2.2 基本不等式 教学设计-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（表格式）

《2.2基本不等式》单元-课时教学设计
一.内容和内容解析
1. 内容
（1）本节的知识结构框图（梅州教研活动作者放“2（3）内容地位与作用”）
（2）本节的知识内容：基本不等式的含义（概念、证明、几何解释）及其应用。
2. 内容解析
（1）内容的本质
“基本不等式”是求最值的常用方法之一，是两个量（正数）的“算术平均数”与“几何平均数”之间的大小关系，也可称为“均值不等式”（其实，可以推广到多个量）。
“基本不等式”体现“加法”与“乘法”两种运算之间的一种区别。
“基本不等式”在几何意义上，是“直径为最长弦长”。
（2）蕴含的数学思想方法
本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法：
①在基本不等式的证明和运用基本不等式时的转化思想；
②在基本不等式的几何解释时的数形结合思想；
②在解决实际问题中的建模思想。
（3）知识的上下位
“基本不等式”是前面学习完不等式性质之后的第一个具体且重要的不等式（定理），在此章与“二次函数与一元二次方程、不等式”有着并列的地位，属于预备知识，为后面研究函数做好必要知识的铺垫。
（4）育人价值
本节教科书充分关注了与实际问题的联系，体现数学应用的价值。例如，教科书从“北京举办的24届国际数学大会”“篱笆围菜园”“建造长方体形无盖贮水池”等实际生活中的问题，有利用学生更好地感受“数学来源于生活、服务于生活”，促进学生关心生活、关注社会，增强社会责任意识，所以在教学中，我们结合具体的实际问题渗透数学思想方法和彰显人文价值。
①通过基本不等式的几何解析，可以培养学生“直观想象”的素养，并从中感受“数形一致”的数学魅力。
②通过严谨的证明活动，发展学生“逻辑推理”的素养。
③通过具体运用基本不等式求解相关函数最值时，培养学生数学运算素养
④通过建立数学模型，并利用基本不等式求解最优化等实际问题，发展学生“数学建模”素养。
（5）教学重难点
重点：基本不等式含义的理解与证明。
难点：利用基本不等式求最值的基本方法及实际应用。
二.目标和目标解析
1. 课程目标
（1）掌握基本不等式
（2）结合具体实例，能利用基本不等式求简单的最值问题。
2. 素养目标
（1）数学抽象：通过抽象和概括基本不等式的概念，帮助学生发展数学抽象核心素养.
（2）直观想象：将基本不等式的几何解释通过数形结合直观感知、求证，帮助学生发展直观想象的数学素养。
（3）逻辑推理：通过对基本不等式严谨的证明活动，发展学生“逻辑推理”的素养。
（4）数学建模：通过建立数学模型，并利用基本不等式求解最优化等实际问题，发展学生“数学建模”素养。
3. 目标解析
（1）能够通过具体演算或者直观实例，能抽象出基本不等式的形式；
（2）能够证明基本不等式；
（3）能够理解基本不等工的几何解析；
（4）能够利用基本不等求函数或代数式的最值，并能注意到运用其的前提条件：一正二定三相等；
（5）会利用基本不等式求解决实际问题中的最值。
三.教学问题诊断分析
1.基本不等是学生前面学习了不等式的一般性质之后接触的第一个较为抽象的（不等式）模型，对于证明的方法，不够理解和熟练，学生心中稍会产生畏恐心理，建议从具体到抽象，即是先让学生通过具体数值的结果对比，或者直观的事实，让学生有感性的理解和认识后，有足够的信心再进行严谨的证明。
2.对于基本不等式的几何解析，用代数语言解析了几何现象，既会让学生产生好奇感和惊喜心，但当中也可能存在一定的障碍。比如：相交弦定理，因此，要做好引导和适当的铺垫为好。
3.在运用基本不等式求最值问题时，学生容易疏忽其使用的前提条件（“一正二定三相等”），这跟学生对于期理解的不够深刻有关，建议在教学时，不要讲得太快，不要老师包办，加深学生对于条件的理解。
4.运用基本不等式的时候，发现“和为定值”或者“积为定值”是重要的一步，但同时往往也是比较困难的一步，特别是当形式不那么明显直接的情况下，需要学生适化简或配凑，对此，老师一方面要注意把握教学的难度，不可要求过高，毕竟在此面对的是高一的新后，虽然在高考中对于基本不筀闭幕式 可能有更高的要求，但是这些能力可以在后面逐渐学习培养，另一方面，注重培养学生的观察与运算能力，把握式子中隐含关系，灵活运用基本不等式。
5.教学难点：基本不等式的理解和证明；观察式子结构，利用基本不等式求最值问题。
四.教学支持条件分析
1.高一学生有了一定的字母运算能力，为证明基本不等式有了一定的技能储备。
2.应用Excel、GGB等计算机软件，可以直观呈现，生动刻画基本不等式的数值和图形表现。
五.课时安排
第1课时，基本不等式的含义与证明；第2课时，利用基本不等式解决最值问题。
六.课时教学设计
第1课时《§2.2基本不等式》教学设计
【教材分析】
《基本不等式》在人教A版高中数学第一册第二章第2节，本节课的内容是在学习了不等式性质的基础上展开的对不等式的进一步研究，在知识体系中起着承上启下的作用。在探究基本不等式内涵和证明的过程中，能够培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；培养学生形成数形结合的思想意识；在应用的过程中，通过对条件的转化和辨识，有助于培养学生形成类比归纳的思想和习惯，进而形成严谨的思维方式。
《高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》要求掌握基本不等式，结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题，同时利用基本不等式求最值是高考的基本考点，经常与实际问题相结合进行考查。
本节课的学习重点提升学生数学抽象、数学建模与逻辑推理的相关核心素养。
【学情分析】
在认知上，学生已经掌握了不等式的基本性质，并能够根据不等式的性质进行数、式的大小比较，也具备一定的平面几何的基本知识。本节内容在复习、巩固不等式性质的前提下，学习基本不等式，学生是比较容易接受的。但在利用基本不等式解决最值问题时，学生往往忽视基本不等式使用的前提条件和等号成立的条件。
【教学策略】
学生往往会直接应用基本不等式，而忽略其成立的条件。因此，在教学过程中，可借助辨误的方式，让学生充分领会基本不等式成立的三个限制条件一正、二定、三相等在解决最值的问题中的作用。具体教学中，可借助几何画板等多媒体来演示，使学生在自主探究与合作交流中体验基本不等式模型的观察、分析、猜想和概括等系列思维活动过程，提升学生数学抽象直观想象素养，通过基本不等式的证明方法的探索和不同角度的形象提升学生逻辑推理素养，通过引导学生应用基本不等式解决常见的最值等实际问题，提升学生数学建模素养。
【学科核心素养】
1.目标与素养
（1）通过对基本不等式的学习，能够对其进行证明且在论证中体会数学的严谨性，并会应用几何语言来进行解释，达到逻辑推理和直观想象核心素养水平一的层次。
（2）能够运用基本不等式来函数或者求代数式的最值，达到数学抽象和逻辑推理水平一、数学运算水平二的层次。
（3）能够使用基本不等式解决实际生活中的最值问题，提高用数学手段解答现实生活中的问题的能力和意识，积累基本解题经验，使理论与实践相结合，达到数学建模核心素养水平一、数据分析水平一、逻辑推理核心素养水平二的层次。
2.情境与问题
通过“北京召开的第24届国际数学大会会标”的设计渊源、理念引出相关问题，建立“重要不等式”模型。有了“重要不等式”就有了类似“替代”的可能，由此引入本节课的学习内容，方便、自然。
3.内容与节点
本节内容为基本不等式的概念、证明及其几何解释，它是证明其他不等式的重要依据，也是求解最值问题的有力工具。
4.过程与方法
（1）通过探究基本不等式的过程，能够理解并建立“基本不等式数学模型”及不等式的知识链，学会体会研究数学问题的基本思想方法，学会学习、学会探究，提升数学抽象、逻辑推理、数学建模素养。
（2）掌握用“基本不等式的数学模型”解决实际最值问题的方法，提升数学建模、逻辑推理的素养。
【教学重点难点】
重点：用数形结合的思想解不等式，并从小油角度探索证明基本不等式，利用基本不等式求最值。
难点：用基本不等式的求最大值和最小值。
【教学过程设计】
教学 步骤 预计 时间 教学内容 教师活动 学生活动 教学 评价
1. 构建“重要不等式模型” 5分钟 活动1，探究重要不等式 情景与问题： 2002年8月在北京召开的第24届国际数学大会。大会会标根据1700多年前中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表着中国人民的热情好客。 （1）你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？ （2）成立吗 （3）你能给出它的证明吗 （4）你是如何理解结论中的“当且仅当”的含义的 师：引导学生将图2.1-3中的“风车”抽象成图2.1-4，观察图形，得出结论，并从代数的角度给予说明。 师：板书结论。 师：提示， ，由可得到，反之，由可知。 生：自己作图，把问题转化为比较大正方形ABCD与四个相同的直角三角形的面积之和的大小关系，从中得出结论。 生：交流、讨论，得出结论的代数证明和取等号时满足的对应条件是“当且仅当”。 引导学生关注数学文化，通过图象抽象出重要不等式，提升学生直观想象、数学建模素养，同时为后面学习基本不等式模型作铺垫。
2. 构建“基本不等式模型” 3分钟 活动2：探究基本不等式 （5）在重要不等中，特别地，用代替，代替可得到什么结论 （6）你是如何理解结论中的“当且仅当”的含义的 师：巡查学生的变换情况，解决学生遇到的问题，帮助学生理解基本不等式的含义。 师：板书。 师：提示，在的前提之下，由可知，反之由可知. 生：替换后尝试写出基本不等式。 生：了解基本不等式的形式，及其注意事项。 检查学生的变换能力，使学生了解基本不等式的形式，理解其不等号和等号成立的条件。
教学 步骤 预计 时间 教学内容 教师活动 学生活动 教学 评价
3.合作探究 12分钟 活动3.证明基本不等式 基本等式 当时，（当且仅当，等号成立） 证明： 法一（利用重要不等式证明） 因为，所以我们可以用，分别代替重要不等式中的，得到 ，当且仅当时等号成立，即（），当且仅当时等号成立。 法二（利用作差法证明）： 因为 ， 所以，即 所以，当且仅当时等号成立 法三（利用不等式的性质证明） 因为，所以， 即，亦即， 所以，所以 当且仅当时等号成立 法四（利用几何意义来证明） 如图是圆的直径，是 上一点，, 过点作垂直于的弦, 连接。 易证, 则，即， 这个圆的半径为，显然它大于或者等于 ，即，当且仅当点与圆心重合，即时等号成立 由此我们可以得（当且仅当 时等号成立）的几何意义：半径不小于半弦。 师：能否用来证明 师：除了利用 来进行推导，你们还能想到哪些地代数方法证明 提示：刚刚学习不等式时比较大小时用的方法。 师：引导学生利用不等式的性质进行证明，并适时点拨、帮助。 师：引导学生观察教材第45页的探究，并设置问题如下： ①图形中线段的长为线段的长为，那么可以用哪条线段来表示 ②可以用哪条线段来表示 ③你能利用图形得出与 的大小关系吗 师：引导学生再次观察图形，得到两者相等的条件。 师：引导学生用多种方法完成基本不等式的证明后，同时从结构上观察基本不等式的结构特征。 生：尝试着证明，注意的取值范围。 生：试试利用作差法证明。 生：尝试利用不等式的性质进行证明基本不等式。 生：观察图形，对比回答问题： ①在图形中，可以用直径来表示。 ②利用相似三角形得出的值可以用半弦来表示。 ③利用圆中半弦长不超过半径长可以得出与的大小关系。 生：思考、理解基本不等式的几何意义，明确取等的条件。 生：观察、体会基本不等式表现出来的含义。 用代数的方法证明不等式，使学生加深对基本不等式的理解，理解基本不等式中不等号和等号成立的的条件，引导学生自己动手写出证明过程，并对图形进一步分析，引导学生发现几何平均数和算术平均数的大小关系，让学生体会不仅能以数形，寻找数量关系的几何解释，还可以通过对图形的观察分析以形识数，进而完善前面的代数结论，提升逻辑推理、直观想象素养。
教学 步骤 预计 时间 教学内容 教师活动 学生活动 教学 评价
4.“基本不等式模型”应用（一） 8分钟 活动4、典例剖析。 例1（教材第45页例1） 已知，求的最小值。 分析：求的最小值，就是要求一个（），使，都有，观察，发现，联系基本不等式，可以利用正数和的算术平均数与几何平均数的关系得到。 解：因为，所以 所以当且仅当即时，等号成立，因此所求的最小值为2. 例2（教材第45页例2） 已知都是正数，求证 （1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值。 （2）如果和等于定值，那么当时，积有的最大值。 证明：因为都是正数，所以 （1）当积等于定值时，， 所以， 当且仅当时，上式等号成立。于是，当时，和有最小值 （2）当和等于定值时，， 所以， 当且仅当时，上式等号成立。于是，当时，和有最小值。 师：分析题干，引导学生解题思路，让学生板演或展示成果，适时点评 师：强调答题格式，需注明等式成立的条件，明确“当且仅当”的含义。 师：明确例2得到的结论十分有用，会在实际问题中用到，要牢记条件和对应的结论。 师：补充最值定理：积定和小（两个正数的积为定积时，它们的和有最小值），和定积大（两个正数的和为定积时，它们的积有最大值）。 生：思考、分析，尝试以语言等方式展示成果。 生：理解、分析，及时做笔记。 考查学生对所学知识掌握的情况，帮助学生真正理解基本不等式的含义，提升逻辑推理、数学建模素养。
教学 步骤 预计 时间 教学内容 教师活动 学生活动 教学 评价
5.“基本不等式模型”的达成 2分钟 活动5.总结运用基本不等式所需满足的条件 基本不等式 （1）使用条件：一正二定三相等 （2）作用：积定和小，和定积大。 师：引导学生思考、总结基本不等式的使用条件和作用。 生：通过例1、例2，思考、交流得出基本不等式的使用条件和作用。 引导学生总结基本不等式的使用注意事项和功能，提升 数学抽象、 逻辑推理素养。
6.“基本不等式模型”的发展 8分钟 活动6.“基本不等式”应用的题型探究 题型一 直接利用基本不等式求最值 例3. 已知，且，则的最小值为____，此时。 题型二 配凑构造基本不等式求最值 例4. 求的最小值。 题型三 拆分构造基本不等式求最值 例5.已知，求的最小值. 师：引导学生通过“拆、添、凑”构造基本不等式的三个条件。 生：独立思考，构造基本不等式求最值。 帮助学生深入理解“基本不等式的含义，促进数学建模素养的发展。
7.课堂小结 1分30秒 活动7.课堂小结 1.本节课我们学习的主要内容是什么 提示：基本不等式的证明及其应用。 2.在应用基本不等式时，需要注意什么 提示：一正二定三相等。 3.要三李课的学习中，运用了哪些数学思想方法 提示：数形结合，转化思想 师：引导学生回忆、概括、总结所学知识。 生：思考 、整理、表述概括结果。 通过总结，学生有一个全面的认识。
8.布置作业 30秒 活动8.课后作业 必做题 教材第42页练习第2题 教材第48页习题第1题 选做题 教材第48页习题第3、4、5题 师：布置作业。 生：课后独立完成。 加深学生对基本不等式的理解和应用。
【教学设计反思】
基本反映了褛的两种基本运算（即加法和乘法）所引出的大小变化，这一本质不仅反映在其代数结构上，而且也有几何意义，因此而发出的问题在训练学生的代数推理能力和几何直观上都发挥了良好的作用。教学过程中，必须从基本不等式的代数结果和几何意义两方面入手，才能让学生深刻理解它的本质。另外，基本不等式是可以进行推广的，至于需不需要，得根据实际教学情况而定。
本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，坚持“以学生为主体，以教师为主导”的原则，先通过几何证明基本不等式，在充分了解基本不等式的含义后，再进一步运用其求最值。切记：利用基本不等式的条件是一正二定三等。
我们的研讨：不等式对于高中的学生来说并不陌生，但基本不等式作为一个新的知识点出现在教材中，它是求函数最值的一种方法，学生只有真正理解了才会用起来得心应手。本教学设计地使用信息技术，让学生直观形象地理解问题，能很好地提升学生直观想象素养，学习效果的检测最好的方式就是通过习题来实现，所以可以多设置一些简单的求最值的问题，检测学生对基本不等式内容的掌握和使用情况，同时题量和试题难度的设置要灵活，尽可能达到分层教学的目的。