5.1任意角与弧度制专项练习解析版
一、单选题
1．若扇形的面积为 半径为2，则扇形的圆心角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据扇形面积公式求解即可.
【详解】设扇形的圆心角为，
则，即，解得.故选：D.
2．（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用公式可求角的弧度数
【详解】角对应的弧度数为故选：C
3．下列转化结果错误的是（ ）
A．化成弧度是 B．化成弧度是
C．化成度是 D．化成度是
【答案】B
【分析】利用角度与弧度的互化逐项判断可得出合适的选项.
【详解】，，，
.故选：B.
4．《九章算术》是我国算术名著，其中有这样的一个问题：“今有宛田，下周三十步，径步．问为田几何？”意思是说：“现有扇形田，弧长60步，直径32步，问面积是多少？”在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是（ ）
A． B． C． D．120
【答案】A
【分析】根据扇形面积公式得到面积为步，设出扇形圆心角，根据求出扇形圆心角.
【详解】因为直径步，故半径为步，
（平方步），
设扇形的圆心角为，则，
即．故选：.
5．在东方设计中，存在着一个名为“白银比例”的理念，这个比例为，它在东方文化中的重要程度不亚于西方文化中的“黄金分割比例”，传达出一种独特的东方审美观.折扇纸面可看作是从一个扇形纸面中剪下小扇形纸面制作而成（如图）.设制作折扇时剪下小扇形纸面面积为，折扇纸面面积为，当时，扇面较为美观.那么按“白银比例”制作折扇时，原扇形半径与剪下小扇形半径之比为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设原扇形半径为x，剪下小扇形半径为y，，由已知利用扇形的面积公式即可求解原扇形半径与剪下小扇形半径之比．
【详解】由题意，如图所示，设原扇形半径为x，剪下小扇形半径为y，，
则小扇形纸面面积,折扇纸面面积，
由于 ，
所以，
即得，
解得，即原扇形半径与剪下小扇形半径之比为，故选：B．
二、多选题
6．如果α是第三象限的角，那么可能是下列哪个象限的角（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】ACD
【分析】先写出角的范围，再除以，从而求出角的范围，分析即得解
【详解】是第三象限的角，则，，
所以，；
当，，在第一象限；
当，，在第三象限；
当，，在第四象限；
所以可以是第一、第三、或第四象限角．故选：ACD
7．下列结论中不正确的是（ ）
A．终边经过点的角的集合是
B．将表的分针拨快10分钟，则分针转过的角的弧度数是
C．若是第一象限角，则是第一象限角，为第一或第二象限角
D．，，则
【答案】BC
【分析】根据角的终边位置判断A，根据角的定义判断B，利用特殊值判断C，根据集合间的包含关系判断D．
【详解】对于选项A：终边经过点的角在第二和第四象限的角平分线上，故角的集合是， 正确；
对于选项B：将表的分针拨快10分钟，按顺时针方向旋转圆周角的六分之一，则分针转过的角的弧度数是， 错误；
对于选项C：若，不是第一象限角，错误；
对于选项D：而表示的奇数倍，
，而表示 的整数倍，所以，正确．故选：BC
8．已知{第一象限角}，{锐角}，{小于的角}，那么A、B、C关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】根据集合中角的范围，对选项逐一分析，由此得出正确选项.
【详解】对于A选项，除了锐角，还包括其它角，比如，所以A选项错误.
对于B选项，锐角是小于的角，故B选项正确.
对于C选项，锐角是第一象限角，故C选项正确.
对于D选项，中角的范围不一样，所以D选项错误.故选：BC
【点睛】本小题主要考查角的范围比较，考查集合交集、并集和集合相等的概念，属于基础题.
三、填空题
9．角是第__________象限角．
【答案】三
【分析】利用终边相同的角的表示判断出与的终边相同，即可判断.
【详解】因为，
所以与的终边相同，为第三象限角.故答案为：三
10．写出一个与终边相同的角：__________.
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据终边相同的角的集合写出即可.
【详解】与终边相同的角的集合为，
取，则，（取值时，即可）.故答案为：（答案不唯一）.
11．将一条射线绕着其端点顺时针旋转，再逆时针旋转，最后形成的角的度数为______．
【答案】
【分析】根据正负角的定义可直接求得结果.
【详解】顺时针旋转所成的角为负角，逆时针旋转所成的角为正角，
经两次旋转后形成的角的度数为．故答案为：.
12．自行车大轮48齿，小轮20齿，大轮转一周小轮转___________周．
【答案】
【分析】通过两个车轮转动的齿数相同，计算即可得出结果.
【详解】两个车轮转动的齿数相同，大轮有48齿，小轮有20齿，
当大轮转动一周时，大轮转动了48个齿，
小轮转动周.故答案为：.
13．终边在直线上的角构成的集合可以表示为_________.
【答案】
【分析】写出终边落在直线上且在第一、三象限的角的集合，即可得到结果．
【详解】∵角的终边在直线上，
∴角的终边在一、三象限的角平分线上，
∴．故答案为：．
14．终边在x正半轴上的角的集合是_____；终边在y轴上的角的集合是_____；终边在第一、第三象限角平分线上的角的集合是______.
【答案】
【分析】直接写出终边在x正半轴上的角的集合，根据终边在两条射线上的角的集合的并集可得终边在y轴上的角的集合和终边在第一、第三象限角平分线上的角的集合.
【详解】终边在x正半轴上的角的集合是；
终边在y轴上的角的集合是
；
终边在第一、第三象限角平分线上的角的集合是
.
故答案为：；；.
15．（1）时钟走了3小时20分，则时针所转过的角的度数为_______，分针转过的角的度数为__________．
（2）如图，射线绕顶点逆时针旋转到位置，并在此基础上顺时针旋转120到达位置，则_________．
【答案】
【解析】（1）计算出指针单位时间内走过的度数→乘以时间．
（2）→→
【详解】（1）从时针和分针每小时或每分钟转过的角度数切入，时针每小时转，分针每小时转，每分钟转、时针、分针都按顺时针方向旋转，故转过的角度数都是负的，3小时20分即小时，故时针转过的角度数为；分针转过的角度数为．
（2）由角的定义可得．
故答案为：；；．
【点睛】本题考查任意角的概念，注意角的正负与顺逆时针旋转的规定．
16．已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为，则该扇形的面积为________．
【答案】
【分析】根据角度制与弧度制的互化，可得圆心角，再由扇形面积公式求解即可.
【详解】由题意，根据角度制与弧度制的互化，可得圆心角.则该扇形的面积为.故答案为：
四、解答题
17．中国最早用土和石片刻制成“土主”与“日暑”两种计时工具，成为世界上最早发明计时工具的国家之一.铜器时代，使用青铜制的“漏壶”，东汉元初四年张衡发明了世界第一架“水运浑象”，元初郭守敬、明初詹希元创制“大明灯漏”与“五轮沙漏”，一直到现代的钟表、手表等.现在有人研究钟的时针和分针一天内重合的次数，从午夜零时算起，假设分针走了会与时针重合，一天内分针和时针重合次.
(1)建立关于的函数关系；
(2)求一天内分针和时针重合的次数.
【答案】(1)； (2)22次.
【分析】（1）计算出分针以及时针的旋转的角速度，由题意列出等式，求得答案；
（2）根据时针旋转一天所需的时间，结合（1）的结果，列出不等式，求得答案.
【详解】（1）设经过分针就与时针重合，为两针一天内重合的次数.
因为分针旋转的角速度为，
时针旋转的角速度为，所以，即.
（2）因为时针旋转一天所需的时间为（ ），
所以，于是，故时针与分针一天内只重合22次.
18．一个扇形的周长是20cm，问它的半径r多大时，此扇形的面积最大？最大面积为多少？
【答案】当半径为5cm时，此扇形的面积的取到最大值
【分析】利用扇形面积公式求得扇形的面积的表达式，并利用配方法求得面积的最大值.
【详解】设半径为r，弧长为l，则，即，
，
当时，取到最大值25，故当半径为5cm时，此扇形的面积取到最大值.
19．如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界).
（1） ； （2）
【答案】（1）；
（2）或.
【分析】由图①可知，以OA为终边的角为+2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为+2kπ(k∈Z)，由此可求出阴影部分内的角的集合；
由图②可知，以OA为终边的角为+2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为+2kπ(k∈Z).
不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2，由阴影部分内的角的集合为.
【详解】如题图①，以OA为终边的角为+2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为+2kπ(k∈Z)，
所以阴影部分内的角的集合为
；
如题图②，以OA为终边的角为+2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为+2kπ(k∈Z).
不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2，
则M1=，M2=.
所以阴影部分内的角的集合为
或.
20．若是第一象限角，问，，是第几象限角？
【答案】是第四象限角；是第一、二象限角或终边在轴的非负半轴上；是第一、二或第三象限角．
【分析】根据已知写出角的取值集合，再分别求出，，集合即可得到答案．
【详解】因为是第一象限角，所以，
所以，
所以所在区域与范围相同，故是第四象限角；
，
所以所在区域与范围相同，故是第一、二象限角或终边在轴的非负半轴上；
．
当时，，所以是第一象限角；
当时，，所以是第二象限角；
当时，，所以是第三象限角．
综上可知：是第一、二或第三象限角．
【点睛】方法点睛：若已知角是第几象限角，判断等是第几象限角，主要方法是解不等式并对进行分类讨论，考察角的终边的位置．5.1任意角与弧度制专项练习
一、单选题
1．若扇形的面积为 半径为2，则扇形的圆心角为（ ）
A． B． C． D．
2．（ ）
A． B． C． D．
3．下列转化结果错误的是（ ）
A．化成弧度是 B．化成弧度是
C．化成度是 D．化成度是
4．《九章算术》是我国算术名著，其中有这样的一个问题：“今有宛田，下周三十步，径步．问为田几何？”意思是说：“现有扇形田，弧长60步，直径32步，问面积是多少？”在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是（ ）
A． B． C． D．120
5．在东方设计中，存在着一个名为“白银比例”的理念，这个比例为，它在东方文化中的重要程度不亚于西方文化中的“黄金分割比例”，传达出一种独特的东方审美观.折扇纸面可看作是从一个扇形纸面中剪下小扇形纸面制作而成（如图）.设制作折扇时剪下小扇形纸面面积为，折扇纸面面积为，当时，扇面较为美观.那么按“白银比例”制作折扇时，原扇形半径与剪下小扇形半径之比为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
6．如果α是第三象限的角，那么可能是下列哪个象限的角（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．下列结论中不正确的是（ ）
A．终边经过点的角的集合是
B．将表的分针拨快10分钟，则分针转过的角的弧度数是
C．若是第一象限角，则是第一象限角，为第一或第二象限角
D．，，则
8．已知{第一象限角}，{锐角}，{小于的角}，那么A、B、C关系是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
9．角是第__________象限角．
10．写出一个与终边相同的角：__________.
11．将一条射线绕着其端点顺时针旋转，再逆时针旋转，最后形成的角的度数为______．
12．自行车大轮48齿，小轮20齿，大轮转一周小轮转___________周．
13．终边在直线上的角构成的集合可以表示为_________.
14．终边在x正半轴上的角的集合是_____；终边在y轴上的角的集合是_____；终边在第一、第三象限角平分线上的角的集合是______.
15．（1）时钟走了3小时20分，则时针所转过的角的度数为_______，分针转过的角的度数为__________．
（2）如图，射线绕顶点逆时针旋转到位置，并在此基础上顺时针旋转120到达位置，则_________．
16．已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为，则该扇形的面积为________．
四、解答题
17．中国最早用土和石片刻制成“土主”与“日暑”两种计时工具，成为世界上最早发明计时工具的国家之一.铜器时代，使用青铜制的“漏壶”，东汉元初四年张衡发明了世界第一架“水运浑象”，元初郭守敬、明初詹希元创制“大明灯漏”与“五轮沙漏”，一直到现代的钟表、手表等.现在有人研究钟的时针和分针一天内重合的次数，从午夜零时算起，假设分针走了会与时针重合，一天内分针和时针重合次.
(1)建立关于的函数关系；
(2)求一天内分针和时针重合的次数.
18．一个扇形的周长是20cm，问它的半径r多大时，此扇形的面积最大？最大面积为多少？
19．如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界).
（1） ； （2）
20．若是第一象限角，问，，是第几象限角？
