第六章 平面向量及其应用
6.2平面向量的运算
6.2.4 平面向量的数量积
一、平面向量的数量积
平面向量的数量积 定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b ，规定：零向量与任一向量的数量积为0．
投影 |a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影， |b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影
几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积
平面向量数量积的性质 设、都是非零向量，θ为a与b的夹角．则 ① ②当与同向时，；当与反向时，． ③或．（求向量的模长公式） ④．（求向量夹角公式） ⑤．
平面向量数量积满足的运算律 已知向量、、和实数，则： ①； ②； ③．
平面向量的数量积与共线问题 两个向量a，b的夹角为锐角 a·b>0且a，b不共线； 两个向量a，b的夹角为钝角 a·b<0且a，b不共线．
题型一、平面向量的数量积运算
【例1】(1)已知向量a与b满足|a|＝10，|b|＝3，且向量a与b的夹角为120°.求：
①(a＋b)·(a－b)； ②(2a＋b)·(a－b)．
【解析】①(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝100－9＝91.
②因为|a|＝10，|b|＝3，且向量a与b的夹角为120°，所以a·b＝10×3×cos 120°＝－15，
所以(2a＋b)·(a－b)＝2a2－a·b－b2＝200＋15－9＝206.
（2）若|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为60°，则a·b等于( )
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【解析】a·b＝|a|·|b|cos
＝2×1×cos60°＝1.
（3）已知正三角形ABC的边长为1，求：
①·； ②·； ③·.
【解析】(1)·＝||·||cosA＝1×1×cos60°＝.
(2)·＝||||cos120°＝1×1×(－)＝－.
(3)·＝||·||cos60°＝1×1×＝.
【例2】已知向量与的夹角为120°，且，，若，且，则实数的值为__________.
【答案】
【解析】∵，∴，∴
变式训练
1、已知单位向量a，b的夹角为45°，ka–b与a垂直，则k=__________.
【答案】
【解析】由题意可得：，由向量垂直的充分必要条件可得：，
即：，解得：.
2、已知向量，满足，，则
A．4 B．3 C．2 D．0
【答案】B
【解析】向量，满足，，则，故选．
3、已知边长为1的等边△ABC，，则（ ）
A． B．3 C． D．6
【答案】A
【分析】根据向量运算求得正确答案.
【详解】
.
故选：A
4、设向量与夹角的余弦值为，且，则（ ）
A． B． C．3 D．-3
【答案】B
【分析】根据数量积的运算律，结合数列的定义式，可得答案.
【详解】.
故选：B.
题型二、平面向量的模运算
【例3】已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.
【解析】a＋2b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋2·|a|·|2b|·cos 60°＋(2|b|)2＝22＋2×2×2×＋22＝4＋4＋4＝12，
所以|a＋2b|＝＝2.]
【例4】已知向量a与b夹角为45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝，求|b|.
【答案】(1)2 (2)
(2)因为|2a＋b|＝，所以(2a＋b)2＝10，所以4a2＋4a·b＋b2＝10.
又因为向量a与b的夹角为45°且|a|＝1，所以4×12＋4×1×|b|×＋|b|2＝10，
整理得|b|2＋2|b|－6＝0，解得|b|＝或|b|＝－3(舍去)．
变式训练
1、向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝，a与b的夹角为60°，则|b|＝( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意得|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2|a||b|cos60°＝，即1＋|b|2－|b|＝，解得|b|＝.
2、（1）若向量a，b满足|a|＝|b|＝2，a与b的夹角为60°，则|a＋b|等于( )
A．2 B．2 C．4 D．12
【答案】B
【解析】|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos 60°＝4＋4＋2×2×2×＝12，|a＋b|＝2.
（2）向量a，b的夹角为120°，且，则等于______
【答案】
【解析】
3、（1）已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝，|b|＝2，在△ABC中，＝2a＋2b，＝2a－6b，D为BC的中点，则||＝________.
【解析】(1)因为＝(＋)＝(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b，
所以||2＝4(a－b)2＝4(a2－2b·a＋b2)＝4×(3－2×2××cos ＋4)＝4，所以||＝2.
（2）已知，，，的夹角为，如图所示，若，，且D为BC中点，则的长度为
A. B. C.7 D.8
【答案】A
【解析】根据条件：；
．
4、若向量满足： （ ）
A.2 B. C.1 D.
【答案】B
【解析】由得①，
由得②，
①×②-②，得，即
题型三、平面向量的夹角运算
【例5】（1）已知，是单位向量，且满足，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设单位向量，的夹角为，，
即，解得，与夹角为．
（2）已知向量，是夹角为60°的单位向量，则向量与向量的夹角是____________.
【答案】120°
【解析】设，，，易知向量与向量的夹角是的补角，
而由题意得是等边三角形，
∴向量与向量的夹角120°
（3）已知向量，满足，且，，则、的夹角为
【答案】
【解析】由得，即，∴，∴
（4）若非零向量满足，则的夹角为（ ）
B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可得：，即，
所以，所以
（5）已知非零向量满足的夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设向量与的夹角为，由得，即，
所以，得.
（6）已知非零向量满足有实根，则的夹角的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意知：，即，
又，得，∴，∴
变式训练
1、已知非零向量a，b满足|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝.
①求|b|； ②当a·b＝时，求向量a与b的夹角θ的值．
【解析】①因为(a－b)·(a＋b)＝，即a2－b2＝，所以|b|2＝|a|2－＝1－＝，故|b|＝.
②因为cos θ＝＝，又0°≤θ≤180°，故θ＝45°.
2、已知，，.
（1）求与的夹角；
（2）若，且，求.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）因为，所以，
又因为，所以.
（2）因为，则，所以，
化简得：，解得：.
3、已知，，，求：
（1）与的夹角；
（2）与的夹角的余弦值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1），
，，
设与的夹角为，则．
又，
；
（2），，
．，
又．，
设与的夹角为，
则．
即与的夹角的余弦值为．
4、如图，菱形的边长为，，，．
求：（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）因为菱形的边长为，，，，
由向量的线性运算法则，可得，
所以
.
（2）由（1）知，，
可得，即，
，即，
所以.
5、非零向量，满足：，，则与夹角的大小为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】非零向量，满足，∴，
由可得，解得，
，为与的夹角，
，故选A．
题型四、平面向量的投影
【例6】已知单位向量e1，e2的夹角为，a＝2e1－e2，则a在e1上的投影是________．
【解析】设a与e1的夹角为θ，
则a在e1上的投影为|a|cos θ＝＝a·e1＝(2e1－e2)·e1＝2e－e1·e2＝2－1×1×cos＝.]
【例7】已知，设的夹角为，则在上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
变式训练
1、已知，若在方向上的投影为4，则___________.
【答案】
【解析】设与的夹角为，∵，∴.
又∵与方向上的投影为4，∴，∴.
2、已知向量，满足且，则向量在向量方向的投影为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设向量与向量的夹角为，则向量在向量方向的投影为，
因为，，，
所以，
即，，故选B。
3、设向量与满足，在方向上的投影向量为，若存在实数，使得与垂直，则（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据投影向量的定义结合已知求得，再由与垂直，得，结合数量积得运算律即可得解.
【详解】解：因为在方向上的投影向量为，
所以，
所以，
因为与垂直，
所以，
即，解得.
故选：B.
4、1.已知，，且，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
因为，所以，即，又因为，设的夹角为，所以，在上的投影为：，所以在上的投影向量为.
故选：C
5、已知向量满足， 且向量在向量上的投影向量为， 则的模为____________．
【答案】
【分析】根据投影向量的概念直接求解即可.
【详解】解：因为向量在向量上的投影向量为，
所以，即，解得
故答案为：
6、已知，为单位向量，与的夹角为，则向量在向量上的投影向量为______；
【答案】
【分析】根据投影向量的定义及向量数量积的定义即得.
【详解】因为，
所以向量在上的投影向量为.
故答案为：.
7、若向量满足，则在方向上投影的最大值是
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意，所以，
设的夹角为，则，所以，
所以在方向上投影为，
因为，所以，故选B.
题型五、平面向量的综合应用
【例8】若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为( )
A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【解析】因为(－)·(＋－2)＝0，即·(＋)＝0，因为－＝，
所以(－)·(＋)＝0，即||＝||，
所以△ABC是等腰三角形，故选C.
【例9】在中，，则为（ ）.
A．4 B．3 C． D．5
【答案】C
【分析】对两边平方整理得，得，则即可计算
【详解】在中，，
，，，
又，.
故选：C.
【例10】在中，，，，则边上中线的长为_____.
【答案】
【分析】作出图象，由图可知，再由平面向量的数量积的运算性质求解即可
【详解】因为，
所以
所以，
所以，
故答案为：
【例11】在中，，，点满足，点为的外心，则的值为__________.
【答案】
【分析】将用向量和表示出来，再代入得，，求出代入即可得出答案.
【详解】分别取的中点，连接，
因为为的外心，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：
【例12】在中，，，．若，，且，则的值为___________．
【答案】
【解析】，，则
==，解得．
变式训练
1、在中，为重心，，，则=________.
【答案】
【分析】设中点为，根据向量线性表示可得，，然后根据向量数量积的运算律结合条件即得.
【详解】设中点为，
为的重心且，
，，
因为，，
所以.
故答案为：.
2、若平面四边形ABCD满足＋＝0，(－)·＝0，则该四边形一定是( )
A．直角梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【答案】C
【解析】由＋＝0得平面四边形ABCD是平行四边形，
由(－)·＝0得·＝0，
故平行四边形的对角线垂直，
所以该四边形一定是菱形，故选C.
3、已知P为△ABC内部任一点（不包括边界）,且满足，则的形状为（ ）
A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形
【答案】D
【解析】因为，，
所以已知条件可以改写为，
所以，所以，即此三角形为等腰三角形。
4、已知是所在平面内的一动点，且，则点的轨迹一定通过的（ ）．
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】C
【解析】如图：设为的中点，
因为
由可得，，
所以三点共线，因为，
所以点在射线上，
所以点的轨迹一定通过的重心，
故选：C.
5、已知菱形的边长为，，点，分别在边、上，，．若，则的值为________．
【答案】
【解析】因为，菱形的边长为2，所以．因为，，由，所以，解得．
6、如图所示，已知正方体的棱长为1，则（ ）．
A． B．2 C． D．1
【答案】C
【分析】
利用向量的线性运算化简展开后利用数量积的定义即可求解.
【详解】
因为，，，所以，
所以，
故选：C.
7、平行四边形中，，，，是线段的中点，则（ ）
A．0 B．2 C．4 D．
【答案】C
【分析】根据条件即可得出，，从而得出，然后进行数量积的运算即可．
【详解】
解：如图，根据题意：，，且，，，
．
故选：．
8、（多选题）在△中，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】
由可得点为的中点，然后根据平面向量的数量积运算结合图形分别计算，从而分析判断
【详解】
解：对于A，因为所以点为的中点，
所以，所以A错误，
对于B，因为点为的中点，所以，所以B正确，
对于C，，所以C正确，
对于D，因为，所以
，所以D正确，
故选：BCD
9、已知平面向量、满足，则的最大值为________．
【答案】
【分析】
设与的夹角为，由条件可得出，进而可推出，然后利用辅助角公式可求得的最大值.
【详解】
，则，
设与的夹角为，则，，
，，可得，
，则，
所以，，
，则，所以，当时，取最大值.
故答案为：.
【点睛】
本题考查平面向量模的最值，考查辅助角公式的应用，考查计算能力，属于中等题.
已知的内角，，，为所在平面上一点，且满足，，则的值为_______.
【答案】5
【分析】
由题意可知，为外接圆的圆心，在圆中，延长交于点，已知等式两边同乘以得：，同理得：，从而有：.
【详解】
由题意可知，为外接圆的圆心，设半径为，在圆中，过O作，
，两边乘，
，
，得，
同理两边乘，,
，得，
从而有：.
故答案为：5.
【点睛】
本题考查向量数量积的运算，属于中档题.
1、若，，，的夹角为135°，则（ ）
A． B． C． D．12
【答案】B
【分析】
利用平面向量数量积的定义求解.
【详解】
因为，，且，的夹角为135°，
所以，
故选：B
2、设单位向量、的夹角为，，，则在方向上的投影为（ ）
A．－ B．－
C． D．
【答案】A
【解析】依题意得，，
，
因此在方向上的投影为，故选A．
【名师点睛】本题考查平面向量的投影，考查平面向量数量积的运算律、定义以及利用平面向量数量积求模，解题时，要理解向量有关的定义，并熟练应用向量数量积的运算律和定义来解题，考查计算能力，属于中等题.利用平面向量数量积的运算律与定义计算出和，可得出在方向上的投影为.
3、已知、、不共线的非零向量，则下列等式中不成立的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
向量数量积不满足结合率﹒
【详解】
A：，A正确；
B：设，则，
设，则，
因为与非零不共线，所以一般情况下，故B错误；
C：向量数乘的数量积满足结合律，C正确；
D：数量积满足交换律，D正确；
故选：B
4、已知非零向量满足，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由得出向量的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．
【详解】
因为，所以=0，所以，所以=，所以与的夹角为，故选B．
【点睛】
对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为．
5、已知均为单位向量，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据平面向量数量积运算律,集合平面向量数量积定义即可求得与的夹角.
【详解】
由平面向量数量积运算律化简可得
∵
∴.
知均为单位向量,设与的夹角为,则由平面向量数量积定义可得
.
又∵,
∴.
故选:A
【点睛】
本题考查了平面向量数量积的运算律,由平面向量数量积的定义求夹角,属于基础题.
6、若是互相垂直的单位向量且，则（ ）
A．3 B． C．1 D．
【答案】B
【分析】
由，可得，再求解即可.
【详解】
解：由是互相垂直的单位向量，
则且，
又，
则，
∴，
故选：B.
【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，重点考查了向量垂直的充要条件，属基础题.
7、已知非零向量满足，．若，则实数t的值为（ ）
A．4 B．–4 C． D．–
【答案】B
【解析】由可得，即，所以．故选B．
8、设向量满足，，则（ ）
A．1 B． 2 C． 3 D． 5
【答案】A
【解析】∵，，∴……①，……②．
由①②得：，故选A．
9、已知向量不共线，则“”是“的夹角为钝角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】分别对命题的充分性和必要性进行判断即可得到答案.
【详解】充分性：因为，向量不共线，
所以，即的夹角为钝角，满足充分性.
必要性：若的夹角为，，，
则，所以不满足，不满足充分性.
所以“”是“的夹角为钝角”的充分不必要条件.
故选：A
10、已知，为单位向量．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量的数量积的运算以及夹角公式即可求解.
【详解】设，的夹角为，
因为，为单位向量,且，
所以，
即，
整理得，
解得或（舍），
因为.
故选:A.
11、已知，为单位向量，，则___________.
【答案】
【分析】由可得，即可求出，再代入即可得出答案.
【详解】因为，为单位向量，，
所以，
所以.
则
故答案为：.
12、已知向量是单位向量，向量，且，则与的夹角为_____________．
【答案】##
【分析】根据向量数量积的运算律得，进而得，再根据向量夹角范围即可得答案.
【详解】解：由题意可知，，
所以，，
所以，解得，
因为
所以，，即和的夹角为．
故答案为：
13、已知，设的夹角为，则在上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】列出投影向量公式，即可计算求解.
【详解】在上的投影向量
故选：C第六章 平面向量及其应用
6.2平面向量的运算
6.2.4 平面向量的数量积
一、平面向量的数量积
平面向量的数量积 定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b ，规定：零向量与任一向量的数量积为0．
投影 |a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影， |b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影
几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积
平面向量数量积的性质 设、都是非零向量，θ为a与b的夹角．则 ① ②当与同向时，；当与反向时，． ③或．（求向量的模长公式） ④．（求向量夹角公式） ⑤．
平面向量数量积满足的运算律 已知向量、、和实数，则： ①； ②； ③．
平面向量的数量积与共线问题 两个向量a，b的夹角为锐角 a·b>0且a，b不共线； 两个向量a，b的夹角为钝角 a·b<0且a，b不共线．
题型一、平面向量的数量积运算
【例1】(1)已知向量a与b满足|a|＝10，|b|＝3，且向量a与b的夹角为120°.求：
①(a＋b)·(a－b)； ②(2a＋b)·(a－b)．
（2）若|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为60°，则a·b等于( )
A． B． C．1 D．2
（3）已知正三角形ABC的边长为1，求：
①·； ②·； ③·.
【例2】已知向量与的夹角为120°，且，，若，且，则实数的值为__________.
变式训练
1、已知单位向量a，b的夹角为45°，ka–b与a垂直，则k=__________.
2、已知向量，满足，，则
A．4 B．3 C．2 D．0
3、已知边长为1的等边△ABC，，则（ ）
A． B．3 C． D．6
4、设向量与夹角的余弦值为，且，则（ ）
A． B． C．3 D．-3
题型二、平面向量的模运算
【例3】已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.
【例4】已知向量a与b夹角为45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝，求|b|.
变式训练
1、向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝，a与b的夹角为60°，则|b|＝( )
A. B. C. D.
2、（1）若向量a，b满足|a|＝|b|＝2，a与b的夹角为60°，则|a＋b|等于( )
A．2 B．2 C．4 D．12
（2）向量a，b的夹角为120°，且，则等于______
3、（1）已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝，|b|＝2，在△ABC中，＝2a＋2b，＝2a－6b，D为BC的中点，则||＝________.
（2）已知，，，的夹角为，如图所示，若，，且D为BC中点，则的长度为
A. B. C.7 D.8
4、若向量满足： （ ）
A.2 B. C.1 D.
题型三、平面向量的夹角运算
【例5】（1）已知，是单位向量，且满足，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
（2）已知向量，是夹角为60°的单位向量，则向量与向量的夹角是____________.
（3）已知向量，满足，且，，则、的夹角为
（4）若非零向量满足，则的夹角为（ ）
B. C. D.
（5）已知非零向量满足的夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
（6）已知非零向量满足有实根，则的夹角的取值范围是( )
A. B. C. D.
变式训练
1、已知非零向量a，b满足|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝.
（1）求|b|；（2）当a·b＝时，求向量a与b的夹角θ的值．
2、已知，，.
（1）求与的夹角；
（2）若，且，求.
3、已知，，，求：
（1）与的夹角；
（2）与的夹角的余弦值．
4、如图，菱形的边长为，，，．求：（1）；（2）．
5、非零向量，满足：，，则与夹角的大小为（ ）
A． B．
C． D．
题型四、平面向量的投影
【例6】已知单位向量e1，e2的夹角为，a＝2e1－e2，则a在e1上的投影是________．
【例7】已知，设的夹角为，则在上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
变式训练
1、已知，若在方向上的投影为4，则___________.
2、已知向量，满足且，则向量在向量方向的投影为（ ）
A. B. C. D.
3、设向量与满足，在方向上的投影向量为，若存在实数，使得与垂直，则（ ）
A．2 B． C． D．
4、1.已知，，且，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
5、已知向量满足， 且向量在向量上的投影向量为， 则的模为____________．
6、已知，为单位向量，与的夹角为，则向量在向量上的投影向量为______；
7、若向量满足，则在方向上投影的最大值是（ ）
A． B． C． D．
题型五、平面向量的综合应用
【例8】若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为( )
A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【例9】在中，，则为（ ）.
A．4 B．3 C． D．5
【例10】在中，，，，则边上中线的长为_____.
【例11】在中，，，点满足，点为的外心，则的值为__________.
【例12】在中，，，．若，，且，则的值为___________．
变式训练
1、在中，为重心，，，则=________.
2、若平面四边形ABCD满足＋＝0，(－)·＝0，则该四边形一定是( )
A．直角梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
3、已知P为△ABC内部任一点（不包括边界）,且满足，则的形状为（ ）
A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形
4、已知是所在平面内的一动点，且，则点的轨迹一定通过的（ ）．
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
5、已知菱形的边长为，，点，分别在边、上，，．若，则的值为________．
6、如图所示，已知正方体的棱长为1，则（ ）．
A． B．2 C． D．1
7、平行四边形中，，，，是线段的中点，则（ ）
A．0 B．2 C．4 D．
8、（多选题）在△中，，则（ ）
A． B．
C． D．
9、已知平面向量、满足，则的最大值为________．
已知的内角，，，为所在平面上一点，且满足，，则的值为_______.
1、若，，，的夹角为135°，则（ ）
A． B． C． D．12
2、设单位向量、的夹角为，，，则在方向上的投影为（ ）
A．－ B．－ C． D．
3、已知、、不共线的非零向量，则下列等式中不成立的是（ ）．
A． B．
C． D．
4、已知非零向量满足，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
5、已知均为单位向量，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
6、若是互相垂直的单位向量且，则（ ）
A．3 B． C．1 D．
7、已知非零向量满足，．若，则实数t的值为（ ）
A．4 B．–4 C． D．–
8、设向量满足，，则（ ）
A．1 B． 2 C． 3 D． 5
9、已知向量不共线，则“”是“的夹角为钝角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
10、已知，为单位向量．若，则（ ）
A． B． C． D．
11、已知，为单位向量，，则___________.
12、已知向量是单位向量，向量，且，则与的夹角为_____________．
13、已知，设的夹角为，则在上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．