14.4.3用频率直方图估计总体分布 教案

第7课时　用频率直方图估计总体分布
【教学目标】
1．结合实例，能用样本估计总体的取值规律．
2．能根据频率分布表和频率直方图观测数据的分布规律．
【教学过程】
一、问题情境
情境1：为了实现绿色发展，避免能源浪费，某市政府计划对居民用电采用阶梯收费的方法．为此，相关部门在该市随机调查了200户居民六月份的用电量(单位：kW·h)，以了解这个城市家庭用电的情况．
其频率直方图如图所示：
(根据前几课时的学习)为了设计较为合理的收费方法，需要做哪些工作？
答：抽样调查→分析样本数据→通过样本数据来估计全市居民用水量的分布情况．
上图中蕴含了哪些信息？请根据图表归纳居民月均用电量的分布规律．
(答案不唯一，如[80,160]内的数据较多等)
试查阅相关资料，了解阶梯电价产生的背景，以及居民阶梯电价的电量分档和电价确定等相关信息．
情境2：现在很多城市面临交通拥挤的状况，特别是上下班高峰期时堵车现象时有发生．城市交通管理部门需要根据不同时段的车流量制定相应的管理办法．如何了解一天中车流量的分布状况呢？
二、数学建构
假定根据选定的方案实施后已经得到如下数据：
日期 时间段 2日 7日 12日 18日 21日 25日 29日
0：00～1：00 23 76 45 37 58 16 28
1：00～2：00 15 53 24 42 36 38 49
2：00～3：00 5 21 18 32 27 22 7
3：00～4：00 13 9 16 7 22 19 6
4：00～5：00 58 47 33 5 29 49 33
5：00～6：00 129 177 203 111 155 165 223
6：00～7：00 234 327 297 189 332 478 376
7：00～8：00 847 905 786 546 853 769 695
8：00～9：00 632 602 572 412 517 588 666
9：00～10：00 456 524 389 356 438 537 495
10：00～11：00 443 532 478 444 510 473 533
11：00～12：00 556 621 498 568 645 539 678
12：00～13：00 439 322 403 545 552 453 489
13：00～14：00 632 689 599 637 742 599 655
14：00～15：00 237 305 277 203 311 276 347
15：00～16：00 378 403 321 299 415 178 321
16：00～17：00 478 555 393 388 451 279 439
17：00～18：00 732 810 733 684 767 769 822
18：00～19：00 656 698 736 596 693 711 673
19：00～ 20：00 579 621 602 557 562 493 592
20：00～21：00 483 563 521 511 466 461 399
21：00～22：00 221 198 295 254 179 310 265
22：00～23：00 115 89 67 32 123 154 179
23：00～24：00 76 87 48 19 88 121 33
如何根据这个数据样本分析一天中的车流状况呢？(参考情境1)
先用每一时段的车流量数据的平均数估计每个时间段的车流量，得到下表．
时段 0：00～ 1：00 1：00～ 2：00 2：00～ 3：00 3：00～ 4：00 4：00～ 5：00 5：00～ 6：00 6：00～ 7：00 7：00～ 8：00
频数 40 37 19 13 36 166 319 772
频率 0.0047 0.0043 0.0022 0.0015 0.0042 0.0194 0.0372 0.0901
时段 8：00～ 9：00 9：00～ 10：00 10：00～ 11：00 11：00～ 12：00 12：00～ 13：00 13：00～ 14：00 14：00～ 15：00 15：00～ 16：00
频数 570 456 488 586 458 650 279 331
频率 0.0665 0.0532 0.0570 0.0684 0.0535 0.0759 0.0326 0.0386
时段 16：00～ 17：00 17：00～ 18：00 18：00～ 19：00 19：00～ 20：00 20：00～ 21：00 21：00～ 22：00 22：00～ 23：00 23：00～ 24：00
频数 426 760 680 572 486 246 108 67
频率 0.0497 0.0887 0.0794 0.0668 0.0567 0.0287 0.0126 0.0078
(频数合计8565，由于取近似出现误差，频率合计0.9997.)
由此作出频率直方图：
从频率直方图中看出，该路段车流高峰分别为7：00～8：00和17：00～20：00，夜间车流量很小，从5：00起逐步增加．
根据统计结果，可以向相关部门提出怎样的建议？
如：单位错峰上下班、学校错峰上放学等．
三、数学运用
　我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准a(单位：t)，用水量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费．如果大部分居民的日常生活不受影响，那么标准a定为多少比较合理呢？
(1)为了较为合理地确定这个目标，需要做哪些工作？
(2)为了了解全市居民日常用水量的整体分布情况，应采用怎样的方法？[3]
解　(1)要了解全市居民日常用水量的分布情况，统计出大部分居民平均用水量．
(2)采用抽样调查的方式，通过分析样本数据来估计全市居民日常用水量的整体分布情况．
　(在例1的情境下)通过抽样调查，获得100位居民2020年的月均用水量(单位：t)如下：
3．1　2.5　2.0　2.0　1.5　1.0　1.6　1.8　1.9　1.6
3．4　2.6　2.2　2.2　1.5　1.2　0.2　0.4　0.3　0.4
3．2　2.7　2.3　2.1　1.6　1.2　3.7　1.5　0.5　3.8
3．3　2.8　2.3　2.2　1.7　1.3　3.6　1.7　0.6　4.1
3．2　2.9　2.4　2.3　1.8　1.4　3.5　1.9　0.8　4.3
3．0　2.9　2.4　2.4　1.9　1.3　1.4　1.8　0.7　2.0
2．5　2.8　2.3　2.3　1.8　1.3　1.3　1.6　0.9　2.3
2．6　2.7　2.4　2.1　1.7　1.4　1.2　1.5　0.5　2.4
2．5　2.6　2.3　2.1　1.6　1.0　1.0　1.7　0.8　2.4
2．8　2.5　2.2　2.0　1.5　1.0　1.2　1.8　0.6　2.2
(1)列出频率分布表．
(2)画出频率直方图．
(3)由图表可以得到哪些信息？
*(4)如果当地政府希望85%以上的居民每月的用水量不超出标准，根据频率分布表和频率直方图，你能对制定月用水量a提出建议吗？
[规范板书]　解　(1)频率分布表如下：
分组 频数累计 频数 频率
[0,0.5) 4 0.04
[0.5,1) 正 8 0.08
[1,1.5) 正 正 正 15 0.15
[1.5,2) 正 正 正 正 22 0.22
[2,2.5) 正 正 正 正 正 25 0.25
[2.5,3) 正 正 14 0.14
[3,3.5) 正 6 0.06
[3.5,4) 4 0.04
[4,4.5] 2 0.02
合计 100 1.00
(2) 频率直方图如图所示：
(3)①居民月均用水量的分布是“山峰”状的，而且是“单峰”的；
②大部分居民的月均用水量集中在一个中间值附近，只有少数居民的月均用水量很多或很少；
③居民月均用水量的分布有一定的对称性等．
(4) 由频率分布表知居民的月均用水量小于2.5的频率为0.74，小于3的频率为0.88，所以85%的用水量在[2.5,3)内．由0.74＋×0.14＝0.85，解得a≈2.89.
因此，月用水量a定为2.89t以上.
　一个农技站为了考察某种麦穗长的分布情况，在一块试验地里抽取了100个麦穗，量得长度(单位：cm)如下：
　6.5　6.4　6.7　5.8　5.9　5.9　5.2　4.0　5.4　4.6
　5.8　5.5　6.0　6.5　5.1　6.5　5.3　5.9　5.5　5.8
　6.2　5.4　5.0　5.0　6.8　6.0　5.0　5.7　6.0　5.5
　6.8　6.0　6.3　5.5　5.0　6.3　5.2　6.0　7.0　6.4
　6.4　5.8　5.9　5.7　6.8　6.6　6.0　6.4　5.7　7.4
　6.0　5.4　6.5　6.0　6.8　5.8　6.3　6.0　6.3　5.6
　5.3　6.4　5.7　6.7　6.2　5.6　6.0　6.7　6.7　6.0
　5.6　6.2　6.1　5.3　6.2　6.8　6.6　4.7　5.7　5.7
　5.8　5.3　7.0　6.0　6.0　5.9　5.4　6.0　5.2　6.0
　6.3　5.7　6.8　6.1　4.5　5.6　6.3　6.0　5.8　6.3
根据上面的数据列出频率分布表，绘出频率直方图，并用自己的语言描述一下这批麦穗长的情况．
[处理建议]　根据前几课时的内容，按照步骤绘制图表，并根据图表作出叙述．
解　具体步骤如下：
①计算极差：7.4－4.0＝3.4(cm)．
②决定组距与组数．
若取组距为0.3cm，由于＝11，需分成12组，组数合适．于是取定组距为0.3cm，组数为12.
③将数据分组．
使分点比数据多一位小数，并且把第1组的起点稍微减小一点，则所分的12个组可以是[3.95,4.25)，[4.25,4.55)，[4.55,4.85)，…，[7.25,7.55]．
④列频率分布表．
对各个组作频数累计，然后数频数，算频率，列频率分布表，具体如下：
分组 频数累计 频数 频率
[3.95,4.25) 1 0.01
[4.25,4.55) 1 0.01
[4.55,4.85) 2 0.02
[4.85,5.15) 正 5 0.05
[5.15,5.45) 正 正 11 0.11
[5.45,5.75) 正 正 正 15 0.15
[5.75,6.05) 正 正 正 正 正 28 0.28
[6.05,6.35) 正 正 13 0.13
[6.35,6.65) 正 正 11 0.11
[6.65,6.95) 正 正 10 0.10
[6.95,7.25) 2 0.02
[7.25,7.55] 1 0.01
合　　计 100 1
(5)频率直方图如图所示：
从图表中可以看出，绝大部分麦穗长集中在5.15～6.95，并且5.75～6.05占比最大．
　按照水果市场的需要等因素，水果种植户把某种成熟后的水果按其直径d(单位：mm)的长度分为不同等级．某商家计划从该种植户处购进一批这种水果销售．为了了解这种水果的质量等级情况，现随机抽取了100个这种水果，统计得到如下数据：
直径d [18,20) [20,22) [22,24) [24,26) [26,28]
等级 三级品 二级品 一级品 特级品 特级品
频数 1 m 29 n 7
用分层抽样的方法从其中的一级品和特级品中抽取6个，其中一级品2个．
(1)估计这批水果中特级品的比例；
(2)已知样本中这批水果不按等级混装的话20个约1kg，该种植户有20000kg这种水果待售，商家提出两种收购方案：
方案A：以6.5元/kg收购；
方案B：以级别分装收购，每袋20个，特级品8元/袋，一级品5元/袋，二级品4元/袋，三级品3元/袋．
选择哪种方案种植户的收益更高？请说明理由．
解　(1) 由题意得解得m＝12,n＝51，
所以特级品的频率为＝0.58，
可估计这批水果中特级品的比例为58%.
(2)选用方案A，种植户的收益为20000×6.5＝130000元；
选用方案B，由题意得种植户的收益为
20000×20××＝132000元．
因为132000＞130000，所以选择方案B，种植户的收益更高．
　某“双一流A类”大学就业部从该校2018年已就业的大学本科毕业生中随机抽取了100人进行问卷调查，调查中有一项是他们的月薪情况．调查发现，他们的月薪在人民币1.65万元到2.35万元之间，根据统计数据分组，得到如图所示的频率直方图．
(1)为感谢同学们对这项调查工作的支持，该校利用分层抽样的方法从样本的前两组中抽出6人，每一组各抽几人？
(2)同一组数据用该组区间的中点值作代表．
①求这100人月薪收入的样本平均数和样本方差s2；
②该校在某地区就业的2018届本科毕业生共50人，决定于2021年国庆长假期间举办一次同学联谊会，并收取一定的活动费用，有两种收费方案：
方案1：设Ω＝[－s－0.018,＋s＋0.018)，月薪落在区间Ω左侧的每人收取400元，月薪落在区间Ω内的每人收取600元，月薪落在区间Ω右侧的每人收取800元．
方案2：按每人一个月薪水的3%收取．
用该校就业部统计的这100人月薪收入的样本频率进行估算，哪一种收费方案能收到更多的费用？
参考数据：≈13.2.
解　(1)第一组有0.2×0.1×100＝2人，第二组有1.0×0.1×100＝10人．
按分层抽样，第一组抽6×＝1人，第二组抽6－1＝5人．
(2)① 这100人月薪收入的样本平均数＝0.02×1.7＋0.10×1.8＋0.24×1.9＋0.31×2＋0.2×2.1＋0.09×2.2＋0.04×2.3＝2，
这100人月薪收入的样本方差
s2＝0.02×(1.7－2)2＋0.10×(1.8－2)2＋0.24×(1.9－2)2＋0.31×(2－2)2＋0.2×(2.1－2)2＋0.09×(2.2－2)2＋0.04×(2.3－2)2＝0.0174.
②方案1：
s＝＝＝0.132,Ω＝[1.85,2.15)．
月薪落在区间Ω左侧收活动费用约为(0.02＋0.10)×400×50÷10000＝0.24万元；
月薪落在区间Ω内收活动费用约为(0.24＋0.31＋0.20)×600×50÷10000＝2.25万元；
月薪落在区间Ω右侧收活动费用约为(0.09＋0.04)×800×50÷10000＝0.52万元．
因此，选择方案1，这50人共收活动费用约为0.24＋2.25＋0.52＝3.01万元．
选择方案2，这50人共收活动费用约为50×0.03·＝3万元．
故方案1能收到更多的费用．
【课堂练习】
1．观察新生婴儿体重的频率直方图(如图)，新生婴儿体重在[2700,3000)内的频率为(D)
A．0.001 B.0.1
C.0.2 D.0.3
2．对“小康县”的经济评价标准如下：
①年人均收入不小于7000元；
②年人均食品支出不大于年人均收入的35%.
某县有40万人口，调查数据如下：
年人均收入/元 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 16000
人数/万人 6 3 5 5 6 7 5 3
则该县(B)
A．是小康县
B．达到标准①，未达到标准②，不是小康县
C．达到标准②，未达到标准①，不是小康县
D．两个标准都未达到，不是小康县
提示　年人均收入为7050元，达到标准①；年人均食品支出为2695元，而年人均食品支出占收入的×100%≈38.2%＞35%，未达到标准②.故不是小康县．
3．某市4月1日至4月30日对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物)：
61,76,70,56,81,91,92,91,75,81，
88,67,101,103,95,91,77,86,81,83，
82,82,64,79,86,85,75,71,49,45.
(1)列出频率分布表．
(2)画出频率直方图．
(3)根据国家标准，污染指数在0～50之间时，空气质量为优；在51～100之间时，空间质量为良；在101～150之间时，空间质量为轻微污染；在151～200之间时，空间质量为轻度污染．请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价．
解　(1)频率分布表如下：
分组 频数 频率 分组 频数 频率
[41,51) 2 [81,91) 10
[51,61) 1 [91,101) 5
[61,71) 4 [101,111] 2
[71,81) 6
(2)频率直方图如图所示：
(3)答对下述两条中的一条即可：
①该市一个月中空气污染指数有2天处于优的水平，占当月天数的；有26天处于良的水平，占当月天数的；处于优或良的天数为28，占当月天数的.说明该市空气质量基本良好．
② 轻微污染有2天，占当月天数的；污染指数在80以上的接近轻微污染的天数15，加上处于轻微污染的天数2，占当月天数的，超过50%.这说明该市空气质量有待进一步改善．
【课堂小结】
1．列频率分布表，画频率直方图．
2．用频率直方图估计总体分布.