导数及其应用复习讲义（解析版）
考点一、导数的概念及运算
1.导数的概念
函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或．
2.导数的运算
①．求导的基本公式
基本初等函数 导函数
（为常数）
②．导数的四则运算法则
（1）函数和差求导法则：；
（2）函数积的求导法则：；
（3）函数商的求导法则：，则．
③．复合函数求导数
复合函数的导数和函数，的导数间关系为：
【1】若，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】D
【解析】由题意，所以，
所以．故选D．
【2】已知函数的导函数是，且，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】求导得，则，解得．故选B．
【3】．已知函数的导函数是，且满足，则（ ）
A．-e B．2 C．-2 D．e
【答案】B
【解析】因为，所以，
所以，，所以，．故选B．
【4】已知，是的导函数，即，，…，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
……可知的解析式周期为4，
因为，所以，故选D．
考点二 导数的几何意义及应用
几何意义：函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率．
【5】函数的图象在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为函数，所以，所以，
所以图象在点处的切线方程为，即，故选A
【6】曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________.
【答案】
【解析】设切线的切点坐标为，
，所以切点坐标为，
所求的切线方程为，即.
【7】已知a，b为正实数，直线与曲线相切，则的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．13
【答案】B
【解析】设切点为 ，的导数为，
由切线的方程可得切线的斜率为1，令，
则 ，故切点为，代入，得，
、为正实数，则，
当且仅当，时，取得最小值9，
故选：B
【8】己知函数，，若曲线与曲线在公共点处的切线相同，则实数________．
【答案】1
【解析】设函数，的公共点为，则即则．令，易得在上单调递增，所以以由，解得，所以切点为，所以，则．
故答案为：1.
【9】设曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A．0 B．1 C．-2 D．2
【答案】D
【解析】由题得，则切线的斜率为．
又，曲线在点处的切线方程为
，即．
又切线方程为，所以比较系数得，解得．
所以．故选D．
【10】若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】设平行于直线且与曲线相切的切点为，
由，则，
令，整理得，解得或（舍去），
由，可得，即切点坐标为，
又由点到直线的距离公式，可得，
即点P到直线的距离的最小值为．故选C．
考点三 导数与函数的单调性
1.求可导函数单调区间的一般步骤
（1）确定函数的定义域；
（2）求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；
（3）把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间；
（4）确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性.
2.函数单调性与导数的关系
单调递增；单调递增；
单调递减；单调递减.
3.利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路
①由函数在区间上单调递增(减)可知 ()在区间上恒成立列出不等式；
②利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题；
③对等号单独检验，检验参数的取值能否使在整个区间恒等于0，若恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有，则参数可取这个值．
【11】已知函数在区间上不是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，∴
∵函数在区间上不是单调函数
∴在区间上有根
∴当a＝0时，x＝－1不满足条件
当时，∵，∴，∴.故选：D．
【12】设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，则，
当时，，则单调递减；
当时，，则单调递增，
又函数在区间上单调递减，所以，解得， 故选A．
【13】已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在区间上恒成立，则在区间上恒成立，即，故选A．
【14】设的定义在上的函数，其导函数为，且满足，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，则，所以在上是增函数，
所以，即，故选B．
【15】已知函数且恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】不妨设可得
令则在区间上单调递减，
所以在区间上恒成立，
当时，当时，，而，
所以在区间上单调递减，则，所以．故选A．
【16】已知函数．求函数的单调区间；
【解析】
，
① 当时， ，仅有单调递增区间，其为：
② 当时，，当时，；当时，
的单调递增区间为： ，单调递减区间为：
③ 当时，，当时；当时
的单调递增区间为：，单调递减区间为：
综上所述：当时，仅有单调递增区间，单调递增区间为：
当时， 的单调递增区间为： ，单调递减区间为：
当时，的单调递增区间为：，单调递减区间为：
【17】已知函数f(x)＝x－＋1－aln x，a>0.讨论f(x)的单调性．
解：由题意知，f(x)的定义域是(0，＋∞)，导函数f′(x)＝1＋－＝.
设g(x)＝x2－ax＋2，二次方程g(x)＝0的判别式Δ＝a2－8.
①当Δ<0，即0
0都有f′(x)>0.
此时f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数．
②当Δ＝0，即a＝2 时，仅对x＝有f′(x)＝0，对其余的x>0都有f′(x)>0.此时f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数．
③当Δ>0，即a>2时，方程g(x)＝0有两个不同的实根x1＝，x2＝，0所以f(x)，f′(x)随x的变化情况如下表：
此时f(x)在上单调递增，在，上单调递减，在上单调递增．
考点四 导数与函数的极值、最值
1.求可导函数极值的一般步骤
（1）先确定函数的定义域；（2）求导数；（3）求方程的根；
（4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值．
2．函数的最值
一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行：
（1）求在内的极值（极大值或极小值）；
（2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
【18】函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e]上的最大值为( )
A．1－e B．－1 C．－e D．0
【答案】B
【解析】：f′(x)＝－1＝，当x∈(0,1)时，f′(x)>0；当x∈(1，e]时，f′(x)<0，所以f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，e]，所以当x＝1时，f(x)取得最大值ln 1－1＝－1.
【19】已知函数在x＝2处取得极小值，则______．
【答案】1或3
【解析】依题意，，因在x＝2处取得极小值，
则，解得m=1或m=3，经检验，当m＝1或m＝3时，在x＝2处均取得极小值，所以m的值为1或3.
【20】当时，函数取得最大值，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．
故选：B.
【21】已知函数在区间上既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数，导函数.
因为在上既有极大值又有极小值，所以在内应有两个不同的异号实数根．
，解得：，实数a的取值范围.故选：C．
【22】已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．
【解析】（1）当时，，则，，，
此时，曲线在点处的切线方程为，即；
（2）因为，则，
由题意可得，解得，
故，，列表如下：
增 极大值 减 极小值 增
所以，函数的增区间为、，单调递减区间为.
当时，；当时，.
所以，，.
【23】已知函数的图象在点处的切线方程为．
(1)若，求，；
(2)若在上恒成立，求的取值范围．
【解析】(1)解：，，
所以，即
又．
又点在切线上，
，所以，
又，所以，．
(2)解：，
在，上恒成立，
设，则在，上恒成立，
，又，
而当时．
当即时，在上恒成立，
；
当即时，
时，且当时，，当时，；
则①，
又与①矛盾，不符题意，故舍去．
综上所述，的取值范围为．导数及其应用复习讲义（解析版）
考点一、导数的概念及运算
1.导数的概念
函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或．
2.导数的运算
①．求导的基本公式
基本初等函数 导函数
（为常数）
②．导数的四则运算法则
（1）函数和差求导法则：；
（2）函数积的求导法则：；
（3）函数商的求导法则：，则．
③．复合函数求导数
复合函数的导数和函数，的导数间关系为：
【1】若，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【2】已知函数的导函数是，且，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．1
【3】．已知函数的导函数是，且满足，则（ ）
A．-e B．2 C．-2 D．e
【4】已知，是的导函数，即，，…，，，则（ ）
A． B．
C． D．
考点二 导数的几何意义及应用
几何意义：函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率．
【5】函数的图象在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【6】曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________.
【7】已知a，b为正实数，直线与曲线相切，则的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．13
【8】己知函数，，若曲线与曲线在公共点处的切线相同，则实数________．
【9】设曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A．0 B．1 C．-2 D．2
【10】若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
考点三 导数与函数的单调性
1.求可导函数单调区间的一般步骤
（1）确定函数的定义域；
（2）求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；
（3）把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间；
（4）确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性.
2.函数单调性与导数的关系
单调递增；单调递增；
单调递减；单调递减.
3.利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路
①由函数在区间上单调递增(减)可知 ()在区间上恒成立列出不等式；
②利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题；
③对等号单独检验，检验参数的取值能否使在整个区间恒等于0，若恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有，则参数可取这个值．
【11】已知函数在区间上不是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【12】设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【13】已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【14】设的定义在上的函数，其导函数为，且满足，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【15】已知函数且恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【16】已知函数．求函数的单调区间；
【17】已知函数f(x)＝x－＋1－aln x，a>0.讨论f(x)的单调性．
考点四 导数与函数的极值、最值
1.求可导函数极值的一般步骤
（1）先确定函数的定义域；（2）求导数；（3）求方程的根；
（4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值．
2．函数的最值
一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行：
（1）求在内的极值（极大值或极小值）；
（2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
【18】函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e]上的最大值为( )
A．1－e B．－1 C．－e D．0
【19】已知函数在x＝2处取得极小值，则______．
【20】当时，函数取得最大值，则（ ）
A． B． C． D．1
【21】已知函数在区间上既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【22】已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．
【23】已知函数的图象在点处的切线方程为．
(1)若，求，；
(2)若在上恒成立，求的取值范围．