第六章 平面向量及其应用
6.2 平面向量的运算
第一课时 平面向量的线性运算
一、向量的线性运算
加法 运算 定义 求两个向量和的运算
计算法则 a＋b＝＋＝ 三角形法则：首尾连，连首尾. a＋b＝+= 平行四边形法则：起点相同，连对角.
运算律 ①交换律： ②结合律：
减法 运算 相反向量 与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a. (1)规定：零向量的相反向量仍是仍是零向量； (2)－(－a)＝a； (3)a＋(－a)＝(－a)＋a＝0； (4)若a与b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.
定义 求两个向量差的运算,
计算法则 a－b=－= 三角形法则：共起点，连终点，指向被减.
数乘 运算 定义 一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作．
计算法则 (1) (2)当时，与的方向相同；当时，与的方向相同；当时，
运算律 结合律： 第一分配律： 第二分配律：
二、共线定理
1、向量共线的条件
（1）当向量时，与任一向量共线．
（2）当向量时，对于向量．如果有一个实数，使，那么由实数与向量的积的定义知与共线．
2、向量共线的判定定理：是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线．
3、向量共线的性质定理：若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使．
4、向量共线的推论：
①三点，，共线，共线（功能：证明三点共线）；
②向量，，中三个向量的终点，，共线存在实数，使得，且
③，．
题型一、平面向量的加法运算
【例1】化简：
（1）＋； （2）＋＋； （3）＋＋＋＋.
（4）＋＋； （5）(＋)＋＋.
【例2】如图，在正六边形中，等于（ ）
A． B． C． D．
【例3】设M是平行四边形ABCD的对角线的交点，O为平面上任意一点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别在OAC和OBD中，根据M是平行四边形ABCD的对角线的交点，利用中点坐标公式求解.
【详解】解：在OAC中，因为M是平行四边形ABCD的对角线的交点，
所以，即．
在OBD中，因为M是平行四边形ABCD的对角线的交点，
所以，即．
所以．
故选：A．
变式训练
1、向量化简后等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
+++++++=+++．故选C．
2、化简下列各式：①；②；③；④．其中结果为的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
3、向量化简后等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
4、如图，D，E，F分别为的边AB，BC，CA的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据平面向量的线性运算法则计算可得；
【详解】
解：，，分别是的边，，的中点，
，，，
则，故A正确；
，故B错误；
，故C错误；
，故D错误；
故选：A．
题型二、平面向量的减法运算
【例4】化简（1）
（2）；
（3）＋．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）方法一：将转化为，将转化为，利用向量的加法法则，即可求得答案.方法二：利用向量的减法法则，化简整理，即可得答案.
（2）利用向量的减法法则，化简整理，即可得答案.
（3）根据向量的线性运算法则，即可求得答案.
【详解】
（1）方法一(统一成加法)：
方法二(利用)：
（2）．
（3）
【例5】如图，向量，，，则向量可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用向量加法和减法的三角形法则计算即可.
【详解】
故选：C.
变式训练
1、化简下列各式：
(1)；
(2).
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）由向量的加法法则与减法法则求解即可；
（2）由向量的加法法则与减法法则求解即可；
（1）；
（2）
2、在△ABC中，，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】=–=，故选B．
3、下列四式不能化简为的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
4、如图，在中，点为上一点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】.故选：A.
5、（多选）下列各式结果为零向量的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】对A，，故A正确；
对B，，故B错误；
对C，，故C正确；
对D，，故D正确；
故选：ACD
题型三、平面向量的数乘运算
【例6】化简：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【解析】（1）.
（2）.
（3）.
（4）.
【例7】如图，四边形ABCD中，已知.
（1）用，表示；
（2）若，，用，表示.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）因为，
所以；
（2）因为，
所以.
【例8】在平行四边形中，设为线段的中点，为线段上靠近的三等分点，，，则向量（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据题意作出图形，将用、的表达式加以表示，再利用平面向量的减法法则可得出结果.
【详解】
解：由题意作出图形：
在平行四边形中，M为BC的中点，则
又N为线段AB上靠近A的三等分点，则
故选：B
变式训练
1、化简
（1）；
（2）
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）；
（2）.
2、（1）化简的结果是
B． C． D．
（2）将[2(2+8)-4(4-2)]化简成最简形式为( )
A.2- B.2- C.- D.-
（3）等于（ ）
A. B. C. D.0
【答案】（1）B（2）B（3）C
【解析】（1）原式等于．故选：B．
（2）.故选B.
（3）故选C
3、如图，在中，，，则（ ）
A． B． C． D．
题型四、平面向量线性运算的应用
【例9】正方形的边长为1，则为（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】利用向量加法运算及向量的摸的定义，结合勾股定理即可求解.
【详解】在正方形中，如图所示,
根据向量加法的平行四边形法则，,
又因为正方形的边长为1，
所以，
故选：B.
【例10】如图，、在线段上，且，试探求与的关系，并证明之.
【答案】相等， 证明见解析
【分析】
求与的关系为相等，利用向量加法的三角形法则即可证明.
【详解】
证明：由向量加法三角形法则知：，
所以，
因为，
所以，
所以
【点睛】
本题主要考查了向量的加法法则，相反向量，属于中档题.
【例11】在四边形中，若，则（ ）
A．四边形是矩形 B．四边形是菱形
C．四边形是正方形 D．四边形是平行四边形
【答案】D
【分析】根据平面向量加法的运算法则及向量相等的充要条件判断即可；
【详解】解：，，
，且，四边形是平行四边形．
故选：D．
【例12】若 ，则 的取值范围是（ ）
A．[3，7] B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量的减法的几何意义，确定向量共线时取得最值，即可求得答案.
【详解】由题意知，且,
当同向时，取得最小值，；
当反向时，取得最大值，；
当不共线时，取得最小值，，
故 的取值范围是，
故选：C
【例13】在△ABC中，A＝a，A＝b，且A＝A，B＝B，则M＝( )
A．a＋b B．a＋b C．－a－b D．－a－b
【答案】A
【解析】如图所示，
M＝M＋B＝A＋B＝a＋(b－a)＝a＋b.
变式训练
1、如图所示，已知在矩形中，，.设，求.
【答案】
【分析】
延长直线,使得直线上一点满足,同理,延长直线,使得直线上一点满足,画出图形,则,进而求解即可
【详解】
延长直线,使得直线上一点满足,同理,延长直线,使得直线上一点满足,
如图所示,
则,,
则
【点睛】
本题考查向量的加法,减法在几何中的应用,考查向量的模.
2、已知为正三角形，则下列各式中成立的是___________.（填序号）
①；②；③；④.
【答案】①②③
【分析】设分别为的中点，根据平面向量的加法和减法的运算法则逐一判断即可得出答案.
【详解】对于①，，故①成立；
对于②，设分别为的中点，
则，
，
，
所以，故②成立；
对于③，，
所以，故③正确；
对于④，，故④不成立.
故答案为：①②③.
3、在四边形ABCD中，，若，则四边形ABCD是（ ）
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．不确定
【答案】B
【分析】由，可得四边形ABCD为平行四边形，又，从而即可求解.
【详解】解：在四边形ABCD中，
因为，所以四边形ABCD为平行四边形，
又，即，
所以平行四边形ABCD为矩形，
故选：B.
4、（1）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是OB的中点，若＝a，＝b，则等于( )
A．－a＋b B．a－b C．a＋b D．－a－b
【答案】D
【解析】如图
∵E是OB的中点，∴＝＝－＝－b，
∴＝＋＝－＋＝－a－b.
（2）若O是平行四边形ABCD的中心，＝4e1，＝6e2，则3e2－2e1等于( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵＝4e1，＝6e2，
∴3e2－2e1＝－＝(＋)＝＝，故选B．
（3）在△ABC中，＝c，＝b.若点D满足＝2，则＝( )
A．b＋c B．c－b C．b－c D．b＋c
【答案】A
【解析】如图，
∵＝2，∴＝＝(－)＝(b－c)，
＝＋＝c＋b－c＝b＋c.
（4）如图，四边形是以向量，为边的平行四边形，又，，试用、表示、、.
【答案】；；
【解析】，，，
．
．
，，
．
．
（5）在平行四边形中，，，与的相交于点，点在上，且，则向量等于
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，； ；
，又；
．
5、在矩形中，，E为的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在矩形中，，E为的中点，
所以 ，，则
.
故选：C.
6、若向量表示“向东航行1km”，向量表示“向北航行km”，则向量表示（ ）
A．向东北方向航行2km B．向北偏东30°方向航行2km
C．向北偏东60°方向航行2km D．向东北方向航行(1＋)km
【答案】B
【解析】如图，
易知tanα＝，所以α＝30°．故的方向是北偏东30°．又.故选：B．
7、若O是所在平面内一点，且满足，则的形状为____
【答案】直角三角形
【解析】，，所以
题型五、共线定理的判定与运用
【例14】已知e1，e2是两个不共线的向量，若＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，求证：A，B，D三点共线；
【解析】证明：∵＝e1＋3e2，＝2e1－e2，∴＝－＝e1－4e2.
又＝2e1－8e2＝2(e1－4e2)，∴＝2，∴∥.
∵AB与BD有交点B，∴A，B，D三点共线．
【例15】（1）若与共线，求实数的值；
（2）若，且三点共线，求实数的值.
【解析】（1）设，则
解得或 所以实数的值为.
（2），
因为三点共线，所以与共线.
从而存在实数使，即，
得解得所以.
变式训练
1、设P是△ABC所在平面内的一点，，则（ ）
A．P、A、C三点共线 B．P、A、B三点共线
C．P、B、C三点共线 D．以上均不正确
【答案】A
【解析】如图，取AC中点D，则，∴，∴D和P重合，∴P，A，C三点共线．故选A．
2、如图所示，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N是BD上一点，BN=BD，求证：M，N，C三点共线．
【答案】证明详见解析．
【解析】设，，
∴，
=3，
∴，
又，有公共点M，
∴M，N，C三点共线．
【名师点睛】两向量共线是我们研究向量间一种比较重要的位置关系，应掌握常见的向量共线的判定方法．用解释；用解释或与共线．证明三点共线，可先在三点中选择起点和终点确定两个向量，看能否找到唯一的实数使两向量相等．把向量共线问题转化为寻求实数使向量相等的问题．
3、已知向量，.求证：与是共线向量．
【答案】证明见解析
【分析】
由平面向量共线定理即可证明问题.
【详解】
由题意，，，则，由向量共线定理知与是共线向量．
4、设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据向量与向量共线，由求解.
【详解】
因为，是两个不共线的向量，且向量与向量共线，
所以，即，
所以，解得，
故选：D
5、已知，是不共线向量，则下列各组向量中，是共线向量的有（ ）
①，；②，；
③，．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【分析】
根据平面向量共线定理得到，对于①，故两向量共线；对于②，故两向量共线；对于③不存在实数满足，故不共线.
【详解】
对于①，，，故两向量共线；
对于②，，，故两向量共线；
对于③，，
假设存在
，因为，是不共线向量，
故得到无解.
故选：A.
6、在中，为边上的中线，E为的中点，且，则________，_________．
【答案】
【解析】如下图所示：
为的中点，则，
为的中点，所以，，
因此，，即，.
故答案为：；.
7、已知向量，是两个不共线的向量，且，，，若，，三点共线，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【解析】法一：，，因，，三点共线，所以与共线，所以，所以，解得
法二：由三点共线，
得，故解得．
1、下列运算正确的个数是（ ）
①；②；
③．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】
利用平面向量的加法，减法，数乘运算及其运算律判断.
【详解】
①，由数乘运算知正确；
②，由向量的运算律知正确；
③，向量的加法，减法和数乘运算结果是向量，故错误.
故选：C
2、向量化简后等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据向量的线性运算求解即可.
【详解】
由,
故选：A
3、如图，向量，，，则向量可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用向量加法和减法的三角形法则计算即可.
【详解】
故选：C.
4、设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据向量与向量共线，由求解.
【详解】
因为，是两个不共线的向量，且向量与向量共线，
所以，即，
所以，解得，
故选：D
5、设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则( )．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】本题的考点是平面向量的加法、减法法则，线段中点的性质，考查转化能力，用向量法表示三角形中线的性质要引起重视，由题意可知D，E，F分别是BC，CA，AB的中点，所以有以下结论：，故选A.
6、设向量，，若与不共线，且点在线段上，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据向量线性关系的几何意义得到的线性关系，即可知正确选项.
【详解】
由，
∴.
故选：C
7、如图，在中，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用向量定义，，最后化简为来表示向量即可.
【详解】
故选：B
8、（多选）已知向量，不共线，若，，且A，B，C三点共线，则关于实数，的值可以是（ ）
A．2， B． 3，
C．2， D． 3，
【答案】AB
【分析】
利用平面向量共线基本定理即可求解.
【详解】
因为A，B，C三点共线，
则存在实数，使得，
即，
即，
所以，
又因为向量，不共线，
所以，解得，
所以实数，的值互为倒数即可求解.
故选：AB
9、（多选）已知，则下列结论正确的是（ ）
A．A，B，C，D四点共线 B．C，B，D三点共线
C． D．
【答案】BD
【分析】
由可得，从而可对ABD进行判断，再对变形化简可对C进行判断
【详解】
因为，所以，
所以，
因为有公共端点，所以C，B，D三点共线，且，所以BD正确，A错误，
由，得，所以，所以C错误，
故选：BD
10、四边形中，若，则四边形的形状为_____.
【答案】平行四边形
【分析】
由平面向量的加法法则直接可得答案
【详解】
解：因为四边形中，，
所以，
所以，
所以，且‖，
所以四边形为平行四边形，
故答案为：平行四边形
11、若非零向量和满足,则||的取值范围是________,||的取值范围是________.
【答案】
【分析】
(1)根据平面向量的三角不等式求解的取值范围即可.
(2)根据结合平面向量的三角不等式可得与,再根据求解的取值范围即可.
【详解】
(1)因为,又是非零向量,所以的取值范围是.
(2)因为,所以,,
又,，所以的取值范围是.
故答案为：；
【点睛】
本题考查平面向量加减法的几何意义 向量三角不等式运算.需要根据所给的向量构造合适的三角不等式,属于中档题.
12、中，点、、分别在边、、上，且，，，若，则________.
【答案】
【分析】
分别用、、表示、、，可计算出，进而可求得的值.
【详解】
，则，可得，
同理可得，，
所以，，
因此，.
故答案为：.
【点睛】
本题考查平面向量模的计算，涉及平面向量加法和减法法则的应用，解题的关键就是选择合适的基底来表示向量，考查计算能力，属于中等题.第六章 平面向量及其应用
6.2 平面向量的运算
6.2.1 平面向量的线性运算
一、向量的线性运算
加法 运算 定义 求两个向量和的运算
计算法则 a＋b＝＋＝ 三角形法则：首尾连，连首尾. a＋b＝+= 平行四边形法则：起点相同，连对角.
运算律 ①交换律： ②结合律：
减法 运算 相反向量 与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a. (1)规定：零向量的相反向量仍是仍是零向量； (2)－(－a)＝a； (3)a＋(－a)＝(－a)＋a＝0； (4)若a与b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.
定义 求两个向量差的运算,
计算法则 a－b=－= 三角形法则：共起点，连终点，指向被减.
数乘 运算 定义 一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作．
计算法则 (1) (2)当时，与的方向相同；当时，与的方向相同；当时，
运算律 结合律： 第一分配律： 第二分配律：
二、共线定理
1、向量共线的条件
（1）当向量时，与任一向量共线．
（2）当向量时，对于向量．如果有一个实数，使，那么由实数与向量的积的定义知与共线．
2、向量共线的判定定理：是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线．
3、向量共线的性质定理：若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使．
4、向量共线的推论：
①三点，，共线，共线（功能：证明三点共线）；
②向量，，中三个向量的终点，，共线存在实数，使得，且
③，．
题型一、平面向量的加法运算
【例1】化简：
（1）＋； （2）＋＋； （3）＋＋＋＋.
（4）＋＋； （5）(＋)＋＋.
【例2】如图，在正六边形中，等于（ ）
A． B． C． D．
【例3】设M是平行四边形ABCD的对角线的交点，O为平面上任意一点，则（ ）
A． B． C． D．
变式训练
1、向量化简后等于（ ）
A． B．
C． D．
2、化简下列各式：①；②；③；④．其中结果为的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3、向量化简后等于（ ）
A． B． C． D．
4、如图，D，E，F分别为的边AB，BC，CA的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
题型二、平面向量的减法运算
【例4】化简（1）
（2）；
（3）＋．
【例5】如图，向量，，，则向量可以表示为（ ）
A． B． C． D．
变式训练
1、化简下列各式：
(1)；
(2).
2、在△ABC中，，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
3、下列四式不能化简为的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4、如图，在中，点为上一点，则（ ）
A． B． C． D．
5、（多选）下列各式结果为零向量的有（ ）
A． B．
C． D．
题型三、平面向量的数乘运算
【例6】化简：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【例7】如图，四边形ABCD中，已知.
（1）用，表示；
（2）若，，用，表示.
【例8】在平行四边形中，设为线段的中点，为线段上靠近的三等分点，，，则向量（ ）
A． B． C． D．
变式训练
1、化简
（1）；
（2）
2、（1）化简的结果是
B． C． D．
（2）将[2(2+8)-4(4-2)]化简成最简形式为( )
A.2- B.2- C.- D.-
（3）等于（ ）
A. B. C. D.0
3、如图，在中，，，则（ ）
A． B． C． D．
题型四、平面向量线性运算的应用
【例9】正方形的边长为1，则为（ ）
A．1 B． C．3 D．
【例10】如图，、在线段上，且，试探求与的关系，并证明之.
【例11】在四边形中，若，则（ ）
A．四边形是矩形 B．四边形是菱形
C．四边形是正方形 D．四边形是平行四边形
【例12】若 ，则 的取值范围是（ ）
A．[3，7] B． C． D．
【例13】在△ABC中，A＝a，A＝b，且A＝A，B＝B，则M＝( )
A．a＋b B．a＋b C．－a－b D．－a－b
变式训练
1、如图所示，已知在矩形中，，.设，求.
2、已知为正三角形，则下列各式中成立的是___________.（填序号）
①；②；③；④.
3、在四边形ABCD中，，若，则四边形ABCD是（ ）
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．不确定
4、（1）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是OB的中点，若＝a，＝b，则等于( )
A．－a＋b B．a－b C．a＋b D．－a－b
（2）若O是平行四边形ABCD的中心，＝4e1，＝6e2，则3e2－2e1等于( )
A． B． C． D．
（3）在△ABC中，＝c，＝b.若点D满足＝2，则＝( )
A．b＋c B．c－b C．b－c D．b＋c
（4）如图，四边形是以向量，为边的平行四边形，又，，试用、表示、、.
（5）在平行四边形中，，，与的相交于点，点在上，且，则向量等于
A． B． C． D．
5、在矩形中，，E为的中点，则（ ）
A． B． C． D．
6、若向量表示“向东航行1km”，向量表示“向北航行km”，则向量表示（ ）
A．向东北方向航行2km B．向北偏东30°方向航行2km
C．向北偏东60°方向航行2km D．向东北方向航行(1＋)km
7、若O是所在平面内一点，且满足，则的形状为____
题型五、共线定理的判定与运用
【例14】已知e1，e2是两个不共线的向量，若＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，求证：A，B，D三点共线；
【例15】（1）若与共线，求实数的值；
（2）若，且三点共线，求实数的值.
变式训练
1、设P是△ABC所在平面内的一点，，则（ ）
A．P、A、C三点共线 B．P、A、B三点共线
C．P、B、C三点共线 D．以上均不正确
2、如图所示，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N是BD上一点，BN=BD，求证：M，N，C三点共线．
3、已知向量，.求证：与是共线向量．
4、设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（ ）
A． B． C． D．
5、已知，是不共线向量，则下列各组向量中，是共线向量的有（ ）
①，；②，；
③，．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
6、在中，为边上的中线，E为的中点，且，则________，_________．
7、已知向量，是两个不共线的向量，且，，，若，，三点共线，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
1、下列运算正确的个数是（ ）
①；②；
③．
A．0 B．1 C．2 D．3
2、向量化简后等于（ ）
A． B． C． D．
3、如图，向量，，，则向量可以表示为（ ）
A． B． C． D．
4、设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（ ）
A． B． C． D．
5、设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则( )．
A． B． C． D．
6、设向量，，若与不共线，且点在线段上，，则（ ）
A． B． C． D．
7、如图，在中，，，则（ ）
A． B． C． D．
8、（多选）已知向量，不共线，若，，且A，B，C三点共线，则关于实数，的值可以是（ ）
A．2， B． 3，
C．2， D． 3，
9、（多选）已知，则下列结论正确的是（ ）
A．A，B，C，D四点共线 B．C，B，D三点共线
C． D．
10、四边形中，若，则四边形的形状为_____.
11、若非零向量和满足,则||的取值范围是________,||的取值范围是________.
12、中，点、、分别在边、、上，且，，，若，则________.
