4.2.1 第1课时 等差数列的概念及通项公式
课程标准 熟悉课标，把握重点
知识梳理 掌握概念，升华提升
基础自测 单选 1★+2★+3★ 填空4★
题型归类 题型一：等差数列的概念
单选1★+2★★+3★★★多选4★填空5★+6★解答7★+方法总结
题型二：等差数列的通项公式及应用
单选1★+2★+3★★★多选4★★填空5★+6★★解答7★★+方法总结
题型三：等差中项及其应用
单选1★+2★+3★★多选4★★填空5★+6★★解答7★★+方法总结
题型四：一般的等差数列的判定与证明
单选1★+2★★+3★★★解答4★★5★★+方法总结
题型五：综合的等差数列的判定与证明
单选1★★★+2★★★+3★★★+方法总结
题型六：等差数列项的设法
单选1★★+填空2★★+3★★解答4★★5★★+方法总结
分层测试 单选6题1★+2★ + 3★+4★+5★★+6★★★
多选3题7★+8★★+9★★★
填空3题10★+11★★+12★★★
解答4题13★+14★+15★★+16★★★
一、课程标准
1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义．
2．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题．
3．体会等差数列与一元一次函数的关系．
二、知识梳理
1．等差数列的概念
条件 从第2项起
每一项与它的前一项的差都等于同一个常数
结论 这个数列就叫做等差数列
有关概念 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示
2.等差中项
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列。这时A叫做a与b的等差中项。根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b。
3．等差数列的通项公式
(1)通项公式：首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式是an＝a1＋(n－1)d。
(2)等差数列与一次函数的关系：
①公差d≠0的等差数列{an}的图象是点(n，an)组成的集合，这些点均匀分布在直线f(x)＝dx＋(a1－d)上。
②任给一次函数f(x)＝kx＋b(k，b为常数)，则f(1)＝k＋b，f(2)＝2k＋b，…，f(n)＝nk＋b，构成一个等差数列{nk＋b}，其首项为k＋b，公差为k。
【升华提升】
1.在等差数列的定义中，应该把握好三个关键，即“第二项”“后项与前项的差”“同一个常数”.在证明中应注意验证“第一项”也满足条件.
2.由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1，d，n，an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量.
三、基础自测
1★（单选）下列数列是等差数列的是( )
A.，，， B．1，，，
C．1，－1,1，－1 D．0,0,0,0
【解析】因为－≠－，故排除A；因为－1≠－，故排除B；因为－1－1≠1－(－1)，故排除C。
故选D。
2★（单选）已知等差数列{an}的首项a1＝2，公差d＝3，则数列{an}的通项公式为( )
A．an＝3n－1 B．an＝2n＋1
C．an＝2n＋3 D．an＝3n＋2
【解析】 an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)·3＝3n－1。
故选A。
3★（单选）等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是( )
A．第7项 B．第8项
C．第9项 D．第10项
【解析】∵a1＝20，d＝－3，
∴an＝20＋(n－1)×(－3)＝23－3n，
∴a7＝2>0，a8＝－1<0.
∴数列中第一个负数项是第8项．
故选B。
4★（填空）＋1与－1的等差中项是________。
【解析】设等差中项为x，由等差中项的定义知x＝＝。
答案
四、题型归类
【题型一】 等差数列的概念
1★（单选） 已知等差数列{an}的通项公式为an＝3－2n，则它的公差为( )
A．2 B．3
C．－2 D．－3
【解析】因为an＝3－2n＝1＋(n－1)×(－2)，所以d＝－2。
故选C。
2★★（单选）若数列{an}的通项公式是an＝2(n＋1)＋3，则此数列( )
A．是公差为2的等差数列
B．是公差为3的等差数列
C．是公差为5的等差数列
D．不是等差数列
【解析】an＋1－an＝[2(n＋2)＋3]－[2(n＋1)＋3]＝2，故{an}是公差为2的等差数列。
故选A。
3★★★（单选）已知等差数列{an}中，a1＝，a2＋a5＝4，an＝33，则n等于( )
A．50 B．49
C．48 D．47
【解析】由题得2a1＋5d＝4，将a1＝代入，得d＝，则an＝＋(n－1)＝n－，又an＝33，所以n－＝33，得n＝50。
故选A。
4★（多选）下列数列是等差数列的是( )
A．1，1，1，1，1 B．4，7，10，13，16
C.，，1，， D．－3，－2，－1，1，2
【解析】由等差数列的定义得，
A项d＝0，故是等差数列；
B项d＝3，故是等差数列；
C项d＝，故是等差数列；
D项每一项与前一项的差不是同一个常数，故不是等差数列．
故选ABC。
5★（填空）下列数列中，是等差数列的有 （填序号）
①1,4,7,10 ②lg 2，lg 4，lg 8，lg 16
③25,24,23,22 ④10,8,6,4,2
【解析】①，②，④项满足等差数列的定义，是等差数列；
③中，因为24－25≠23－24≠22－23，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列．
故填①③④
6★（填空）已知等差数列{an}的前三项分别为a－1，a＋1,2a＋1，则该数列的通项公式为
【解析】设该等差数列的公差为d，
因为等差数列{an}的前三项分别为a－1，a＋1,2a＋1，
所以2(a＋1)＝a－1＋2a＋1，
解得a＝2，所以a1＝1，d＝2，
所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.
故填an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.
7★（解答）判断下列各组数列是不是等差数列．如果是，写出首项a1和公差d.
(1)1,3,5,7,9，…；
(2)9,6,3,0，－3，…；
(3)1,3,4,5,6，…；
(4)7,7,7,7,7，…；
(5)1，，，，，….
【解析】(1)是，a1＝1，d＝2；(2)是，a1＝9，d＝－3；(3)不是；(4)是，a1＝7，d＝0；(5)不是．
【方法总结】
利用定义法判断等差数列：从第2项起，检验每一项与它的前一项的差是否都等于同一个常数，若是同一个常数，则是等差数列，否则不是等差数列．
【题型二】等差数列的通项公式及应用
1★（单选）在等差数列{an}中，a3＋a6＝11，a5＋a8＝39，则公差d为( )
A．－14 B．－7
C．7 D．14
【解析】因为a3＋a6＝11，a5＋a8＝39，则4d＝28，解得d＝7。
故选C。
2★（单选）在等差数列{an}中，已知a5＋a10＝12，则3a7＋a9＝( )
A．12 B．18
C．24 D．30
【解析】因为在等差数列{an}中，a5＋a10＝12，所以2a1＋13d＝12,3a7＋a9＝3(a1＋6d)＋a1＋8d＝4a1＋26d＝2(2a1＋13d)＝2×12＝24。
故选C。
3★★★（单选）下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个结论：p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{an＋3nd}是递增数列．其中正确的为( )
A．p1，p2 B．p3，p4
C．p2，p3 D．p1，p4
【解析】设等差数列的首项为a1，d>0，则an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，∴数列{an}递增，p1正确；
nan＝dn2＋(a1－d)n，当n<时，不递增，p2错误；
＝d＋，当a1－d>0时，不递增，p3错误；
[an＋1＋3(n＋1)d]－(an＋3nd)＝an＋1－an＋3d＝4d>0，{an＋3nd}递增，p4正确。
故选D。
4★★（多选） 已知数列是等差数列，数列分别满足下列各式，其中数列必为等差数列的是( )
A．bn＝3an B．bn＝a
C．bn＝ D．bn＝－
【解析】设数列的公差为d，选项A中bn－bn－1＝3an－3an－1＝3d，同理可证B，C都不满足bn－bn－1＝同一常数，所以选项都是错误的；
对于选项D，bn－bn－1＝－＋＝＝－，所以数列必为等差数列．
故选AD。
5★（填空）在等差数列{an}中，已知a6＝12，a18＝36，则通项公式an＝________。
【解析】由题意可得解得d＝2，a1＝2。所以an＝2＋(n－1)×2＝2n。
答案 2n
6★★（填空）在等差数列{an}中，求解下列各题：
(1)已知公差d＝－，a7＝8，则a1＝________.
(2)已知a3＝0，a7－2a4＝－1，则公差d＝______.
(3)已知{an}的前3项依次为2,6,10，则a15＝________.
【解析】(1)由a7＝a1＋6d，得8＝a1＋6×，
故a1＝10.
(2)设首项为a1，公差为d，
则
解得
(3)由题意得，d＝6－2＝4，
把a1＝2，d＝4代入an＝a1＋(n－1)d，
得an＝2＋(n－1)×4＝4n－2，
∴a15＝4×15－2＝58.
答案 (1)10 (2)－ (3)58
7★★（解答）在等差数列{an}中，
(1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d；
(2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9。
【解析】(1)由题意，
知
解得
(2)由题意，知
解得
所以a9＝a1＋(9－1)d＝1＋8×2＝17。
【方法总结】
等差数列通项公式的求法与应用技巧
(1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可．
(2)等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”．
【题型三】等差中项及其应用
1★（单选）已知a＝，b＝，则a，b的等差中项为( )
A. B.
C. D.
【解析】a，b的等差中项为×＝×(－＋＋)＝。
故选A。
2★（单选）{an}是等差数列，a1与a2的等差中项为1，a2与a3的等差中项为2，则公差d＝( )
A．2 B.
C．1 D.
【解析】因为{an}是等差数列，a1与a2的等差中项为1，a2与a3的等差中项为2，所以a1＋a2＝2，a2＋a3＝4，两式相减得a3－a1＝2d＝2，解得d＝1。
故选C。
3★★（单选）已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5，则2m－n和2n－m的等差中项是( )
A．8 B．6 C．4.5 D．3
【解析】∵m＋2n＝8,2m＋n＝10，
∴3m＋3n＝18，∴m＋n＝6，
∴2m－n和2n－m的等差中项是
＝＝3.
故选D。
4★★（多选）设x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则a，b的关系可以是( )
A.a＝－b B.a＝b
C.a＝3b D.a＝－3b
【解析】由等差中项的定义知，x＝，
x2＝，
∴＝，
即a2－2ab－3b2＝0，
∴(a－3b)(a＋b)＝0，
∴a＝3b或a＝－b.
5★（填空）一个等差数列的前4项是a，x，b,2x(b≠0，x≠0)，则等于
【解析】∵b是x,2x的等差中项，
∴b＝＝，
又∵x是a，b的等差中项，
∴2x＝a＋b，
∴a＝，∴＝.
故填
6★★（填空）设a>0，b>0，若ln 3是ln 9a与ln 3b的等差中项，则2a＋b＝________.
【解析】∵ln 3是ln 9a与ln 3b的等差中项，
∴2ln 3＝ln 9a＋ln 3b，
∴ln 32＝ln(9a·3b)＝ln 32a＋b，
∴32＝32a＋b，
∴2a＋b＝2.
7★★（解答）(1)已知a和2b的等差中项是5,3a和4b的等差中项是7，求2a和3b的等差中项。
(2)已知数列{xn}的首项x1＝3，通项公式为xn＝2np＋nq(n∈N*，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列。求p，q的值。
【解析】(1)因为a和2b的等差中项是5，所以a＋2b＝10，①
又因为3a和4b的等差中项是7，
所以3a＋4b＝14。②
由①②解得
所以2a和3b的等差中项为＝6。
(2)由x1＝3，得2p＋q＝3，①
又x4＝24p＋4q，x5＝25p＋5q，
且x1＋x5＝2x4，
得3＋25p＋5q＝25p＋8q，即q＝1，②
将②代入①，得p＝1。故p＝1，q＝1。
【方法总结】
三数a，b，c成等差数列的条件是b＝(或2b＝a＋c)，可用来进行等差数列的判定或有关等差中项的计算问题。如要证{an}为等差数列，可证2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)。
【题型四】一般的等差数列的判定与证明
1★（单选） “lg x，lg y，lg z成等差数列”是“y2＝xz”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】lg x，lg y，lg z成等差数列 2lg y＝lg x＋lg z lg＝lg y2 y2＝xz，
但y2＝xz不能保证x，y，z均为正数，
故选A.
2★★（单选）用火柴棒按如图的方法搭三角形，按图示的规律搭下去，则第100个图形所用火柴棒数为( )
A．199 B．201 C．203 D．205
【解析】由图示可以看出，第一个图中用了三根火柴棒，从第二个图开始每一个图中所用的火柴棒数都比前一个图中所用的火柴棒数多两根，设第n个图形所需要的火柴棒数量为an，则an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，则第100个图形所用火柴棒数量为2×100＋1＝201.
故选B。
3★★★（单选）在数列{an}中，若＝＋，a1＝8，则数列{an}的通项公式为( )
A．an＝2(n＋1)2 B．an＝4(n＋1)
C．an＝8n2 D．an＝4n(n＋1)
【解析】由题意得－＝，故数列{}是首项为＝2，公差为的等差数列，所以＝2＋(n－1)＝n＋，
故an＝2(n＋1)2.
故选A
4★★（解答）判断下列数列是否为等差数列。
(1)在数列{an}中，an＝3n＋2；
(2)在数列{an}中，an＝n2＋n。
【解析】(1)an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(n∈N*)，故该数列为等差数列。
(2)an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2，故该数列不是等差数列。
5★★（解答）已知数列{an}中，a1＝a2＝1，an＝an－1＋2(n≥3)。
(1)判断数列{an}是否为等差数列，并说明理由；
(2)求{an}的通项公式。
【解析】(1)当n≥3时，an＝an－1＋2，即an－an－1＝2，而a2－a1＝0不满足an－an－1＝2(n≥3)，
所以{an}不是等差数列。
(2)当n≥2时，{an}是等差数列，公差为2。
当n≥2时，an＝1＋2(n－2)＝2n－3，
又a1＝1不适合上式，
所以{an}的通项公式为an＝
【方法总结】
1.用定义法判定(或证明)数列{an}是等差数列的基本步骤为：
(1)作差an＋1－an；
(2)对差式进行变形；
(3)当an＋1－an是一个与n无关的常数时，数列{an}是等差数列；当an＋1－an不是常数，而是与n有关的代数式时，数列{an}不是等差数列。
2.判断等差数列的方法
(1)定义法：an＋1－an＝d(n∈N*)或an－an－1＝d(n≥2，且n∈N*) 数列{an}是等差数列。
(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*) {an}为等差数列。
(3)通项公式法：数列{an}的通项公式an＝pn＋q(p，q为常数) 数列{an}为等差数列。
【题型五】综合的等差数列的判定与证明
1★★★（解答） 已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－(n>1)，记bn＝。
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式。
【解析】(1)证明：bn＋1－bn＝－＝－＝－＝＝。
因为b1＝＝，
所以数列{bn}是首项为，公差为的等差数列。
(2)由(1)知bn＝＋(n－1)·＝。
因为bn＝，
所以an＝＋2＝＋2。
所以数列{an}的通项公式为an＝＋2。
2★★★（解答）(1)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，求通项公式an。
【解析】由an＋1＝两边取倒数，可得＝，
即＝＋，
所以－＝，
因此数列是公差为的等差数列。
因为a1＝2，所以＝，即数列是首项为，公差为的等差数列，
因此＝＋(n－1)＝，
故an＝。
3★★★（解答）已知，，成等差数列，求证：，，也成等差数列。
【解析】因为，，成等差数列，
所以＝＋，即2ac＝b(a＋c)。
因为＋＝＝＝＝＝，
所以，，成等差数列。
【题型六】等差数列项的设法
1★★（单选）在数列{an}中，已知a1＝3，当n≥2时，－＝，则a16＝( )
A. B.
C. D.
【解析】(1)因为当n≥2时，－＝，所以是以为首项，以为公差的等差数列，故＝＋15×＝，故a16＝.
故选B。
2★★（填空）已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为，则这5个数依次为________.
【解析】设第三个数为a，公差为d，
则这5个数分别为a－2d，a－d，a，a＋d，
a＋2d，
由已知条件列方程组，
得
所以所以
当d＝时，这5个数分别是－，，1，，；
当d＝－时，这5个数分别是，，1，，－.
3★★（填空）已知递增的等差数列{an}的前三项之和为21，前三项之积为231，则数列{an}的通项公式为________。
【解析】由于数列{an}为等差数列，因此可设前三项分别为a－d，a，a＋d，可得即解得或因为数列{an}为递增数列，所以从而an＝4n－1。
【答案】 an＝4n－1
4★★（解答）已知单调递增的等差数列{an}的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列{an}的通项公式.
【解析】法一 根据题意，设等差数列{an}的前三项分别为a1，a1＋d，a1＋2d，
则
即
解得或
因为数列{an}为单调递增数列，
所以
故等差数列{an}的通项公式为an＝4n－1.
法二 由于数列{an}为等差数列，因此可设前三项分别为a－d，a，a＋d，
于是可得
即
解得或
由于数列{an}为单调递增数列，所以
故等差数列{an}的通项公式为an＝4n－1.
5★★（解答）成等差数列的四个数之和为26，第2个数和第3个数之积为40，求这四个数。
【解析】设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则由题意得
即解得或
所以所求四个数为2,5,8,11或11,8,5,2。
【方法总结】
等差数列项的常见设法
如果三个数成等差数列，可根据项的对称性把这三个数设为a－d，a，a＋d；
如果四个数成等差数列，可根据项的对称性把这四个数设为a －3d，a－d，a＋d，a＋3d；
如果五个或五个以上的数成等差数列，可根据等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，把这些数设为a1，a1＋d，a1＋2d，…
五、分层测试
一、单选题
1★数列{an}中，a1＝5，an＋1＝an＋3，那么这个数列的通项公式是( )
A．3n－1 B．3n＋2
C．3n－2 D．3n＋1
【解析】因为an＋1－an＝3，所以数列{an}是以5为首项，3为公差的等差数列，
则an＝5＋3＝3n＋2，n∈N*.
故选B。
2★已知在等差数列{an}中，a1＝1，d＝3，则当an＝298时，n等于( )
A．90 B．96 C．98 D．100
【解析】由题意知1＋3(n－1)＝298，解得n＝100.
故选D。
3★已知数列{an}为等差数列，则下列不一定成立的是( )
A．若a2>a1，则a3>a1
B．若a2>a1，则a3>a2
C．若a3>a1，则a2>a1
D．若a2>a1，则a1＋a2>a1
【解析】利用等差数列的单调性可得，若a2>a1，则公差d>0，所以等差数列{an}是递增数列，所以a3－a1＝2d>0，a3－a2＝d>0成立，所以A，B正确；
若a3>a1，则a3－a1＝2d>0，所以a2－a1＝d>0成立，所以C正确；
a1＋a2>a1不一定成立，例如a1
故选D。
4★等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是( )
A．45 B．46
C．47 D．92
【解析】由题意知，等差数列的首项a1＝1，公差d＝－2，且an＝－89。由an＝a1＋(n－1)d，解得n＝46。
故选B。
5★★首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【解析】设an＝－24＋(n－1)d，n∈N*，
由解得故选C。
6★★★数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？”现将1到2 023共2 023个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则该数列共有( )
A．132项 B．133项 C．134项 D．135项
【解析】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，记为{an}，则an＝8＋15＝15n－7，令an＝15n－7≤2 023，解得n≤135 ，
所以该数列的项数共有135项．
二、多选题
7★下列数列是等差数列的是( )
A．0,0,0,0,0…
B．1,11,111,1 111，…
C．－5，－3，－1,1,3，…
D．1,2,3,5,8，…
【解析】根据等差数列的定义可知A，C是等差数列。
故选AC。
8★★在数列{an}中，已知a2＝2，a6＝0，且数列是等差数列，公差为d，则( )
A．a4＝ B．a3＝1
C．d＝ D．d＝
【解析】设数列的公差为d，
则－＝4d，
代入数据可得d＝.因此＝＋2d＝，
故a4＝，＝＋＝＋＝，解得a3＝1.
故选ABD。
9★★★下列命题中为真命题的是( )
A．若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2一定成等差数列
B．若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c可能成等差数列
C．若a，b，c成等差数列，则ka＋2，kb＋2，kc＋2(k为常数)一定成等差数列
D．若a，b，c成等差数列，则，，可能成等差数列
【解析】对于A，取a＝1，b＝2，c＝3，则a2＝1，b2＝4，c2＝9，此时a2，b2，c2不成等差数列，故A是假命题；对于B，令a＝b＝c，则2a＝2b＝2c，此时2a,2b,2c是公差为0的等差数列，故B是真命题；对于C，因为a，b，c成等差数列，所以b－a＝c－b＝m(m为常数)。又(kb＋2)－(ka＋2)＝k(b－a)，(kc＋2)－(kb＋2)＝k(c－b)，所以(kb＋2)－(ka＋2)＝(kc＋2)－(kb＋2)＝km(km为常数)，故C是真命题；对于D，令a＝b＝c≠0，则＝＝，此时，，是公差为0的等差数列，故D是真命题。
故选BCD。
三、填空题
10★在－3和6之间插入两个数a，b，使这四个数成等差数列，则公差为________．
【解析】设该等差数列为{an}，其首项为a1，公差为d，由题意知，a1＝－3，a4＝6，
即解得d＝3.
答案 3
11★★已知△ABC的三边a，b，c成等差数列，，，也成等差数列，则△ABC的形状为________．
【解析】由a，b，c成等差数列得a＋c＝2b，①
由，，成等差数列得＋＝2， ②
由②2－①得2＝2b，即b2＝ac，
由①平方得a2＋2ac＋c2＝4b2，
将b2＝ac代入得a2＋2ac＋c2＝4ac，
即(a－c)2＝0，得a＝c.
又a＋c＝2b，
∴2a＝2b，
∴a＝b，
∴a＝b＝c.
∴△ABC 是等边三角形．
答案 等边三角形
12★★★正项数列{an}满足：a1＝1，a2＝2,2a＝a＋a(n∈N*，n≥2)，则an＝________，a7＝________。
【解析】因为2a＝a＋a(n∈N*，n≥2)，所以数列{a}是以a＝1为首项，以d＝a－a＝4－1＝3为公差的等差数列，所以a＝1＋3(n－1)＝3n－2，所以an＝，n∈N*。所以a7＝＝。
答案
四、简答题
13★在等差数列{an}中，已知a1＝112，a2＝116，这个数列在区间(450,600)内共有多少项？
【解析】由题意，得d＝a2－a1＝116－112＝4，
所以an＝a1＋(n－1)d＝112＋4(n－1)＝4n＋108。
令450<4n＋108<600，解得85.5又因为n为正整数，故有37项。
14★在等差数列{an}中，
(1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d；
(2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求an.
【解析】(1)由题意知
解得
(2)设等差数列的公差为d，由题意知
解得
所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1，n∈N*.
15★★已知等差数列{an}中，a2＝4，a6＝16。
(1)证明：数列是公差为－2的等差数列；
(2)若在数列{an}每相邻的两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，求新数列的第41项。
【解析】(1)证明：设数列{an}的公差为d，
因为a2＝4，a6＝16，
所以4d＝a6－a2＝12，得d＝3，
所以an＝a2＋(n－2)d＝3n－2，
设bn＝an－3n，则bn＝－2n－，
所以bn＋1－bn＝－2，
即数列是公差为－2的等差数列。
(2)由(1)得a1＝4－3＝1，
设新数列为{cn}，其公差为d1，则c1＝1，c5＝4，
所以4d1＝3，得d1＝，
所以c41＝1＋(41－1)×＝31。
16★★★已知{an}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝12，a8＝16.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若从数列{an}中依次取出第2项，第4项，第6项，…，第2n项，按原来的顺序组成一个新数列{bn}，试求出数列{bn}的通项公式．
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d.
由题意得，
解得
∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n.
(2)a2＝4，a4＝8，a6＝12，a8＝16，…，a2n＝2×2n＝4n.
当n>1时，a2n－a2(n－1)＝4n－4(n－1)＝4.
∴{bn}是以4为首项，4为公差的等差数列．
∴bn＝b1＋(n－1)d＝4＋4(n－1)＝4n.4.2.1 第1课时 等差数列的概念及通项公式
课程标准 熟悉课标，把握重点
知识梳理 掌握概念，升华提升
基础自测 单选 1★+2★+3★ 填空4★
题型归类 题型一：等差数列的概念
单选1★+2★★+3★★★多选4★填空5★+6★解答7★+方法总结
题型二：等差数列的通项公式及应用
单选1★+2★+3★★★多选4★★填空5★+6★★解答7★★+方法总结
题型三：等差中项及其应用
单选1★+2★+3★★多选4★★填空5★+6★★解答7★★+方法总结
题型四：一般的等差数列的判定与证明
单选1★+2★★+3★★★解答4★★5★★+方法总结
题型五：综合的等差数列的判定与证明
单选1★★★+2★★★+3★★★+方法总结
题型六：等差数列项的设法
单选1★★+填空2★★+3★★解答4★★5★★+方法总结
分层测试 单选6题1★+2★ + 3★+4★+5★★+6★★★
多选3题7★+8★★+9★★★
填空3题10★+11★★+12★★★
解答4题13★+14★+15★★+16★★★
一、课程标准
1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义．
2．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题．
3．体会等差数列与一元一次函数的关系．
二、知识梳理
1．等差数列的概念
条件 从第2项起
每一项与它的前一项的差都等于同一个常数
结论 这个数列就叫做等差数列
有关概念 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示
2.等差中项
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列。这时A叫做a与b的等差中项。根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b。
3．等差数列的通项公式
(1)通项公式：首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式是an＝a1＋(n－1)d。
(2)等差数列与一次函数的关系：
①公差d≠0的等差数列{an}的图象是点(n，an)组成的集合，这些点均匀分布在直线f(x)＝dx＋(a1－d)上。
②任给一次函数f(x)＝kx＋b(k，b为常数)，则f(1)＝k＋b，f(2)＝2k＋b，…，f(n)＝nk＋b，构成一个等差数列{nk＋b}，其首项为k＋b，公差为k。
【升华提升】
1.在等差数列的定义中，应该把握好三个关键，即“第二项”“后项与前项的差”“同一个常数”.在证明中应注意验证“第一项”也满足条件.
2.由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1，d，n，an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量.
三、基础自测
1★（单选）下列数列是等差数列的是( )
A.，，， B．1，，，
C．1，－1,1，－1 D．0,0,0,0
2★（单选）已知等差数列{an}的首项a1＝2，公差d＝3，则数列{an}的通项公式为( )
A．an＝3n－1 B．an＝2n＋1
C．an＝2n＋3 D．an＝3n＋2
3★（单选）等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是( )
A．第7项 B．第8项
C．第9项 D．第10项
4★（填空）＋1与－1的等差中项是________。
四、题型归类
【题型一】 等差数列的概念
1★（单选） 已知等差数列{an}的通项公式为an＝3－2n，则它的公差为( )
A．2 B．3
C．－2 D．－3
2★★（单选）若数列{an}的通项公式是an＝2(n＋1)＋3，则此数列( )
A．是公差为2的等差数列
B．是公差为3的等差数列
C．是公差为5的等差数列
D．不是等差数列
3★★★（单选）已知等差数列{an}中，a1＝，a2＋a5＝4，an＝33，则n等于( )
A．50 B．49
C．48 D．47
4★（多选）下列数列是等差数列的是( )
A．1，1，1，1，1 B．4，7，10，13，16
C.，，1，， D．－3，－2，－1，1，2
5★（填空）下列数列中，是等差数列的有 （填序号）
①1,4,7,10 ②lg 2，lg 4，lg 8，lg 16
③25,24,23,22 ④10,8,6,4,2
6★（填空）已知等差数列{an}的前三项分别为a－1，a＋1,2a＋1，则该数列的通项公式为
7★（解答）判断下列各组数列是不是等差数列．如果是，写出首项a1和公差d.
(1)1,3,5,7,9，…；
(2)9,6,3,0，－3，…；
(3)1,3,4,5,6，…；
(4)7,7,7,7,7，…；
(5)1，，，，，….
【题型二】等差数列的通项公式及应用
1★（单选）在等差数列{an}中，a3＋a6＝11，a5＋a8＝39，则公差d为( )
A．－14 B．－7
C．7 D．14
2★（单选）在等差数列{an}中，已知a5＋a10＝12，则3a7＋a9＝( )
A．12 B．18
C．24 D．30
3★★★（单选）下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个结论：p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{an＋3nd}是递增数列．其中正确的为( )
A．p1，p2 B．p3，p4
C．p2，p3 D．p1，p4
4★★（多选） 已知数列是等差数列，数列分别满足下列各式，其中数列必为等差数列的是( )
A．bn＝3an B．bn＝a
C．bn＝ D．bn＝－
5★（填空）在等差数列{an}中，已知a6＝12，a18＝36，则通项公式an＝________。
6★★（填空）在等差数列{an}中，求解下列各题：
(1)已知公差d＝－，a7＝8，则a1＝________.
(2)已知a3＝0，a7－2a4＝－1，则公差d＝______.
(3)已知{an}的前3项依次为2,6,10，则a15＝________.
7★★（解答）在等差数列{an}中，
(1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d；
(2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9。
【题型三】等差中项及其应用
1★（单选）已知a＝，b＝，则a，b的等差中项为( )
A. B.
C. D.
2★（单选）{an}是等差数列，a1与a2的等差中项为1，a2与a3的等差中项为2，则公差d＝( )
A．2 B.
C．1 D.
3★★（单选）已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5，则2m－n和2n－m的等差中项是( )
A．8 B．6 C．4.5 D．3
4★★（多选）设x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则a，b的关系可以是( )
A.a＝－b B.a＝b
C.a＝3b D.a＝－3b
5★（填空）一个等差数列的前4项是a，x，b,2x(b≠0，x≠0)，则等于
6★★（填空）设a>0，b>0，若ln 3是ln 9a与ln 3b的等差中项，则2a＋b＝________.
7★★（解答）(1)已知a和2b的等差中项是5,3a和4b的等差中项是7，求2a和3b的等差中项。
(2)已知数列{xn}的首项x1＝3，通项公式为xn＝2np＋nq(n∈N*，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列。求p，q的值。
【题型四】一般的等差数列的判定与证明
1★（单选） “lg x，lg y，lg z成等差数列”是“y2＝xz”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2★★（单选）用火柴棒按如图的方法搭三角形，按图示的规律搭下去，则第100个图形所用火柴棒数为( )
A．199 B．201 C．203 D．205
3★★★（单选）在数列{an}中，若＝＋，a1＝8，则数列{an}的通项公式为( )
A．an＝2(n＋1)2 B．an＝4(n＋1)
C．an＝8n2 D．an＝4n(n＋1)
4★★（解答）判断下列数列是否为等差数列。
(1)在数列{an}中，an＝3n＋2；
(2)在数列{an}中，an＝n2＋n。
5★★（解答）已知数列{an}中，a1＝a2＝1，an＝an－1＋2(n≥3)。
(1)判断数列{an}是否为等差数列，并说明理由；
(2)求{an}的通项公式。
【题型五】综合的等差数列的判定与证明
1★★★（解答） 已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－(n>1)，记bn＝。
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式。
2★★★（解答）(1)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，求通项公式an。
3★★★（解答）已知，，成等差数列，求证：，，也成等差数列。
【题型六】等差数列项的设法
1★★（单选）在数列{an}中，已知a1＝3，当n≥2时，－＝，则a16＝( )
A. B.
C. D.
2★★（填空）已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为，则这5个数依次为________.
3★★（填空）已知递增的等差数列{an}的前三项之和为21，前三项之积为231，则数列{an}的通项公式为________。
4★★（解答）已知单调递增的等差数列{an}的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列{an}的通项公式.
5★★（解答）成等差数列的四个数之和为26，第2个数和第3个数之积为40，求这四个数。
五、分层测试
一、单选题
1★数列{an}中，a1＝5，an＋1＝an＋3，那么这个数列的通项公式是( )
A．3n－1 B．3n＋2
C．3n－2 D．3n＋1
2★已知在等差数列{an}中，a1＝1，d＝3，则当an＝298时，n等于( )
A．90 B．96 C．98 D．100
3★已知数列{an}为等差数列，则下列不一定成立的是( )
A．若a2>a1，则a3>a1
B．若a2>a1，则a3>a2
C．若a3>a1，则a2>a1
D．若a2>a1，则a1＋a2>a1
4★等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是( )
A．45 B．46
C．47 D．92
5★★首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6★★★数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？”现将1到2 023共2 023个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则该数列共有( )
A．132项 B．133项 C．134项 D．135项
二、多选题
7★下列数列是等差数列的是( )
A．0,0,0,0,0…
B．1,11,111,1 111，…
C．－5，－3，－1,1,3，…
D．1,2,3,5,8，…
8★★在数列{an}中，已知a2＝2，a6＝0，且数列是等差数列，公差为d，则( )
A．a4＝ B．a3＝1
C．d＝ D．d＝
9★★★下列命题中为真命题的是( )
A．若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2一定成等差数列
B．若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c可能成等差数列
C．若a，b，c成等差数列，则ka＋2，kb＋2，kc＋2(k为常数)一定成等差数列
D．若a，b，c成等差数列，则，，可能成等差数列
三、填空题
10★在－3和6之间插入两个数a，b，使这四个数成等差数列，则公差为________．
11★★已知△ABC的三边a，b，c成等差数列，，，也成等差数列，则△ABC的形状为________．
12★★★正项数列{an}满足：a1＝1，a2＝2,2a＝a＋a(n∈N*，n≥2)，则an＝________，a7＝________。
四、简答题
13★在等差数列{an}中，已知a1＝112，a2＝116，这个数列在区间(450,600)内共有多少项？
14★在等差数列{an}中，
(1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d；
(2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求an.
15★★已知等差数列{an}中，a2＝4，a6＝16。
(1)证明：数列是公差为－2的等差数列；
(2)若在数列{an}每相邻的两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，求新数列的第41项。
16★★★已知{an}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝12，a8＝16.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若从数列{an}中依次取出第2项，第4项，第6项，…，第2n项，按原来的顺序组成一个新数列{bn}，试求出数列{bn}的通项公式．