2.1.1 倾斜角与斜率（单元教学设计+课时设计）

第二章 直线和圆的方程
2.1-2.2单元教学设计
数学：张伟
一、单元内容及其解析
1.内容
直线的倾斜角与斜率的概念，倾斜角与斜率的关系，过两点的直线的斜率公式. 两条直线平行和垂直的判定.直线的五种方程.这两节的内容框图如下:
本单元建议用6课时完成.第一课时：2.1.1倾斜角与斜率；第二课时：2.1.2两条直线平行和垂直的判定；第三课时：2.2.1直线的点斜式方程（第1课时）；第四课时：2.2.2直线的两点式方程（第2课时）；第五课时：2.2.3直线的一般式方程.第六课时：2.3.2-2.3.4两点间的距离公式；点到直线的距离公式；两条平行直线间的距离.
2.内容解析
(1)内容的本质：学生在学习本单元时首先将直线的倾斜角代数化，其中直线的方向向量融合了数与形，确定直线位置关系的几何要素，建立直线方程.把几何问题转化为代数问题，用方程角度解决直线交点与距离问题.
(2)蕴含的数学思想和方法：本单元内容属于解析几何的范畴，而解析几何中研究问题的主要方法是坐标法，它建立了几何与代数间的联系，体现数形结合与划归转化的思想. 教科书首先探索在平面直角坐标系中确定直线位置的几何要素，通过用代数方法表示这些几何要素.即经过一点和一个方向确定一条直线，引入直线倾斜角刻画直线的倾斜程度（方向）.之后由具体到一般，通过向量法，用直线上两点的坐标刻画倾斜角,把倾斜角的正切值表示为这两点纵坐标的差与横坐标的差的商，进而引出直线斜率的概念,建立过两点的直线斜率公式，以及直线的斜率与其方向向量的关系.由于两条直线平行或垂直取决于它们的方向，所以由它们斜率的关系可以判断两条直线平行或垂直的位置关系.在此过程也提供了研究平面图形的重要方法即坐标法、综合法、向量法.
(3)知识的上下位关系：在必修下册中的平面向量知识前提下，直线的倾斜角是学习本单元的基础，斜率的两种形式在本节给出，而第2节“直线的方程”包括直线的点斜式、两点式和一般式方程，斜截式、截距式方程分别是点斜式、两点式方程的特例.点斜式方程是其他所有方程的基础，它是在经过两点的直线斜率公式的基础上，利用给定的点和斜率建立直线上任意一点所满足的代数关系.它一方面表示直线上的点满足这个关系式，另一方面表示满足这个关系式的点都在这条直线上.两点式方程是点斜式方程的“变式”表达或推论，两者之间的桥梁是直线的斜率.而一般式方程揭示了任意一个二元一次方程表示一条直线，任意一条直线都可以用一个二元一次方程表示.点斜式方程、两点式方程都可以化为一般式方程.
(4)育人价值：引导学生用代数的方法看待几何问题，鼓励学生畅想两者关系，拓展学生数学视野，增强学生对数学的学习兴趣。本单元是发展学生直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养很好的载体.
(5)教学重点：根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式).
二、单元目标及其解析
1.目标
（1）在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.
（2）理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式.
（3）能根据斜率判断两条直线平行或垂直.
（4）根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的三种形式：点斜式、两点式、一般式.
（5）提升学生的直观想象、数学运算和数学抽象等数学学科核心素养．
（6）通过直线方程的学习培养学生全面、系统地、周密地分析、讨论问题的能力.
2.目标解析
达成上述目标的标志是：
（1）正确理解直线的倾斜角是指理解平面直角坐标系中以x轴为基准，直线与轴相交时，x轴正方向与直线向上的方向所成的角；理解斜率概念是指直线的斜率就是直线倾斜角的正切值（除倾斜角为外）；
（2）能够由直线的倾斜角求出其对应直线的斜率，并根据已知直线的斜率求出其对应倾斜角；
（3）在具体问题情景中，根据直线上两点的坐标，利用直线的斜率公式，求出直线的斜率，并能够判断出直线倾斜角是锐角还是钝角．.
（4）理解直线的倾斜程度是由倾斜角或斜率来刻画的，进一步，对于两条平行直线应具有相同的倾斜程度；对于两条垂直直线，它们的方向向量是垂直的．
（5）解决平面几何问题时，知道先画出图形，得到直观想象，再选取适当的代数关系加以论证．
（6）能够初步感悟平面解析几何中蕴含的数形结合、划归转化、分类讨论、特殊与一般的数学思想.
（7）对于具体问题，会进行直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程之间的转化．
三、单元教学问题诊断分析
平面几何中，“两点确定一条直线”是没有“参照系”的，如何使学生在这一知识的基础上，顺利、自然地过渡到直角坐标系下用一个点和倾斜角确定一条直线，从而用解析几何的思想来研究一条直线，是比较困难的．因此，直角坐标系下，刻画直线的几何要素是倾斜角概念的形成，用坐标刻画倾斜角的方法是斜率，概念本质的认识也成为学生学习中的一个难点．
斜率概念的学习和建立以及过两点求直线的斜率是本节的难点，学生认为倾斜角已经可以刻画直线的方向，而且每一条直线的倾斜角是唯一的，但不是所有直线都有斜率。另外，为什么要用倾斜角的正切值定义斜率对学生也有一定的困难，教学中从计算具体的直线的倾斜角正切值入手，通过师生共同探究，从学习斜率的必要性、合理性、完备性三个角度进行突破．
对于两条直线平行的判定学生比较容易接受，教师应注重充分性和必要性两个方面的证明，在得出“斜率分别为k1，k2的两条直线l1，l2有”的结论后，教师应强调这个充要条件是在两条直线的斜率都存在的情况下成立的．这样学生在后面研究垂直关系就会意识到对特殊情况的讨论.
我们研究了斜率为k的直线的一个方向向量是（1，k），故而寻求两条直线的垂直关系的充要条件可以是它们的方向向量垂直，这一点与过去教材不同．
直线的两点式方程形式很美，但是不太好记忆.教学时不要求学生死记两点式方程的形式，而是加强理解，在理解的基础上记忆.
直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程都有明确的几何意义，都涉及确定直线位置的两个基本要素：两个点或一点及斜率.这些直线的方程，虽然形式不同，但是本质一致，它们都是对直线的代数刻画.在解决具体问题的时候，学生要根据题目条件及个人偏好灵活选择.
在学习完直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程之后，部分学生可能对这五种形式的适用范围和一般形式的掌握程度略低，导致相互转化时的准确性和速度略低.这方面教师在教学后学生练习讲解时要注意提醒。所以这两节的重点是选择恰当的直线方程形式，根据条件得到直线方程。
四、单元教学支持条件分析
为调动学生的学习兴趣，可以借助几何画板、微课、学案等形式。观察确定点的直线簇变化情况，理解确定直线的几何要素，提前布置课前学习任务，课上由学生分享、呈现，教师引导补充.为了加强学生直观感受，建议利用信息技术工具.
五、课时教学设计
第一课时教学设计
2.1.1　倾斜角与斜率
课时教学内容
直线的倾斜角、斜率的概念，过两点的直线的斜率公式.
课时教学目标
1.初步了解解析几何的产生及其意义，初步认识坐标法思想.
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念.
3.掌握过两点的直线的斜率公式.
教学重点与难点
1.教学重点：理解直线倾斜角和斜率的概念及其关系
2.教学难点：过两点的直线斜率的计算公式.
教学过程设计
1.课题引入
我们知道，平面直角坐标系中的点与有序实数对一一对应，那么平面中的图形和怎样的代数 对象对应呢？从本章开始的解析几何就要解决这个问题，把几何问题转化为代数问题，实现通过 代数运算来研究几何图形性质的目的.
问题1：确定一条直线位置的几何要素是什么？对于平面直角坐标系中的一条直线L，如何利用坐标系确定它的位置？
师生活动：教师引导学生回顾平面几何中的研究对象、研究方法的基础上，指岀本章要用坐标法对这些对象进行再研究，并说明坐标法与综合法的异同，特别要强调坐标法实现了对图形性 质的定量化研究.
设计意图：通过回顾，明确解析几何学的研究对象，使学生对坐标法形成初步印象，并引出本节的研究内容.
2.探究新知
问题2 如何表示直线的方向？
师生活动：学生独立思考并回答.学生的最常见的回答是“朝向哪里就是什么方向”.
追问：怎么样确定一条直线的朝向呢？
师生活动：教师引导学生，并给出相关结论。当直线 与 轴相交时，我们以 轴为基准， 轴正向与直线 向上的方向之间所成的角α叫做直线 的倾斜角
设计意图：引导学生在两点确定一条直线的基础上，认识到“一点和一个方向”也可以唯一确定一条直线，方向是直线的一个重要几何要素.
问题3 当直线 与 轴平行或重合时，其倾斜角大小为多少？直线的倾斜角的取值范围是什么？
师生活动：学生可能会存在对于平行x轴的直线倾斜角的疑问。同时在上述探究过程中，学生的第一反应是与y轴的夹角.教师要做好引导，说明方向与夹角之间的关系，两者都描述了直线的倾斜程度.
设计意图：让学生通过观察该直线，当直线 与 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为。并得出直线的倾斜角α的取值范围为 ≤α＜ ，并得出当直线的方向不同时，直线的倾斜程度不同，倾斜角不同.
问题4 直线 的倾斜角α与, ）, , ）有什么内在联系？
在平面直角坐标系中，设直线 的倾斜角为α
（1）已知直线 经过点O（0，0），P（，1），α与点O，P的坐标有什么关系？
（2）类似地，如果直线 经过点1，1）, ），α与点， 坐标又有什么关系？
师生活动：教师提岀问题，引导学生体会向量法的优势，以及为什么要用正切函数来建立角与给定两点坐标之间的联系（作为比较，必要时可以引导学生分析用正弦函数或余弦函数的弊端）.
追问：你能将上述方法进行一般性的推广吗？
师生活动：学生通过独立思考，将问题推广到一般情形，并自主探究解答.当的方向不同时，教师要引导学生讨论倾斜角与两点坐标的关系，得到计算公式后追问下面的问题.
问题5 当直线与 轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？
师生活动：学生通过上述问题四得研究，通过相同的方法继续探究是否上述式子成立.
设计意图：通过对特殊问题一般化的抽象得到倾斜角的正切值，即斜率的计算公式，并通过 师生对该公式意义的分析，发现它正是我们寻求的刻画直线方向的代数表达.这种形式能直接参 与代数运算，实现用代数方法处理几何问题的目的.
结论 直线 的倾斜角α与直线 上的两点, ）, , ）（ ≠ ）的坐标有如下关系：
问题6当直线的倾斜角变化时，直线的斜率如何变化？当直线的倾斜角是0°或90°时，直线的斜率是多少？
师生活动：引导学生通过正切函数的概念以及单调性回答，可以画出正切函数的图象，帮助 学生理解其中的变化情况和特殊点的取值.
设计意图：结合正切函数的概念及其单调性，帮助学生认识随着倾斜角的变化，斜率的变化情况，理解其中斜率不存在的情况，使得学生对倾斜角和斜率的概念有更清晰的认识.加深对数形结合得理解.
问题7直线的方向向量与斜率 有什么关系？
师生活动：引导学生通过向量解决此类问题并建立起直线的方向向量、倾斜角及斜率之间的关系。
=（ - ， - ）
当≠ 时，直线与 轴不垂直，其一个方向向量为
=（1， ）
因此，若直线 的斜率为 ，它的一个方向向量的坐标为（），则
=（ - ， - ）
当 时，直线与 轴垂直，其一个方向向量为（0，1）
设计意图：结合方向向量，帮助学生认识倾斜角、斜率及方向向量三者之间的关系，特别是理解其中斜率不存在的情况，使得学生对倾斜角和斜率的概念有更清晰的认识.加深对数形结合得理解.
3.巩固应用
例 1 如图 2,已知 A (3, 2), B (-4, 1), C (0, -1), 求直线AB, BC, CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.
师生活动：例1由学生自己完成，可以请一位同学上讲台板书解题过程；思考题为备选题, 视学生学情而定，可以师生共同分析完成.
设计意图：通过例1帮助学生巩固掌握斜率公式，熟悉斜率大小与倾斜角的关系.
4.课堂小结
本节课，我们在平面直角坐标系中，讨论了确定直线位置的几何要素，即两点确定一条直线以及一点和一个方向确定一条直线.并从形和数的角度利用倾斜角和斜率来刻画直线的倾斜程度，即表示了直线的方向，并探讨了倾斜角、斜率与直线上两点坐标的关系，探讨了直线的方向向量与斜率的关系.在此过程中体会到了数形结合数学思想以及将几何问题转化为代数问题的化归转化思想.
师生活动：教师提岀问题，先由学生梳理，其他同学补充，师生再一起整理岀本节课研究问题的基本流程框图.教师再结合框图，总结本节课蕴含的主要数学思想方法：类比联想、分类讨论、坐标法、数形结合思想. 设计意图：通过对本节课所学知识，特别是研究过程的梳理，培养学生反思与整理的意识与习惯，让学生了解解析几何的起源与坐标法思想，对倾斜角、斜率两个概念的发现——探究的过程与方法有清晰的认识.
5.布置作业
教科书习题2.1第1, 2, 3, 4, 7, 8题.
6.目标检测设计
1.已知直线l的斜率的绝对值为1,则直线l的倾斜角为 (　　)　　
A.45° B.135° C.45°或135° D.以上均不正确
2.若直线l向上的方向与y轴的正方向成30°角,则直线l的倾斜角为 (　　)
A.30° B.60° C.30°或150° D.60°或120°
3.若过点M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率等于1,则m的值为 (　　)
A.1 B.4 C.1或3 D.1或4