一批电视机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售．甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，以此类推，每多买一台则所购买各台的单价均减少20元，但每台最少不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售．某单位需购买一批此类电视机，则去哪一家商场购买花费较少？
【解析】设某单位需购买电视机n台．
在甲商场购买时，所买电视机的售价构成等差数列{an}，
an＝780＋(n－1)×(－20)＝－20n＋800，
由an＝－20n＋800≥440，得n≤18，
即购买台数不超过18台时，每台售价(800－20n)元；
购买台数超过18台时，每台售价440元．
到乙商场购买时，每台售价为800×75%＝600(元)．
比较在甲、乙两家家电商场的费用
(800－20n)n－600n＝20n(10－n)．
当n＜10时，(800－20n)n＞600n，到乙商场购买花费较少；
当n＝10时，(800－20n)n＝600n，到甲、乙商场购买花费相同；
当10＜n≤18时，(800－20n)n＜600n，到甲商场购买花费较少；
当n＞18时，440n＜600n，到甲商场购买花费较少．
因此，当购买电视机台数少于10台时，到乙商场购买花费较少；当购买电视机10台时，到两家商场购买花费相同；当购买电视机台数多于10台时，到甲商场购买花费较少．
【方法总结】
解决等差数列实际应用问题的步骤及注意点
(1)解决数列实际应用问题的基本步骤：①审题，即仔细阅读材料，认真理解题意；②建模，即将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题；③判型，即判断该数列是否为等差数列；④求解，即求出该问题的数学解；⑤还原，即将所求结果还原到实际问题中．
(2)在利用数列方法解决实际问题时，一定要弄清首项、项数等关键问题．
【题型六】等差数列的综合应用
1★★（单选）在1和19之间插入n个数，使这n＋2个数成等差数列，若这n个数中第一个为a，第n个为b，当＋取最小值时，n的值是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
【解析】设等差数列的公差为d，则a＝1＋d，b＝19－d，从而a＋b＝20，
由题意知，d>0，故a>0，b>0，
所以(a＋b)＝1＋16＋＋
≥17＋2＝25，
即＋≥＝，当且仅当＝，
即b＝4a时取“＝”，又a＝1＋d，b＝19－d，解得d＝3，
所以19＝1＋(n＋1)×3，所以n＝5.
故选B。
2★★（单选）已知{an}为等差数列，若a1＋a5＋a9＝π，则tan(a4＋a6)的值为( )
A．－ B．－ C．－ D.
【解析】因为{an}为等差数列，a1＋a5＋a9＝3a5＝π，所以a5＝，
所以tan(a4＋a6)＝tan 2a5＝tan ＝－.
故选C。
3★★★（单选）在等差数列{an}中，a1≠0，若存在正整数m，n，p，q满足m＋nA．4
B．1
C.
D．由等差数列的首项a1的值决定
【解析】设{an}的公差为d，由am＋an＝ap＋aq得(m＋n－p－q)d＝0.
因为存在正整数m，n，p，q满足m＋n又a1≠0，所以a2 022＝a2 023≠0，
所以＝1.
故选B。
4★★（多选）已知单调递增的等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则下列各式一定成立的有( )
A.a1＋a101>0 B.a2＋a100＝0
C.a3＋a99＝0 D.a51＝0
【解析】∵a1＋a2＋…＋a101＝0，
又∵a1＋a101＝a2＋a100＝a3＋a99＝…＝2a51，
∴101a51＝0，
∴a51＝0，a3＋a99＝a2＋a100＝2a51＝0.
故选BCD
5★（填空）若等差数列{an}的首项a1＝5，am＝3，则am＋2等于
【解析】设等差数列{an}的公差为d，
因为a1＝5，am＝3，
所以d＝＝.
所以am＋2＝am＋2d＝3＋＝3－.
6★★（填空）若关于x的方程x2－x＋m＝0和x2－x＋n＝0(m，n∈R，且m≠n)的四个根组成首项为的等差数列，则数列的公差d＝________，m＋n的值为________．
【解析】设x2－x＋m＝0，x2－x＋n＝0的根分别为x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＝x3＋x4＝1(且1－4m>0,1－4n>0)．
设数列的首项为x1，则根据等差数列的性质，数列的第4项为x2.由题意知x1＝，∴x2＝，数列的公差d＝＝，
∴数列的中间两项分别为＋＝，＋＝.
∴x1·x2＝m＝，x3·x4＝n＝×＝.
∴m＋n＝＋＝.
7★★（解答）已知数列{an}满足an＋1＝(n∈N*)，且a1＝0.
(1)求a2，a3；
(2)是否存在一个实数λ，使得数列为等差数列，请说明理由．
【解析】(1)因为a1＝0，an＋1＝(n∈N*)，
所以a2＝＝，a3＝＝.
(2)假设存在一个实数λ，使得数列为等差数列，所以＝＋，即＝＋，解得λ＝1.
因为－＝－
＝－＝＝－，
又＝－1，所以存在一个实数λ＝1，使得数列是首项为－1，公差为－的等差数列．
【方法总结】
解决数列综合问题的方法策略
(1)结合等差数列的性质或利用等差中项．
(2)利用通项公式，得到一个以首项a1和公差d为未知数的方程或不等式．
(3)利用函数或不等式的有关方法解决．
五、分层测试
一、单选题
1★ 在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为( )
A．5 B．6
C．8 D．10
【解析】由等差数列的性质，得a1＋a9＝2a5，又因为a1＋a9＝10，即2a5＝10，所以a5＝5。
故选A。
2★数列{an}满足3＋an＝an＋1且a2＋a4＋a6＝9，则log6(a5＋a7＋a9)的值是( )
A．－2 B．－
C．2 D.
【解析】因为an＋1－an＝3，所以{an}为等差数列，且d＝3。a2＋a4＋a6＝9＝3a4，所以a4＝3，a5＋a7＋a9＝3a7＝3(a4＋3d)＝3×(3＋3×3)＝36，所以log6(a5＋a7＋a9)＝log636＝2。
故选C。
3★在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝( )
A．5 B．8
C．10 D．14
【解析】由等差数列的性质可得a1＋a7＝a3＋a5＝10，又a1＝2，所以a7＝8。
故选B。
4★已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m等于( )
A．8 B．4
C．6 D．12
【解析】因为a3＋a6＋a10＋a13＝4a8＝32，所以a8＝8，即m＝8。
故选A。
5★★已知等差数列{an}中，a3＋a6＝8，则5a4＋a7＝( )
A.32 B.27 C.24 D.16
【解析】法一 设等差数列{an}公差为d，则a3＋a6＝2a1＋7d＝8，
所以5a4＋a7＝6a1＋21d＝3(2a1＋7d)＝24.
法二 在等差数列中，m＋n＝p＋q，
则am＋an＝ap＋aq，
∴a2＋a6＝a3＋a5＝2a4，
∴5a4＋a7＝a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7.
又a2＋a7＝a3＋a6＝a4＋a5.
∴5a4＋a7＝3(a3＋a6)＝3×8＝24.
故选C。
6★★★《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均输章》有如下问题：“今有五人分六钱，令前三人所得与后二人等，各人所得均增，问各得几何？”其意思是：“已知A，B，C，D，E五个人分重量为6钱(‘钱’是古代的一种重量单位)的物品，A，B，C三人所得钱数之和与D，E二人所得钱数之和相同，且A，B，C，D，E每人所得钱数依次成递增等差数列，问五个人各分得多少钱的物品？”在这个问题中，C分得物品的钱数是( )
A. B. C. D.
【解析】设5个人分得的物品的钱数为等差数列中的项a1，a2，a3，a4，a5，
则a1＋a2＋a3＝a4＋a5，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝6＝5a3，
a3＝.
故选C。
二、多选题
7★ 已知等差数列{an}中，a1＝3，公差为d(d∈N*)，若2 021是该数列的一项，则公差d不可能是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
【解析】因为2 021是该数列的一项，即2 021＝3＋(n－1)d，所以n＝＋1，因为d∈N*，所以d是2 018的约数，故d不可能是3,4和5。
故选BCD。
8★★若{an}是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是( )
A．{|an|}
B．{an＋1－an}
C．{pan＋q}(p，q为常数)
D．{2an＋n}
【解析】数列－1,1,3是等差数列，
取绝对值后：1,1,3不是等差数列，A不成立；
若{an}是等差数列，利用等差数列的定义知，
{an＋1－an}为常数列，故是等差数列，B成立；
若{an}的公差为d，
则(pan＋1＋q)－(pan＋q)＝p(an＋1－an)＝pd为常数，故{pan＋q}是等差数列，C成立；
(2an＋1＋n＋1)－(2an＋n)＝2(an＋1－an)＋1＝2d＋1为常数，故{2an＋n}是等差数列，D成立．
故选BCD。
9★★★若{an}是等差数列，则下列数列为等差数列的有( )
A.{an＋an＋1} B.{a}
C.{an＋1－an} D.{2an}
【解析】设等差数列{an}的公差为d.
对于A，(an＋an＋1)－(an－1＋an)＝(an－an－1)＋(an＋1－an)＝2d(n≥2)，所以{an＋an＋1}是以2d为公差的等差数列；
对于B，a－a＝(an＋1－an)(an＋an＋1)＝d(an＋an＋1)，因为d(an＋an＋1)不一定为常数，所以{a}不一定是等差数列；
对于C，因为an＋1－an＝d，所以{an＋1－an}为等差数列；
对于D，因为2an＋1－2an＝2d，所以{2an}为等差数列.
故选ACD。
三、填空题
10★ 在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________.
【解析】3a5＋a7＝2a5＋(a5＋a7)＝2a5＋2a6＝2(a3＋a8)＝20.
11★★已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9＝________.
【解析】法一 由性质可知，数列a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9是等差数列，所以2(a2＋a5＋a8)＝(a1＋a4＋a7)＋(a3＋a6＋a9)，
则a3＋a6＋a9＝2×33－39＝27.
法二 设等差数列{an}的公差为d，
则(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝(a2－a1)＋(a5－a4)＋(a8－a7)＝3d＝－6，
解得d＝－2，
所以a3＋a6＋a9＝a2＋d＋a5＋d＋a8＋d＝27.
12★★★若关于x的方程x2－2x＋m＝0和x2－2x＋n＝0(m≠n)的四个根可组成首项为的等差数列，则|m－n|的值是________.
【解析】设a，b为方程x2－2x＋m＝0的两根，则a＋b＝2，c，d为方程x2－2x＋n＝0的两根，则c＋d＝2，
而四个根可组成一个首项为的等差数列，
现假定a＝，则b＝2－＝.
根据等差数列的四项中，第一项与第四项的和等于第二项与第三项的和，
∴这个等差数列的顺序为，c，d，.
则c＝，d＝，
∴m＝ab＝，∴n＝cd＝.
∴|m－n|＝＝.
四、简答题
13★在等差数列{an}中.
(1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13；
(2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d.
【解析】(1)根据已知条件a2＋a3＋a23＋a24＝48，得4a13＝48，
∴a13＝12.
(2)由a2＋a3＋a4＋a5＝34，
得2(a2＋a5)＝34，
即a2＋a5＝17，
由
解得或
∴d＝＝＝3或d＝
＝＝－3.
14★在等差数列中，若a3＋a8＋a13＝12，a3a8a13＝28.
(1)求数列的通项公式；
(2)求a23的值.
【解析】(1)根据题意，设等差数列的公差为d，
若a3＋a8＋a13＝12，则3a8＝12，则a8＝4，
又由a3a8a13＝28，得a3a13＝(4－5d)(4＋5d)＝7，
解得d＝±，
当d＝时，an＝a8＋(n－8)d＝；
当d＝－时，an＝a8＋(n－8)d＝.
(2)由(1)的结论，当d＝时，an＝，此时a23＝＝13，
当d＝－时，an＝，则a23＝＝－5，
则a23＝13或－5.
15★★已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，且a11＝－26，a51＝54，求a14的值。你能知道该数列从第几项开始为正数吗？
【解析】由等差数列an＝a1＋(n－1)d列方程组解得
所以a14＝－46＋13×2＝－20。
所以an＝－46＋(n－1)×2＝2n－48。
令an>0，即2n－48>0，解得n>24。
所以从第25项开始，各项均为正数。
16★★★某科技公司最新研发的VR眼镜原销售价为每台800元，在甲、乙两家电商平台均有销售。甲商家用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台单价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但每台最低价不能低于440元；乙商家一律都按原价的75%销售。某游乐园需要购买一批此类眼镜，问去哪家商场买花费较少。
【解析】设某游乐园需购VR眼镜n台，在甲商家购买每台售价不低于440元，售价依台数n成等差数列。设该数列为{an}。
an＝780＋(n－1)(－20)＝800－20n，
解不等式an≥440，即800－20n≥440，得n≤18。
当购买台数小于等于18台时，每台售价为(800－20n)元，当台数大于18台时，每台售价为440元。
到乙商家购买，每台售价为800×75%＝600(元)。
作差：(800－20n)n－600n＝20n(10－n)。
当n<10时，600n<(800－20n)n；
当n＝10时，600n＝(800－20n)n；
当10当n>18时，440n<600n。
综上，当购买少于10台时到乙商家花费较少，当购买10台时到两商家购买花费相同，当购买多于10台时到甲商家购买花费较少。