5.2.1三角函数的概念 课时设计

普通高中教科书人教 A 版数学第一册（必修）
5.2 三角函数的概念（3 课时，单元教学设计）
一.单元内容和内容解析
1. 内容
三角函数的概念，三角函数的基本性质：三角函数的符号、公式一、同角三角函数的基本关系.
本单元的知识结构：
本单元建议用3课时.第1课时.三角函数的概念；第2课时，三角函数的基本性质；第3课时，概念和性质的简单应用.
2. 内容解析
（1）内容的本质
三角函数是一类最典型的周期函数，是解决实际问题的重要工具，是学习数学、物理和天文等其他学科的重要基础.
（2）蕴含的数学思想和方法
研究思路如下：背景——研究对象——对应关系的本质——定义的过程.本单元的学习中，学生在经历这个过程而形成三角函数的同时，“顺便”就可得到值域、函数值的符号、公式一即同角三角函数的基本关系等性质.
（3）知识的上下位关系
传统上，人们习惯把三角函数看成是锐角三角函数的推广，利用象限角终边上点的坐标比定义三角函数.任意三角函数的现实背景是周期变化现象，是“周而复始”变化规律的数学课话.因此，整体上，任意角三角函数知识体系的建立，应与其他基本初等函数类似.
（4）育人价值
本节课从生活中存在“周而复始”的现象引入周期函数中最典型——三角函数的数学刻画，通过在平面直角坐标系中单位圆的建立，逐步实现本节课的教学目标.在此过程中培养了学生的数学想象、数学抽象、数学建模、数学运算等数学学科核心素养
（5）教学重难点
根据上述分析，可以确定本单元的教学重点：正弦函数、余弦函数、正切函数的定义，公式一，同角三角函数的基本关系.其中，正弦函数、余弦函数的定义是重中之重.
二．单元目标和目标解析
1.目标
（1）了解三角函数的背景，体会三角函数与现实世界的密切联系.
（2）经历三角函数概念的抽象过程，借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，发展数学抽象素养.
（3）掌握三角函数数值的符号.
（4）掌握公式一，初步体会三角函数的周期性.
（5）理解同角三角函数的基本关系式：，体会三角函数的内在联系，通过运用基本关系进行三角恒等变换，发展数学运算素养.
2.目标解析
达成上述目标的标志是：
（1）学生能如了解线性函数、反比例函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数的现实背景那样，知道三角函数是刻画现实世界中“周而复始”变化规律的数学工具，能体会到匀速圆周运动在周而复始变化现象中的代表性.
（2）学生在经历“周期现象—圆周运动—单位圆上点的旋转运动”的抽象活动中，明确研究的问题（单位圆上的点P以A为起点做旋转运动，建立一个数学模型，刻画点P的位置变化情况），使研究对象简单化、本质化；学生能分析单位圆上点的旋转中涉及的量及其相互关系，获得对应关系并抽象出三件函数概念；能根据定义求给定角的三角函数值.
（3）学生根据定义得出三角函数在各象限取值的符号规律.
（4）学生能根据定义，结合终边相同的角的表示，得出公式一，并能根据此描述三角函数周而复始的取值规律，求某些角（特殊角）的三角函数值.
（5）学生能利用定义以及单位圆上点的横、纵坐标之间的关系，发现并得出“同角三角函数的基本关系”，并能用于三角恒等变换.
三．单元教学问题诊断分析
三角函数概念的学习，其认知基础是函数的一般观念以及对幂函数、指数函数和对数函数的研究经验，另外还有圆的有关知识.这些认知准备对于分析“周而复始”变化现象中涉及的量及其关系、认识其中的对应关系并给出定义等都能起到思路引领作用.然而，前面学习的基本初等函数，涉及的量（常量与变量）较少，解析式都有明确的运算含义，在三角函数中，影响单位圆上点的坐标变化的因素较多，对应关系不以“代数运算”为媒介，是“α与x，y直接对应”，无须计算，虽然α，x，y都是实数，但实际上是“集合元素间的对应”.所以，三角函数中的对应关系，与学生的已有经验距离较大，由此产生第一个学习难点；理解三角函数的对应关系，包括影响单位圆上点的坐标变化的因素分析，以及三角函数的定义方式的理解.
为了破除学生在对应关系认识上的定势，帮助他们搞清楚三角函数的“三要素”，应该根据一般函数概念引导下的下位学习的特点，先让学生明确“给定一个角，如何得到对应的函数值”的操作过程，然后再下定义.这样不仅使三角函数定义的引入更自然，而且由三角函数对应关系的独特性，可以使学生再一次认识函数的本质.具体地，可以先让学生完成“给定一个特殊角，求它的终边与单位圆交点的坐标”的任务，例如，当时，让学生找出相应点P的坐标，并体会到点P的坐标的唯一确定想；在借助信息技术，让学生观察任意给定一个角，它的终边与单位圆的交点坐标是否唯一，从而为理解三角函数的对应关系奠定基础.利用信息技术，可以很容易地建立单位圆上点地横坐标、纵坐标、角、弧之间地联系，并且可以在角地变化过程中进行观察，发现其中地规律性.所以，信息技术可以帮助学生更好地理解三角函数的本质.
对于三角函数的定义，可以通过以下几点帮助学生理解.
是一个任意角，同时也是一个实数（弧度数），所以“设是一个任意角”的意义实际上是“对于R中的任意一个数”.
第二，“它的终边OP与单位圆相交于点P（x,y）”实际上给出了两个对应关系，即
（1）实数（弧度）对应点P的纵坐标y；
（2）实数（弧度）对应点P的纵坐标x，
其中y,x.因为y对于R中的任意一个数，它的终边唯一确定，所以交点P（x,y）也唯一确定，也就是纵坐标y和横坐标x都有唯一确定，所以对应关系（1）（2）分别确定了一个函数，这是理解三角函数定义的关键.
第三，引进，分别表示“的终边与单位圆交点的纵坐标”“的终边与单位圆交点的横坐标”，故对于任意一个实数，按对应关系（1），在集合B={z|-1≤z≤1}中都拥有唯一确定的数与之对应；按对应关系（2），在集合B中都有唯一确定的数与之对应.所以，，都是一个由所唯一确定的实数.
这里，对符号，的认识是第二难点.可以通过类比引进符号表示中的x，说明引进这些符号的意义.
本单元的第三个学习难点是对于三件函数内在联系行的认识.出现这个难点的主要原因在于三角函数联系方式的特殊性，学生在已有的基本初等函数学习中没有这个经验，以及学生从联系的观点看问题的经验不足，对“如何返现函数的性质”的认识不充分等而导致的发现和提出性质的能力不强.为此，教学中应在思想方法上加强引导.例如，可以通过问题“对于给定的角，点P（，）是的终边与单位圆的交点，而则是点P的纵坐标与横坐标之比，因此这三个函数之间一定有内在联系.你能从定义出发，研究一下他们有怎样的联系吗”引导学生探究同角三角函数的基本关系.
四．单元教学支持条件分析
为了加强学生对单位圆上点的坐标随角（圆心角）的变化而变化的直观感受，需要利用信息技术建立任意角、角的终边与单位圆的交点、角的旋转量、交点坐标等之间的关联.教学中，可以动态改变角的终边OP（P为终边与单位圆的交点）的位置，引导学生观察OP位置的变化所引起的点P坐标的变化规律，感受三角函数的本质，同时感受终边相同的角具有相同的三角函数值，以及各三角函数在合象限中符号的变化情况.
五．单元教学设计安排
本单元共两个课时，具体分配如下：
第1课时：三角函数的概念；
第2课时：三角函数的基本性质；
第3课时：概念和性质的简单应用.
第一课时
（一） 课时教学内容
在一般函数概念的指导下，按“概念形成”的方式展开形成三角函数的概念
（二） 课时教学目标
（1）了解三角函数的背景，并借助单位圆理解任意角三角函数的定义
（2）掌握三角函数值的符号
（3）掌握公式一，初步体会三角函数的周期性
（三） 教学重点与难点
重点：任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义
难点：任意角的三角函数概念的构建过程
（四） 教学过程设计
1.创设问题情境，提出研究问题
引导语：我们知道，现实世界中存在着各种各样的“周而复始”的变化现象，圆周运动是这类现象的代表.如图1所示，圆O上的点P以A为起点做逆时针方向的旋转.在把角的范围推广到任意角后，我们可以借助角的大小刻画点P的位置变化.又根据弧度制的定义，角的大小与圆O的半径无关.因此，不失一般性，我们可以先研究单位圆上点的运动，现在的任务是：
如图1所示，单位圆O上的点P以点A为起点做逆时针方向旋转，建议一个函数模型，刻画点P的位置变化情况.
图一
问题1：根据已有的研究函数的经验，你认为可以按怎样的路径研究上述问题？
师生活动：学生在独立思考的基础上进行交流，通过讨论得出研究路径是：明确研究背景——对应关系的特点分析——下定义——研究性质
设计意图：明确研究的内容、过程和基本方法，为具体研究指明方向
2.分析具体事例，归纳共同特征
引导语：下面我们利用直角坐标系来研究上述问题.如图2所示，以单位圆的圆心O为原点，以射线OA为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，以点A的坐标（1，0），点P的坐标（x，y）.射线OA从x轴的非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角，终止位置为OP.
问题2：当时，点P的坐标时什么？当？他们是唯一确定的吗？
一般的，任意给定一个角，它的终边OP于单位圆交点P的坐标能唯一确定吗？
师生互动：在学生求出当时点P的坐标后追问以下问题.
追问：（1）求点P的坐标要用到什么知识？（直角三角形的性质）
（2）求点P的坐标步骤是什么？点P的坐标唯一吗？（画出的终边OP，过点P做x轴的垂线交x轴于M，在中，利用直角三角形的性质可地得到点P的坐标是（，）.）
（3）如何利用上述经验求当时点P的坐标？（可以发现，∠MOP=，而点P在第二象限，可得点P的坐标是（-，）.）
（4）利用信息技术，刻画一个角，观察它的终边OP语单位圆交点P的坐标，你有什么发现？你能用函数的语言刻画这种对应关系吗？（对于R中的任意一个角，它的终边OP与单位圆交点为P（x,y），无论是横坐标x还是纵坐标y，都是唯一确定的，这里有两个对应关系：
：实数（弧度）对应于点P的纵坐标y
：实数（弧度）对应于点P的横坐标x
根据上述分析，：R→[-1,1]和：R→[-1,1]都是从集合R到集合[-1,1]的函数.）
设计意图：以函数的对应关系为指向，从特殊到一般，使学生确认相应的对应关系满足函数的定义，角的终边与单位圆交点的横坐标、纵坐标都是圆心角（弧度）的函数，为给出三角函数的定义做好准备.
3.任意角三角函数的定义与辨析
问题3：请同学们先阅读教科书第177-178页，再回答如下问题：
（1）正弦函数、余弦函数和正切函数的对应关系各是什么？
（2）符号，分别表示什么？在你以往的学习中有类似的引入特定符号表示一种量的经历吗？
（3）为什么说当时，的值是唯一确定的？
（4）为什么说正弦函数、余弦函数的定义域是R？而正切函数的定义域是{ |}
师生活动：学生独立阅读教科书，再回答上述问题.
设计意图：在问题引导下，通过阅读教科书、辨析关键词等，使学生明确三角函数的“三要素”；引导学生类比已有知识（引入符号表示中的x），理解三角函数符号的意义.
4.任意角三角函数与锐角三角函数的联系
问题4：在初中我们学了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数，设 ，把锐角三角函数定义求得的锐角的正弦记为，并把本节三角函数定义求得的的正弦记作和相等吗？对于余弦、正切也有相同的结论吗？
师生活动：教师引导学生作出 ，其中∠A=x，∠C=，再把它放入直角坐标系中，使点A与原点重合，AC在x轴的正半轴上，得出=的结论.
设计意图：建立锐角三角函数与任意角三角函数的联系，使学生体会两个定义的和谐性.
5.任意角三角函数概念的初步应用
例1：利用三角函数的定义求的正弦、余弦和正切值
师生活动：先由学生发言，再总结出从定义出发求三角函数值的基本步骤，并求出答案.
设计意图：通过概念的简单应用，明确用定义求三角函数值的基本步骤，进一步理解定义的内涵.
课堂练习：（1）利用三角函数的定义，求，的三个三角函数值
（2）说出几个使=1的的值.
师生活动：由学生逐题给出答案，并要求学生说出解答步骤，最后可以总结为“画终边，找交点坐标，算比值（对正切函数）”.
设计意图：检验学生对定义的理解情况.
例2：如图3所示，设是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点O重合）的坐标（x,y），点P与原点的距离为r，求证：，
师生活动：给出问题后，教师可以引导学生思考如下问题，再让学生给出证明：
（1）你能根据三角函数的定义作图表示，吗？
（2）在你所作图形中，各表示什么，你能找到它们与任意角的三角函数的关系吗？
设计意图：通过问题引导，使学生找到△OMP，△O ，并利用它们的相似关系，根据三角函数的定义得到证明.
追问：例2实际上给出了证明三角函数的另外一种定义，而且这种定义与已有的定义是等价的.你能用严格的数学语言叙述一下这种定义吗？
师生活动：可以由几个学生分别给出定义的表述，在交流的基础上得出准确的定义.
设计意图：加深学生对三角函数定义的理解.
课堂练习：已知点P在半径为2的圆上按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为1rad/s，求2s时点P所在的位置，
师生活动：由学生独立完成后，学生代表展示作业.
设计意图：三角函数是刻画匀速圆周运动的数学模型，通过练习使学生从另一个角度理解三角函数的定义.
（五）目标检测设计
1.利用三角函数的定义，求的三个三角函数值.
2．已知角θ的终边多点P（-12，5），求角θ的三角函数值.
设计意图：考查学生对三角函数定义的理解情况.