2023 年春高三入学考试数学参考答案（文科）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D B A B B B C A B C D C
1．【详解】 集合 A x | x 1 ，B x | log2 x 1 x | 0 x 2 ， A B x | 0 x 1 ，故 A 错
误，D 正确； A B x | x 2 ，故 B，C 错误．故选：D．
1 i 2
2 z 1 i 2i．【详解】因为复数 z 对应点的坐标为(1,-1)，所以 z 1 i，所以 i .1 i 1 i 1 i 1 i 2
故选：B.
2 x
3．【详解】因为 f x 1 x sin x
e 1
x sin x，定义域为 R，又 1 e e 1
x x
f e 1 e 1 x x sin x x sinx f x e 1 e 1 ，所以 f x 是偶函数，图象关于
y轴对称，故排除 CD，
x
又当 x 0,π e 1时， f x 0
ex
0,sin x 0， ，故排除 B.故选：A.
1
4．【详解】“金、石”为打击乐器共 2 种，“匏、竹”为吹奏乐器共 2 种，“丝”为弹拨乐器，共 1 种，5
选 2 的基本事件有（金、石）（金、匏）（金、竹）（金、丝）（石、匏）（石、竹）（石、丝）（匏、竹）
（匏、丝）（竹、丝），共 10 种情况，其中恰安排了 1 个课程为吹奏乐器、1 个课程为打击乐器的基
4 2
本事件为（金、匏）（金、竹）（石、匏）（石、竹），共 4 种，故所求概率为 .故选：B.
10 5
5．【详解】 ln
a
0 a a，则 1，当 a 2,b 1时，满足 1，但此时 ln a, ln b无意义，故充分性不
b b b
a a
成立，若 ln a lnb，则 lna lnb ln 0，故必要性成立，则“ ln 0 ”是“ ln a lnb ”的必要不充
b b
分条件.故选：B
6
．【详解】因为 a //b ，所以1 4 cos 2 sin (3sin 2)，1 4 1 2sin2 3sin2 2sin ，
2 3 35sin 2sin 3 0，所以 sin 或sin 1，又 0, ，所以 sin ，5 2 5
3
tan 3 tan 1
1
所以
，所以 tan 4
1
3 ，故选：B.4 4 1 tan 1 7
4
1 3 1
7 ．【详解】 f x sinx sinx 3cosx 1 cos 2x sin 2x sin 2x ，2 2 6 2
1 1
将其图象向左平移 个单位得到 g x sin 2 x sin 2x 的图象；12 12 6 2 3 2
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g x T 2 对 A： 的最小正周期 ，故 A 错误；
2
3
对 B：当 x , 时， 2x
2 ,
10
，此时 g x 不是单调函数，故 B 错误； 2 2 3 3 3
g sin 1 1对 C：
为函数最小值，故 x 是 g x 的对称轴，C 正确；
12 2 2 2 12
g 3 1 对 D： 0
，故 ,0
2 不是
g x 的对称中心，D 错误.故选：C.
2 2 2
6
f (0) 1.5 b 1.5
8 1 3．【详解】由题意可得, ,则 ,解得b 1,k 1 ,所以 f (x)
6
x 1 , x N，
f (2) 4.5 6
2k b 4.5
1 3
1 3
6
由函数的解析式可得, f (x)在[0, )上单调递增,且 f (3) 5.4 ,故该果树的高度不低于5.4m ,
1 3 2
至少需要 3 年.故选：A.
9．【详解】由线面平行的性质定理可知，A正确；若m∥ ,m∥ n，则 n∥ 或n ，即 B错误；
设 , 的法向量分别为 a,b，若 n，则 n a,n b，又 , ，则 a∥ ，b∥ ，所
以 n ，即 C正确；若m ,m ，则 ∥ ，又 ∥ ，则 ∥ ，即 D正确.故选：B
10．【详解】如图，过点 B 作 BD 垂直准线 x 2于点 D，则由抛物线定义可知： | BF | | BD | 3，
设直线 AB 为 x my 4， A x1, y1 ， B x2 , y2 ，C 2, yC ，不妨设m 0，则 y1 0, y2 0，
所以 x2 2 3 2，解得： x2 1，则 y2 8x2 8，解得： y2 2 2，则 B 1, 2 2 ，
3 2 3 2
所以 2 2m 4 1，解得：m ，则直线 AB 为 x y 4，
4 4
所以当 x 2 3 2时，即 y 4 2，解得：yC 4 2，则C 2, 4 2 ，4
联立 x my 4与 y2 8x得： y2 8my 32 0，则 y1y2 32，
S BC y y 2 2 1
所以 y1 8 2，其中
BCF 2 C .故选：C
S ACF AC y1 yC 12 2 6
11．【详解】依题意得, 以线段 F1F2 为直径的圆的方程为 x2 y2 c2 , 双曲线 C 的一条渐近线的
b
b y x, x a, x a,
方程为 y x . 由 a 以及 a2 b2 c2 ,解得 或 不妨取 M a,b , 则a x2 y2 c2 , y b y b.
N a, b . 因为 A a,0 , MAN 135 b b, 所以 MAO 45 , 又 tan MAO , 所以 1 ,2a 2a
b2
所以 b 2a , 所以该双曲线的离心率 e 1 2 5 .故选：D.a
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f (x) x ln x f (x) 1 1 x 112．【详解】令函数 ，则 ，
x x
当 x 1时， f (x) 0，函数 f x 单调递增，当 0 x 1时， f x 0，函数 f x 单调递减，
所以 f (5) f (4) f (3)，所以5 ln 5 4 ln 4 3 ln 3，
a b c
因为 a 5 ln ln a ln5 0，b 4 ln lnb ln 4 0，c 3 ln ln c ln3 0，
5 4 3
所以 a ln a 5 ln 5，b ln b 4 ln 4，c ln c 3 ln3，
所以 a ln a b lnb c ln c，即 f (a) f (b) f (c)，
因为 a 5 ln a ln5 0，可得 a 5，又因为 f (a) f (5)，则 0 a 1，
同理 f (b) f (4)， f (c) f (3)，所以 0 b 1，0 c 1，
因为当 0 x 1时， f x 0，函数 f x 单调递减，所以 c b a．故选：C．
f 2021 f 1010 1 f 1 13．【答案】 1【详解】 f
1 sin π 1.故答案为： 1
2 2 2 2 2
14．【答案】 , 4 0, 【解析】∵ y (x a)ex，∴ y (x 1 a)ex，
设切点为 x0 , y0 ,则 y0 x0 a ex0 ,切线斜率 k x0 1 a ex0 ,
切线方程为： y x0 a ex0 x 1 a ex00 x x0 ,
x x 2
∵切线过原点，∴ x 0 00 a e x0 1 a e x0 ,整理得： x0 ax0 a 0 ,
∵切线有两条，∴ a2 4a 0 ,解得 a < -4或a 0 ,∴ a的取值范围是 , 4 0, ,
故答案为： , 4 0,
15．【答案】 24 【详解】解：由题意，画出示意图如图：则正方形 ABCD面积 S=4，
1 1 16
∵ 四棱锥 P﹣ABCD的体积V S PA 4 PA ，∴ PA 4，
3 3 3
AC 2AB 2 2，PC AC2 AP2 2 6
1
球 O的半径 R PC 62
球 O的表面积： S 4 R2 24 .故答案为： 24
16．【详解】①：由 l2：mx y m 3 0 m(x 1) (3 y) 0，
x 1 0
有 x 1，y 3，所以直线过的定点为 (1，3)，故①正确；
3 y 0
②：由圆的标准方程可得圆心为C (2，4)，半径 r 3，直线 l2过的定点为B(1，3)，当 l2 CB时所得
弦长最短，则 kl k 12 lCM ，又 kl m， k2 l 1CM ，所以m 1，得
2
l2：x y 4 0，则圆心到直线 l2的距离为 d = 2，所以弦长为：2 2 r
2 -d 2 = 2，故②正确；
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③：当m 0时， l1：x 0，l2：y 3，则点 P(0，3)，此时点 P 在圆 C 外；
x
当m 0时，由直线 l1得m ly ，代入直线 2中得点 P 的方程为
N (x 1)2 (y 3)2 5 N (1 3圆 ： ) 10，得 ， ，半径为 ，
2 2 2 2 2 R= 2
34 10
所以圆心距 NC= 3 r R，所以两圆相交.故③正确；
2 2
④：由 l1：x my 0 A(0，0)，当m 0时， l1：x 0，l2：y 3，有 l1 l2，
1
当m 0时， kl ， kl m2 ，则 k k1 m l1 l
1
2 ，所以 l1 l2，
又点 P 是两直线的交点，所以 PA PB PA 2 PB 2 AB 2，所以 =10，
设 ABP ，则 PA 10 sin ，PB 10 cos ，因为 PA
0，PB 0，所以 [0， ]，
2
所以 PA PB 10(sin cos ) 2 5 sin(
) 2 5 ，故④错误.故选：①②③.
4
17．【答案】(1)证明见解析；(2) Sn 2ln n 1
【详解】（1）法 1：由 nan 1 n 1 an n n 1 ，
a
两边同除以 n n 1 得， n 1 a n 1 a a， n 1 n 1（ n 1）为常数，
n 1 n n 1 n
a a
∴数列 n 为等差数列，首项 1 1，公差为 1，
n 1
na n 1法 2：由 n 1 n 1 an n n 1 得an 1 an n 1 ，n
a
∴ n 1
a
n
a a
n 1 n 1（ n 1）为常数，
n 1 n n n
a a
∴数列 n 为等差数列，首项 1 1，公差为 1.
n 1
a
（2）由 n
a
1 n 1 1 n a n2，∴
n 1 n
，
1 b ln an 1 ln n 1
2
法 ： n a 2
，
n n
2 2 n 1 2 2 3 n 1
则 S ln 2 ln 3 ln 2ln 2ln n 1 .n 12 22 n2 1 2 n
2
法 2：b ln an 1
n 1
n ln
2 ln n 1
2 lnn 2，
an n
2 2
则 Sn ln 2 ln1 ln32 ln 22 2 ln n 1 ln n
2
ln n 1
2
ln12 2ln n 1 .
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18．【解析】(1)由正弦定理知： 2sin BcosC 2sin A sinC
又： sin A sin B C sinB cosC cosB sinC，代入上式可得： 2cosBsinC sinC 0
C 0, π 1 2π，则 sinC 0，故有： cos B ，又 B 0, π ，则 B
2 3
2π
故 B的大小为：
3
(2)若选①：由 BD 平分 ABC得： S△ABC S△ABD S△BCD
1 ac sin 2π 1 1 c sin π 1则有： 1 a sin
π
，即 ac a c
2 3 2 3 2 3
在 ABC 2 2 2
2π
中，由余弦定理可得：b a c 2ac cos
3
ac a c 2
又b 2 3，则有： a2 c2 ac 12，联立 a2 ，可得： ac ac 12 0， c
2 ac 12
解得： ac 4 1 2π 1 3（ ac 3舍去），故 S△ABC ac sin 4 32 3 2 2
1 2 1 2 1 2 2
若选② ：可得： BD
2
BA BC ， BD BA BC BA 2BA BC BC
4 4
1 1 c2 2ac cos
2π
a2 ，可得： 24 3 a c
2 ac 4
ABC b2 a2 2 2π在 中，由余弦定理可得： c 2ac cos ，即
3 a
2 c2 ac 12
a2 c2 ac 4
联立 2 2 ，解得：ac 4 S
1
，故 △ABC ac sin
2π 1
4 3 3 .
a c ac 12 2 3 2 2
19．【解析】（1）记 x x 12， y y 86，将统计的最后三组数据进行处理得到下表，
x -1 0 1
y
-1 0 4
x 1 0 1 0 y 1 0 4 1 b 1 4 3 0 1 5 5此时 ， ， ， a y b x 1 0 1，
3 3 1 1 3 0 2 2
所以 y 86
5
(x 12) 1 5 ，故 y x 57；
2 2
（2）当 x 8时， y 77，79 77 2 2，当 x 10时， y 82，82 81 1 2，
所以（1）中得到的线性回归方程是可靠的；
（3）当 x 9时， y 79.5，此时发芽率 n% 79.5%，即 n 79.5．
因为该农场有土地 10万公顷，所以估计该农场种植小麦的收益为79.5 150 10 119250（万元）．
第 5 页 共 8 页
1 2 2 3 1
20 x y．【解析】（1）由题意得c 3 .又点C( 3, )在椭圆M : 12 2 1上，所以 2 2 ，2 a b a 4b
x2
且 a2 b2 3，所以 a 2，b 1，故椭圆M 的方程为 y2 1.
4
2 2
设点 P(x, y)，由 A( 3,0)， B( 3,0)得PA PB x 3x x2 3 y2 x2 3 1 2 .
4 4
x [ 2, 2] 又 ，所以PA PB 2,1 .
（2）设过点 B且斜率为 k的直线方程为 y k(x 3)，
联立椭圆M 方程得 (1 4k 2 )x2 8 3k 2x 12k 2 4 0 .
2 2
设两点 M (x1, y1) N (x2 , y2 ) x x
8 3k x x 12k 4，故 1 2 ， .1 4k2 1 2 1 4k 2
y1
1 y 12 y
1
1x2 x1y2 3 y1 y2 x1 x2 3
因为 k1 k 22 2 2 ，x1 3 x2 3 x1x2 3 x1 x2 3
其中 y1x2 x1y2 2kx1x2 3k x x
8k
2 3k1 2 ， ，1 4k 2 y1 y2 1 4k 2
8k 6k 4 3k 2
2 3
故 k k 1 4k 1 4k
2 1 4k 2
1 2 2 2k 3，所以 k k 2k 3为定值．12k 4 24k 2 1 2
1 4k 2
3
1 4k 2
21．【解析】（1）由题意知： f x 定义域为 0, ， f x ln x m 1，
x
令 g x f x ln x m 1 g x 1 m x m ，则 2 x x x x2 ；
当m 0时， g x 0恒成立， f x 在 0, 上单调递增；
当m 0时，若 x 0,m ， g x 0；若 x m, ， g x 0；
f x 在 0,m 上单调递减，在 m, 上单调递增；
综上所述：当m 0时， f x 在 0, 上单调递增；
当m 0时， f x 在 0,m 上单调递减，在 m, 上单调递增.
（2）由（1）知： ln x
m m m m
1 2对 x 1恒成立，即 ln x 1 0对 x 1恒成立；
x 3 x 3
令 h x ln x m m 1 1 m x m，则 h x ；
x 3 x x2 x2
①当m 0且m Z时， h x 0， h x 在 1, 上单调递增，
h x 2m 3 h 1 1 0，解得：m （舍）；
3 2
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1 5
②当0 m 1且m Z，即m 1时， h e 06 ，不合题意；e
③当 m 1且m Z时，若 x 1,m ，h x 0；若 x m, ， h x 0；
h x 1,m m在 上单调递减，在 m, 上单调递增， h x h m lnm 0min ；3
令 F m lnm m 1 1 3 m ，则 F m ，
3 m 3 3m
当m 1,3 时， F m 0；当m 3, 时， F m 0；
F m 在 1,3 上单调递增，在 3, 上单调递减；
2
又 F 2 ln 2 0，F 3 ln3 1 0 F 4 ln 4 4， 2ln 2 4 0， F 5 ln5 5 0，
3 3 3 3
满足 F m 0且m 1，m Z的所有整数为 2,3,4；
综上所述：m的所有值为2,3,4 .
x 2
3
t
22．【解析】（1）将直线 l 的参数方程 2 中的参数 t 消去，得 x 3y 2 0；
1
y t 2
2 6 即为 2 22 ( sin )
2 6，
2 sin
把 2 x2 y2， sin y 2 2 2代入，得 2 x y y 6，
x2 y2
即曲线 C 的直角坐标方程为 1．
3 2
2 2
所以直线 l： x 3y 2 0 C x y， ： 1；
3 2
x 3 2 t
（2）易知点M 2,0 在直线 l上，把直线 l 的参数方程 2 （t 为参数），
1
y t 2
x2 y2
代入 1，整理得9t2 16 3t 8 0． (16 3)2 4 9 8 0，
3 2
设直线 l 与曲线 C 的交点 A，B 对应的参数分别为 t1， t2 ，
16 3 8
则 t t ， t1t2 ，得 t1, t1 2 2同号，9 9
1 1 1 1 t1 t2 t t
所以 1 2 2 3MA MB t1 t 2 t1t 2 t t
．
1 2
第 7 页 共 8 页
23．【解析】（1）∵ a b 2，则 b = 2 - a > 0，可得0 a 2，
2
2
∴ a 2 b 1 2 a 2 2 3 a 2 2 a
1 25 ，
2 2
2
y 2 a 1 25
1
又∵ 开口向上，对称轴为 a ，
2 2 2
a 1
2
2 a 1 25 25
2
∴当 时， ，当 a 2 时， 2 a 1 25 17 ，
2 2 2 2 2 2
25
故 a 2 2 b 1 2 17 .
2
2 2 2（2）∵ a 3 b 3 2 a 3 b 3 2 a b 6 16，
当且仅当 a 3 b 3，即 a b 1时等号成立；
∴ a 3 b 3 4，
又∵ 3x m 1 3x m 1 3x m 1 3x m 1 2 m 1 ，
当且仅当 3x m 1 3x m 1 0时等号成立，
∴ 2 m 1 4，解得m 1或m 3，
故 m的取值范围为 , 3 1, .
第 8 页 共 8 页秘密★启用前【考试时间：2023 年 2 月 7 日 15：00——17：00】
2023 年春高三入学考试数学试题（文科）
【说明】本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题卡内，第Ⅱ卷的答案
或解答写在答题卷上．共 150分，考试时间 120分钟．
第Ⅰ卷(选择题，共 60分)
一、单项选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5分，共 60 分．)
1．已知集合 A x | x 1 ， B x | log2 x 1 ，则（ ）
A． A B x | x 1 B． A B R
C． AUB x | x 1 D． A B x | 0 x 1
z
2．在复平面内，复数 z对应的点为 1, 1 ，则 （ ）
1 i
A．i B．－i C．2i D．－2i
3．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直观，形无数时难入微；数形结合百般好，隔离分
2
家万事休”．函数 f x (1 x )sin x的图象大致形状是（ ）1 e
A． B．
C． D．
4．中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最
早见于《周礼·春官·大师》，八音分为“金、石、土、革、丝、木、匏、竹”，其中“金、石、木、
革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器.某同学计划从“金、石、匏、竹、
丝 5种课程中选 2种作兴趣班课程进行学习，则恰安排了 1种课程为吹奏乐器、1种课程为打
击乐器的概率为（ ）
3 2 3
A 2． B． C． D．
4 5 5 3
5．设 a,b R
a
，则“ ln 0 ”是“ ln a lnb ”的（ ）
b
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
第 1 页 共 4 页
6．已知 a sin ,1 4cos 2 ，b 1,3sin 2 (0, ) ， ，若
2 a //b
，则 tan( ) （ ）
4
1 1 2 2
A． B． C． D．
7 7 7 7
7．若函数 f (x) sinx(sinx 3cosx)的图象向左平移 个单位，得到函数 g(x)的图象，则下列关于12
g(x)叙述正确的是（ ）
3
A． g(x)的最小正周期为 2 B． g(x)在[ , ]内单调递增
2 2
C． g(x)
的图象关于 x 对称 D． g(x)的图象关于 ( ,0)对称
12 2
8．美国生物学家和人口统计学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称
P
为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为 f (x) kx b P 0,a 1,k 0 的1 a
f (x) 6形式．已知 kx b x N 描述的是一种果树的高度随着栽种时间 x（单位：年）变化的1 3
规律，若刚栽种（ x 0）时该果树的高为 1.5m，经过 2年，该果树的高为 4.5m，则该果树的
高度不低于 5.4m，至少需要（ ）
A．3年 B．4年 C．5年 D．6年
9．已知m、 n是两条不同的直线， 、 、 是三个不同的平面.下列说法中不正确的是（ ）
A．若m// ，m ， n，则m//n B．若m//n，m// ，则 n//
C．若 n， ， ，则 n D．若m ，m ， // ，则 //
10．设抛物线E : y2 8x的焦点为 F，过点M (4,0)的直线与 E相交于 A，B两点，与 E的准线相交
S
C B AC | BF | 3 BCF △ACF BCF于点 ，点 在线段 上， ，则△ 与 的面积之比 S （ ） ACF
1 1 1 1
A． B． C． D．
4 5 6 7
11 F F x
2 y2
．设 1， 2分别为双曲线C： 2 2 1 a 0,b 0 的左 右焦点，A为a b
双曲线的左顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线的某条渐近线于M ，N 两
点，且 MAN 135 ，（如图），则该双曲线的离心率为（ ）
A． 2 B． 3 C．2 D． 5
a b c
12．已知a 5 ln 0，b 4 ln 0， c 3 ln 0，则 a，b，c的大小关系是（ ）
5 4 3
A．b c a B． a c b C．a b c D． c b a
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第Ⅱ卷(非选择题，共 90分)
二、填空题(本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分．)
sin πx, x 0
13．已知函数 f (x)
f ( x),0 x 1，则 f (
2021) ________．
2
f (x 2), x 1
14．若曲线 y (x a)ex有两条过坐标原点的切线，则实数 a的取值范围是________________．
15．已知四棱锥 P﹣ABCD的顶点都在球 O的球面上，底面 ABCD是边长为 2的正方形，且 PA⊥平
16
面 ABCD.若四棱锥 P﹣ABCD的体积为 ，则球 O的表面积为___________.
3
16．设m R，过定点 A的动直线 l1 : x my 0，和过定点 B的动直线 l2 :mx y m 3 0交于点 P，
圆C : x 2 2 y 4 2 3，则下列说法正确的有__________.
①直线 l2过定点(1，3) ； ②直线 l2与圆 C相交最短弦长为 2；
③动点 P的曲线与圆 C相交； ④|PA|+|PB|最大值为 5．
三、解答题(本大题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
（一）必考题：共 60分．
17.（本小题满分 12分）已知数列 an 满足 a1 1,nan 1 (n 1)an n(n 1).
a
（Ⅰ）证明：数列 nn 为等差数列；
（Ⅱ）设数列 bn 满足b ln
an 1
n a ，求数列 bn 的前 n项和 Sn .n
18．（本小题满分 12分）在 ABC中，角 A，B，C的对边分别是 a，b，c，且 2b cosC 2a c．
（Ⅰ）求角 B的大小；
（Ⅱ）若b 2 3，D为 AC边上的一点， BD 1，且______，求 ABC的面积．
①BD是 B的平分线；②D为线段 AC的中点．（注：从①，②两个条件中任选一个，补充在上
面的横线上并作答，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）．
19．（本小题满分 12分）每年 10月是冬小麦最佳种植时间，但小麦的发芽会受到土壤、气候等多方
面因素的影响．某科技小组为了解昼夜温差的大小与小麦发芽的颗数之间的关系，在不同的温
差下统计了 100颗小麦种子的发芽数，得到了如下数据：
温差 x /℃ 8 10 11 12 13
发芽数 y /颗 79 81 85 86 90
（Ⅰ）请根据统计的最后三组数据，求出 y关于 x的线性回归方程 y b x a ；
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（Ⅱ）若由（Ⅰ）中的线性回归方程得到的估计值与前两组数据的实际值误差均不超过两颗，则认为
该线性回归方程是可靠的，试判断（Ⅰ）中得到的线性回归方程是否可靠；
（III）若 100颗小麦种子的发芽数为n颗，则记为n%的发芽率，当发芽率为n%时，平均每公顷地
的收益为 150n元，某农场有土地 10万公顷，小麦种植期间昼夜温差大约为 9℃，根据（Ⅰ）
中得到的线性回归方程估计该农场种植小麦所获得的收益．
n
xi x yi y
附：线性回归方程： y b x a ，其中b i 1 n ， a y b x．
x x 2i
i 1
20（．本小题满分 12分）如图.矩形 ABCD的长 AB 2 3，宽BC
1
，
2
2 2
以 A B为左右焦点的椭圆M : x y2 2 1恰好过 C D两点，点 Pa b
为椭圆M上的动点.
（Ⅰ）求椭圆M的方程，并求 PA PB的取值范围；
（Ⅱ）若过点 B且斜率为 k的直线交椭圆于M N两点（点 C与M N两点不重合），且直线 CM CN
的斜率分别为 k1、k2，试证明 k1 k2 2k为定值.
21．（本小题满分 12分）已知函数 f (x) (x m) ln x 2m (m R)， f (x)是 f (x)的导函数．
（Ⅰ）讨论 f x 的单调性；
m
（Ⅱ）是否存在m Z，使得 f x 2，对 x 1恒成立？若存在，请求出m的所有值；若不存
3
在，请说明理由．（参考数据： ln 2 0.69， ln 5 1.61）
（二）选考题：共 10分．请考生在第 22、23题中任选一题作答． 并用 2B铅笔将所选题号涂黑，
多涂、错涂、漏涂均不给分． 如果多做，则按所做的第一题计分．
22． (本小题满分 10分)[选修 4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系 xOy中，直线 l的参数方
x
3
2 t
程为 2 （t为参数），以坐标原点 O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
1
y t 2
C 2
6
的极坐标方程为 ．
2 sin2
（Ⅰ）求直线 l的普通方程及曲线 C的直角坐标方程；
1 1
（Ⅱ）已知点M (2,0)，若直线 l与曲线 C交于 A，B两点，求 MA MB 的值．
23． (本小题满分 10分)[选修 4-5：不等式选讲]已知 a 0，b 0，且 a b 2．
25 2 2
（Ⅰ）证明： a 2 b 1 17；
2
（Ⅱ）若不等式 3x m 1 3x m 1 a 3 b 3对任意 x R 恒成立，求m的取值范围．
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