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5.3 平行线的性质
第2课时 命题、定理、证明
参考答案与试题解析
夯基训练
知识点1 命题的定义及结构
1.下列语句中，不是命题的是( )
A．两点之间线段最短
B．对顶角相等
C．不是对顶角不相等
D．过直线AB外一点P作直线AB的垂线
1.解析：根据命题的定义，看其中哪些选项是判断句，其中只有D选项不是判断句．故选D.
方法总结：①命题必须是一个完整的句子，而且必须做出肯定或否定的判断．疑问句、感叹句、作图过程的叙述都不是命题；②命题常见的关键词有“是”“不是”“相等”“不相等”“如果……那么……”．
2.下列语句:①钝角大于90°;②两点之间,线段最短;③希望明天下雨;④作AD⊥BC;⑤同旁内角不互补,两直线不平行.其中是命题的是( )
A.①②③ B.①②⑤
C.①②④⑤ D.①②④
2.【答案】B
解：③未对一件事情作出判断;④是作图的一个步骤.
3.把下列命题写成“如果……那么……”的形式．
(1)内错角相等，两直线平行；
(2)等角的余角相等．
3.解：(1)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；
(2)如果两个角是相等的角，那么它们的余角相等．
方法总结：把命题写成“如果……那么……”的形式时，应添加适当的词语，使语句通顺．
写出命题“平行于同一条直线的两条直线平行”的条件和结论．
解析：先把命题写成“如果……那么……”的形式，再确定条件和结论．
解：把命题写成“如果……那么……”的形式：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．所以命题的条件是“两条直线都与第三条直线平行”，结论是“这两条直线也互相平行”．
方法总结：每一个命题都一定能用“如果……那么……”的形式来叙述．在“如果”后面的部分是“条件”，在“那么”后面的部分是“结论”．
知识点2 命题的分类
4.下列命题中，是真命题的是( )
A．若a·b＞0，则a＞0，b＞0
B．若a·b＜0，则a＜0，b＜0
C．若a·b＝0，则a＝0且b＝0
D．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
4.解析：选项A中，a·b＞0可得a、b同号，可能同为正，也可能同为负，是假命题；选项B中，a·b＜0可得a、b异号，所以错误，是假命题；选项C中，a·b＝0可得a、b中必有一个字母的值为0，但不一定同时为零，是假命题；选项D中，若a·b＝0，则a＝0或b＝0或二者同时为0，是真命题．故选D.
方法总结：判断一个命题是真命题还是假命题，就是判断一个命题是否正确，即由条件能否得出结论．如果命题正确，就是真命题；如果命题不正确，就是假命题．
5.已知三条不同的直线a,b,c在同一平面内,下列四个命题:
①如果a∥b,a⊥c,那么b⊥c;
②如果b∥a,c∥a,那么b∥c;
③如果b⊥a,c⊥a,那么b⊥c;
④如果b⊥a,c⊥a,那么b∥c.
其中真命题是 (填写所有真命题的序号).
5.【答案】①②④
知识点3 定理与证明(举反例)
6.下列说法错误的是( )
A.命题不一定是定理,定理一定是命题
B.定理不可能是假命题
C.真命题是定理
D.如果真命题的正确性是经过推理证实的,这样得到的真命题就是定理
6.【答案】C
7.求证：两条直线平行，一组内错角的平分线互相平行．
7.解析：按证明与图形有关的命题的一般步骤进行．要证明两条直线平行，可根据平行线的判定方法来证明．
解：如图，已知AB∥CD，直线AB，CD被直线MN所截，交点分别为P，Q，PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP，求证：PG∥HQ.
证明：∵AB∥CD(已知)，
∴∠BPQ＝∠CQP(两直线平行，内错角相等)．
又∵PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP(已知)，
∴∠GPQ＝∠BPQ，∠HQP＝∠CQP(角平分线的定义)，
∴∠GPQ＝∠HQP(等量代换)，
∴PG∥HQ(内错角相等，两直线平行)．
方法总结：证明与图形有关的命题时，正确分清命题的条件和结论是证明的关键．应先结合题意画出图形，再根据图形写出已知与求证，然后进行证明．
8.举反例说明下列命题是假命题．
(1)若两个角不是对顶角，则这两个角不相等；
(2)若ab＝0，则a＋b＝0.
8.解析：分清题目的条件和结论，所举的例子满足条件但不满足结论即可．
解：(1)两条直线平行形成的内错角，这两个角不是对顶角，但是它们相等；
(2)当a＝5，b＝0时，ab＝0，但a＋b≠0.
方法总结：举反例时，所举的例子应当满足题目的条件，但不满足题目的结论．举反例时常见的几种错误：①所举例子满足题目的条件，也满足题目的结论；②所举例子不满足题目的条件，但满足题目的结论；③所举例子不满足题目的条件，也不满足题目的结论．
题型总结
题型1 利用命题的分类识别真假命题(举反例法)
9.判断下列命题是真命题,还是假命题,若是假命题,请举出反例.
(1)两个锐角的和是锐角;
(2)经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行;
(3)如果a2=b2,那么a=b.
9.解:(1)假命题,如∠1=70°,∠2=80°,但∠1+∠2=150°,不是锐角.
(2)真命题.
(3)假命题.如a=2,b=-2,有a2=b2,但a≠b.
题型2 利用证明的意义补全证明过程
10.完成下列证明过程,并在括号内填上依据.
如图,AB∥EF,∠D=∠E,∠B+∠D=180°,求证:BC∥DE.
证明:∵∠D=∠E(已知),
∴CD∥ (_________).
∵AB∥EF(已知),
∴AB_________CD(_________).
∴∠B=∠_________ (_________).
∵∠B+∠D=180°(已知),
∴∠_________+∠D=180°(等量代换),
∴BC∥DE(_________).
10.EF;内错角相等,两直线平行;∥;如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行;C;两直线平行,内错角相等;C;同旁内角互补,两直线平行.
拓展培优
拓展角度1利用证明的方法对改写命题进行证明
11.(1)如图所示,DE∥BC,∠1=∠3,CD⊥AB,试说明FG⊥AB;
(2)若把(1)中的题设中的“DE∥BC”与结论“FG⊥AB”对调,所得命题是否为真命题 试说明理由;
(3)若把(1)中的题设中的“∠1=∠3”与结论“FG⊥AB”对调呢
11.解:(1)∵DE∥BC,∴∠1=∠2.
又∵∠1=∠3,∴∠2=∠3.∴CD∥FG.∴∠BFG=∠CDB.
∵CD⊥AB,∴∠CDB=90°.
∴∠BFG=90°,∴FG⊥AB.
(2)是真命题.理由如下:
∵CD⊥AB,FG⊥AB,∴CD∥FG.∴∠2=∠3.
又∵∠1=∠3,∴∠1=∠2.
∴DE∥BC.
(3)是真命题.理由如下:
同(2)可得∠2=∠3,
∵DE∥BC,∴∠1=∠2.
∴∠1=∠3.
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5.3 平行线的性质
第2课时 命题、定理、证明
参考答案与试题解析
夯基训练
知识点1 命题的定义及结构
1.下列语句中，不是命题的是( )
A．两点之间线段最短
B．对顶角相等
C．不是对顶角不相等
D．过直线AB外一点P作直线AB的垂线
2.下列语句:①钝角大于90°;②两点之间,线段最短;③希望明天下雨;④作AD⊥BC;⑤同旁内角不互补,两直线不平行.其中是命题的是( )
A.①②③ B.①②⑤
C.①②④⑤ D.①②④
3.把下列命题写成“如果……那么……”的形式．
(1)内错角相等，两直线平行；
(2)等角的余角相等．
知识点2 命题的分类
4.下列命题中，是真命题的是( )
A．若a·b＞0，则a＞0，b＞0
B．若a·b＜0，则a＜0，b＜0
C．若a·b＝0，则a＝0且b＝0
D．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
5.已知三条不同的直线a,b,c在同一平面内,下列四个命题:
①如果a∥b,a⊥c,那么b⊥c;
②如果b∥a,c∥a,那么b∥c;
③如果b⊥a,c⊥a,那么b⊥c;
④如果b⊥a,c⊥a,那么b∥c.
其中真命题是 (填写所有真命题的序号).
知识点3 定理与证明(举反例)
6.下列说法错误的是( )
A.命题不一定是定理,定理一定是命题
B.定理不可能是假命题
C.真命题是定理
D.如果真命题的正确性是经过推理证实的,这样得到的真命题就是定理
7.求证：两条直线平行，一组内错角的平分线互相平行．
8.举反例说明下列命题是假命题．
(1)若两个角不是对顶角，则这两个角不相等；
(2)若ab＝0，则a＋b＝0.
题型总结
题型1 利用命题的分类识别真假命题(举反例法)
9.判断下列命题是真命题,还是假命题,若是假命题,请举出反例.
(1)两个锐角的和是锐角;
(2)经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行;
(3)如果a2=b2,那么a=b.
题型2 利用证明的意义补全证明过程
10.完成下列证明过程,并在括号内填上依据.
如图,AB∥EF,∠D=∠E,∠B+∠D=180°,求证:BC∥DE.
证明:∵∠D=∠E(已知),
∴CD∥ (_________).
∵AB∥EF(已知),
∴AB_________CD(_________).
∴∠B=∠_________ (_________).
∵∠B+∠D=180°(已知),
∴∠_________+∠D=180°(等量代换),
∴BC∥DE(_________).
拓展培优
拓展角度1利用证明的方法对改写命题进行证明
11.(1)如图所示,DE∥BC,∠1=∠3,CD⊥AB,试说明FG⊥AB;
(2)若把(1)中的题设中的“DE∥BC”与结论“FG⊥AB”对调,所得命题是否为真命题 试说明理由;
(3)若把(1)中的题设中的“∠1=∠3”与结论“FG⊥AB”对调呢
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