第六章 平面向量及其应用
6.1 平面向量的概念
题型一、平面向量的概念
【例1】【多选】以下关于平面向量的说法中，正确的是（ ）
A．既有大小，又有方向的量叫做向量 B．所有单位向量都相等
C．零向量没有方向 D．平行向量也叫做共线向量
【例2】下列命题中正确的是（ ）
A．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同
B．两个有公共终点的向量，一定是共线向量
C．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同
D．若与是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上
【例3】下列说法中正确的是（ ）
A．若为单位向量，则 B．若与共线，则或
C．若，则 D．是与非零向量共线的单位向量
变式训练
1、给出下列物理量:①密度；②路程；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.下列说法正确的是( )
A．①②③是数量，④⑤⑥是向量 B．②④⑥是数量，①③⑤是向量
C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量
2、给出下列命题：①起点相同，方向相同的两个非零向量的终点相同；②起点相同的两个相等的非零向量的终点相同；③两个平行的非零向量的方向相同；④两个共线的非零向量的起点与终点一定共线.其中正确的是（ ）
A．①② B．② C．②③ D．③④
3、下列说法错误的是（ ）
A．若非零向量有，，则
B．零向量与任意向量平行
C．已知向量不共线，且，，则
D．平行四边形中，
4、下列说法中，正确的是（ ）
①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；
③单位向量都是同方向；④任意向量与零向量都共线．
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
5、下列结论中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若A，B，C，D是不共线的四点，则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件
D．“”的充要条件是“且”
题型二、向量的几何表示
【例1】在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：
(1)，使||＝4，点A在点O北偏东45°方向上；
(2)，使||＝4，点B在点A正东方向上；
(3)，使||＝6，点C在点B北偏东30°方向上．
变式训练
1、某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了 米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．
（1）作出向量，，；
（2）求 的模．
题型三、平行向量与共线向量
【例1】如图所示，四边形为正方形，为等腰直角三角形.
（1）图中与共线的向量有____________________；
（2）图中与相等的向量有_______________；
（3）图中与相等的向量有__________.
【例2】已知平面四边形ABCD满足，则四边形ABCD是（ ）
A．正方形 B．平行四边形 C．菱形 D．梯形
变式训练
1、如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，在向量，，，，，，，，，，中与共线的向量有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2、在四边形ABCD中，，，则四边形ABCD是（ ）
A．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．正方形
3、下列命题中正确的个数为（ ）
①两个有共同始点且相等的向量，其终点可能不同；
②若非零向量与共线，则、、、四点共线；
③若非零向量与共线，则；
④四边形是平行四边形，则必有；
⑤，则、方向相同或相反.
A．个 B．个 C．个 D．个第六章 平面向量及其应用
6.1 平面向量的概念
题型一、平面向量的概念
【例1】【多选】以下关于平面向量的说法中，正确的是（ ）
A．既有大小，又有方向的量叫做向量 B．所有单位向量都相等
C．零向量没有方向 D．平行向量也叫做共线向量
【解析】由向量的定义知，既有大小，又有方向的量叫做向量，A正确；
任意两个单位向量的模相等，其方向未必相同，B不正确；
零向量有方向，其方向是任意的，C不正确；
由平行向量的定义知，平行向量也叫做共线向量，D正确.
故选：AD
【例2】下列命题中正确的是（ ）
A．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同
B．两个有公共终点的向量，一定是共线向量
C．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同
D．若与是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上
【答案】A
【分析】根据向量相等与共线的概念即可解决.
【详解】两个相等的向量方向相同且长度相等，因此起点相同时终点必相同，故A正确；
两个有公共终点的向量，可能方向不同，也可能模长不同，故B错误；
两个有共同起点且共线的向量可能方向不同，也可能模长不同，终点未必相同，故C错误；
与是共线向量，也可能是AB平行于CD，故D错误.
故选：A
【例3】下列说法中正确的是（ ）
A．若为单位向量，则 B．若与共线，则或
C．若，则 D．是与非零向量共线的单位向量
【答案】CD
【分析】根据向量的基本概念，以及零向量和单位向量的定义，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，向量的方向不一定相同，所以A错误；
对于B中，向量与的长度不一定相等，所以B错误；
对于C中，由，根据零向量的定义，可得，所以C正确；
对于D中，由，可得与向量同向，
又由的模等于，所以是与非零向量共线的单位向量，所以D正确.
故选：CD.
变式训练
1、给出下列物理量:①密度；②路程；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.下列说法正确的是( )
A．①②③是数量，④⑤⑥是向量 B．②④⑥是数量，①③⑤是向量
C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量
【解析】由物理知识可知，密度，路程，质量，功只有大小，没有方向，因此是数量而速度，位移既有大小又有方向，因此是向量.故选：D
2、给出下列命题：①起点相同，方向相同的两个非零向量的终点相同；②起点相同的两个相等的非零向量的终点相同；③两个平行的非零向量的方向相同；④两个共线的非零向量的起点与终点一定共线.其中正确的是（ ）
A．①② B．② C．②③ D．③④
【解析】①起点相同，方向相同，但大小不一定相同，所以两个非零向量的终点不一定相同，故错误；②起点相同的两个相等的非零向量的终点相同，故正确；③两个平行的非零向量的方向相同或相反，故错误；④两个共线的非零向量的起点与终点不一定共线，所对应的直线可能平行，故错误.
故选：B
3、下列说法错误的是（ ）
A．若非零向量有，，则
B．零向量与任意向量平行
C．已知向量不共线，且，，则
D．平行四边形中，
【答案】D
【分析】
根据共线向量的定义和性质逐一判断即可选出正确答案.
【详解】
选项A：因为都不是零向量，所以由，可知向量与向量具有相同或相反方向.又由，可得向量与向量具有相同或相反方向，所以向量与向量具有相同或相反方向，故，故本说法是正确的；
选项B：零向量与任意向量平行这是数学规定，故本说法是正确的；
选项C：由，，可知：与向量具有相同或相反方向，与向量具有相同或相反方向，但是向量不共线，所以，故本说法是正确的；
选项D：平行四边形中，应该有，故本说法是错误的.
故选：D
【点睛】
本题考查了共线向量的定义和性质，考查了相等向量的定义，考查了零向量的性质，属于基础题.
4、下列说法中，正确的是（ ）
①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；
③单位向量都是同方向；④任意向量与零向量都共线．
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
【解析】①长度为0的向量都是零向量，正确；
②零向量的方向任意，故错误；
③单位向量只是模长都为1的向量，方向不一定相同，故错误；
④任意向量与零向量都共线，正确；
故选：D
5、下列结论中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若A，B，C，D是不共线的四点，则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件
D．“”的充要条件是“且”
【答案】BC
【分析】根据平面向量的性质、平行的性质与充分必要条件的定义逐个辨析即可.
【详解】对于A，两个向量的长度相等.但它们的方向不一定相同；
对于B，由平面向量相等可得B正确；
对于C，若A，B，C，D是不共线的四点，则当时，且，故四边形ABCD为平行四边形；
题型二、向量的几何表示
【例1】在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：
(1)，使||＝4，点A在点O北偏东45°方向上；
(2)，使||＝4，点B在点A正东方向上；
(3)，使||＝6，点C在点B北偏东30°方向上．
【解析】(1)由于点A在点O北偏东45°方向上，又||＝4，小方格的边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是确定点A的位置，画出向量．
(2)由于点B在点A正东方向上，且||＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B的位置可以确定，画出向量，如图所示．
(3)由于点C在点B北偏东30°方向上，且||＝6，依据勾股定理可得，在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3≈5.2，画出向量．
变式训练
1、某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了 米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．
（1）作出向量，，；
（2）求 的模．
【解析】（1）作出向量，，；如图所示：
（2）由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10 米，CD＝10米，
所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，
所以AD＝＝(米)，所以|米.
题型三、平行向量与共线向量
【例1】如图所示，四边形为正方形，为等腰直角三角形.
（1）图中与共线的向量有____________________；
（2）图中与相等的向量有_______________；
（3）图中与相等的向量有__________.
【答案】
【分析】
根据共线向量与向量的模长相等的定义，写出符合条件的向量即可．
【详解】
解：根据题意得，（1）图中与共线的向量为；
（2）图中与相等的向量为．
（3）图中与相等的向量有
【点睛】
本题考查了共线向量与相等向量的应用问题，理解概念是解题的关键，是基础题目．
【例2】已知平面四边形ABCD满足，则四边形ABCD是（ ）
A．正方形 B．平行四边形 C．菱形 D．梯形
【解析】在四边形ABCD中， ，所以，且，
所以四边形为平行四边形．
故选：B
变式训练
1、如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，在向量，，，，，，，，，，中与共线的向量有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】C
【答案】在向量，，，，，，，，，，中与共线的向量有：向量，，．故选C．
2、在四边形ABCD中，，，则四边形ABCD是（ ）
A．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．正方形
【解析】∵ ，∴ ，又，∴ 四边形ABCD是梯形，
故选：A.
3、下列命题中正确的个数为（ ）
①两个有共同始点且相等的向量，其终点可能不同；
②若非零向量与共线，则、、、四点共线；
③若非零向量与共线，则；
④四边形是平行四边形，则必有；
⑤，则、方向相同或相反.
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【分析】
根据相等向量的定义判断①的真假；根据共线向量的定义判断②的真假；根据共线向量的等价条件判断③的真假；根据相等向量的定义判断④的真假；取判断⑤的真假.
【详解】
①相等向量是大小相等、方向相同的向量，如果两个相等向量起点相同，则由定义知终点必相同，命题①是假命题；
②共线向量是基线平行或重合的向量，若非零向量与共线且直线与平行时，、、、四点不共线，命题②是假命题；
③若非零向量与共线，则存在非零实数，使得，命题③是假命题；
④四边形是平行四边形，则，由相等向量的定义可知，命题④是真命题；
⑤若为非零向量，，则、方向无法确定，命题⑤是假命题.
故选：B.
【点睛】
本题考查相等向量、共线向量的有关知识，需掌握相等向量、共线向量的定义和特点，属简单题.
