第一章空间向量与立体几何 单元检测-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（含答案）
文档属性
| 名称 | 第一章空间向量与立体几何 单元检测-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-02-14 21:47:04 | ||
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文档简介
空间向量与立体几何单元检测
一、单选题
1．给出下列命题：
①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆；
②若空间向量满足，则；
③在正方体中，必有 ；
④若空间向量 满足，，则；
⑤空间中任意两个单位向量必相等；其中假命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是（ ）
A． B． C． D．
3．棱长为的正四面体中，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．在三维空间中，三个非零向量满足，则是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．直角或锐角三角形
5．如图，在三棱锥中，点分别在棱则（ ）
A． B．
C． D．
6．若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
7．已知向量，且与互相平行，则的值（ ）
A． B． C． D．2
8．如图，在正方体中，是底面正方形的中心，点为的中点，点在上，则直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．若构成空间的一个基底，则下列说法中正确的是（ ）
A．存在，使得
B．也构成空间的一个基底
C．若，则直线与异面
D．若，则，，，四点共面
10．如图，在正方体中，分别是的中点，分别在线段上，且满足，，设，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，为面对角线上一个动点，则（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．线段上存在点，使平面//平面
C．当时，直线与平面所成角的正弦值为
D．三棱锥的外接球半径的最大值为
12．已知空间向量，则下列选项中正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
三、填空题
13．已知三棱锥，点为平面上的一点，且，则m=________.
14．已知空间向量，则使向量与的夹角为钝角的实数的取值范围是____________．
15．如图，已知在一个二面角的棱上有两个点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm，CD=8cm.则这个二面角的余弦值为_____________.
16．如图，在直三棱柱中，是边长为2的正三角形，，M为的中点，P为线段上的动点，则下列说法正确的是_______（填写序号）
①平面
②三棱锥的体积的最大值为
③存在点P，使得与平面所成的角为
④存在点P，使得与垂直
四、解答题
17．如图所示，在平行六面体中，M、N分别是、BC的中点．设，，．
(1)已知P是的中点，用、、表示、、；
(2)已知P在线段上，且，用、、表示．
18．如图，在平行六面体中，，且，
(1)试用表示向量.
(2)若，，，求的长.
19．（1）已知向量.
①计算和
②求.
（2）已知向量.
①若，求实数；
②若，求实数.
20．如图，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，，点E在CC1上且．
(1)求平面BED的一个法向量；
(2)证明：A1C⊥平面BED．
21．在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面为中点.
(1)如果与平面所成的线面角为，求证：平面.
(2)当与平面所成角的正弦值最大时，求三棱锥的体积.
22．如图，在直四棱柱中，底面是梯形，且，E是棱的中点．
(1)求证：；
(2)求点到平面的距离；
(3)求二面角的余弦值．
答案
1．C
2．C
3．A
4．A
5．C
6．C
7．C
8．D
9．BCD
10．AD
11．ACD
12．ABD
13．
14．
15．
16．②③
17．（1）因为M、N、P分别是、BC、的中点
所以，；
；
；
（2）因为，所以
所以．
18．（1）
（2）
即，∴.
19．（1）①向量，
，，
②，即
，，
（2）因为向量，
，
①，
，解得，
②，
，解得.
20．（1）如图所示：
以为坐标原点，射线分别为轴的
正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系：；
依题知，，，，
，，
则有，，，
设平面BED的一个法向量为：，
则有，即，
令，解得：，，
故平面BED的一个法向量为：；
（2）由（1）知，
平面BED的一个法向量为：，
又，
所以与平面BED的一个法向量共线，
即可证明：A1C⊥平面BED.
21．（1）证明：平面，平面，
为与平面平面所成的线面角，
∵与平面所成的线面角为
，
∵为的中点，
，
∵底面是边长为的正方形，即
∵平面，
平面，
又∵平面，
∴，
∵平面，
平面
（2）解：以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图空间直角坐标系，
设，则，
设平面的法向量为，
则，即，
，取，得，
与平面所成角的正弦值为
，
当且仅当，即时等号成立.
，
三棱锥的体积.
22．（1）设，
∴，∵，∴，
∴，
∴，又
∴，得，得，
在直四棱柱中，，∴．
（2）以为原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
．
设平面的法向量为，∵，
∴，∴，
令，则，得．
，求点到平面的距离．
（3）设平面的法向量为．
∵，∴，∴，
令，则，得．
又设平面的法向量为，∵，
∴,∴，
令，则，得．
，
∵二面角的平面角是钝角，
∴二面角的余弦值为．
一、单选题
1．给出下列命题：
①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆；
②若空间向量满足，则；
③在正方体中，必有 ；
④若空间向量 满足，，则；
⑤空间中任意两个单位向量必相等；其中假命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是（ ）
A． B． C． D．
3．棱长为的正四面体中，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．在三维空间中，三个非零向量满足，则是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．直角或锐角三角形
5．如图，在三棱锥中，点分别在棱则（ ）
A． B．
C． D．
6．若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
7．已知向量，且与互相平行，则的值（ ）
A． B． C． D．2
8．如图，在正方体中，是底面正方形的中心，点为的中点，点在上，则直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．若构成空间的一个基底，则下列说法中正确的是（ ）
A．存在，使得
B．也构成空间的一个基底
C．若，则直线与异面
D．若，则，，，四点共面
10．如图，在正方体中，分别是的中点，分别在线段上，且满足，，设，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，为面对角线上一个动点，则（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．线段上存在点，使平面//平面
C．当时，直线与平面所成角的正弦值为
D．三棱锥的外接球半径的最大值为
12．已知空间向量，则下列选项中正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
三、填空题
13．已知三棱锥，点为平面上的一点，且，则m=________.
14．已知空间向量，则使向量与的夹角为钝角的实数的取值范围是____________．
15．如图，已知在一个二面角的棱上有两个点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm，CD=8cm.则这个二面角的余弦值为_____________.
16．如图，在直三棱柱中，是边长为2的正三角形，，M为的中点，P为线段上的动点，则下列说法正确的是_______（填写序号）
①平面
②三棱锥的体积的最大值为
③存在点P，使得与平面所成的角为
④存在点P，使得与垂直
四、解答题
17．如图所示，在平行六面体中，M、N分别是、BC的中点．设，，．
(1)已知P是的中点，用、、表示、、；
(2)已知P在线段上，且，用、、表示．
18．如图，在平行六面体中，，且，
(1)试用表示向量.
(2)若，，，求的长.
19．（1）已知向量.
①计算和
②求.
（2）已知向量.
①若，求实数；
②若，求实数.
20．如图，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，，点E在CC1上且．
(1)求平面BED的一个法向量；
(2)证明：A1C⊥平面BED．
21．在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面为中点.
(1)如果与平面所成的线面角为，求证：平面.
(2)当与平面所成角的正弦值最大时，求三棱锥的体积.
22．如图，在直四棱柱中，底面是梯形，且，E是棱的中点．
(1)求证：；
(2)求点到平面的距离；
(3)求二面角的余弦值．
答案
1．C
2．C
3．A
4．A
5．C
6．C
7．C
8．D
9．BCD
10．AD
11．ACD
12．ABD
13．
14．
15．
16．②③
17．（1）因为M、N、P分别是、BC、的中点
所以，；
；
；
（2）因为，所以
所以．
18．（1）
（2）
即，∴.
19．（1）①向量，
，，
②，即
，，
（2）因为向量，
，
①，
，解得，
②，
，解得.
20．（1）如图所示：
以为坐标原点，射线分别为轴的
正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系：；
依题知，，，，
，，
则有，，，
设平面BED的一个法向量为：，
则有，即，
令，解得：，，
故平面BED的一个法向量为：；
（2）由（1）知，
平面BED的一个法向量为：，
又，
所以与平面BED的一个法向量共线，
即可证明：A1C⊥平面BED.
21．（1）证明：平面，平面，
为与平面平面所成的线面角，
∵与平面所成的线面角为
，
∵为的中点，
，
∵底面是边长为的正方形，即
∵平面，
平面，
又∵平面，
∴，
∵平面，
平面
（2）解：以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图空间直角坐标系，
设，则，
设平面的法向量为，
则，即，
，取，得，
与平面所成角的正弦值为
，
当且仅当，即时等号成立.
，
三棱锥的体积.
22．（1）设，
∴，∵，∴，
∴，
∴，又
∴，得，得，
在直四棱柱中，，∴．
（2）以为原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
．
设平面的法向量为，∵，
∴，∴，
令，则，得．
，求点到平面的距离．
（3）设平面的法向量为．
∵，∴，∴，
令，则，得．
又设平面的法向量为，∵，
∴,∴，
令，则，得．
，
∵二面角的平面角是钝角，
∴二面角的余弦值为．
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