1.5.2 平方差公式（第2课时）课件（共24张PPT）

(共24张PPT)
1.5.2平方差公式（第2课时）
第一章
整式的乘除
北师大版七年级下册
学习目标
1.掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行简
便运算；
2.会用几何图形说明公式的意义，体会数形结合的
思想方法.
情境导入
1.平方差公式：(a+b)(a－b)=a2－b2
2.公式的结构特点：
左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积；右边是两数的平方差。
3.利用平方差公式计算：
（1）(2x+7b)(2x–7b)；
（2）(－m+3n)(m+3n).
4x2－49b2
9n2－m2
情境导入
某同学在计算97×103时将其变成(100-3)(100+3)
并很快得出结果，你知道他运用了什么知识吗？这节
课我们一起来探讨上述计算的规律.
探究新知
核心知识点一：
平方差公式的几何验证
a
b
a-b
a-b
阴影部分的面积为
S=a2-b2
阴影部分的面积为
S=(a+b)(a-b)
a+b
a-b
探究新知
例1：如图①，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸片拼成如图②的等腰梯形．
(1)设图①中阴影部分面积为S1，图②中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1，S2；
(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式．
探究新知
分析：直先计算图①中阴影部分面积为S1＝a2－b2，再计算图②中阴影部分面积为S2＝ (2b＋2a) (a－b)，然后根据面积相等得到乘法公式．
解：(1) S1＝a2－b2，
S2＝ (2b＋2a)(a－b) ＝(a＋b)(a－b)．
(2) (a＋b)(a－b)＝ a2－b2.
探究新知
核心知识点二：
平方差公式的运用
相邻两个自然数的乘积
(1)计算下列各组算式，并观察它们的特点
63
64
143
144
6399
6400
一个自然数的平方比它相邻两数的积大1
探究新知
是不是大于1的所有自然数都有这个特点呢？
你能用字母表示这一规律吗？
设这个自然数为a，与它相邻的两个自然数为a－1，a+1，
则有(a+1)(a－1)=a2－1．
例题讲解
例2 用平方差公式进行计算：
(1)103×97； (2)118×122.
解：(1)103×97
=(100+3) (100－3)
=1002－32
=9 991 ；
(2)118×122
=(120－2) (100+2)
=1202－22
=14 396 .
关键：
a为两数和的平均数；
b为|两数差|的平均数
例3：计算：
(1)a2 (a+b)(a-b)+a2 b2
(2)(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3)
解： (1)a2 (a+b)(a-b)+a2 b2
=a2(a2-b2)+a2b2
=a4-a2b2+a2b2
=a4
(2)(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3)
=4x2-52-(4x2-6x)
=4x2-25-4x2+6x
=6x-25
不符合平方差公式运算条件的乘法，按乘法法则进行运算.
例题讲解
例4：公式的逆用
(1)(x+y)2－(x－y)2 (2)252－242
分析：逆用平方差公式可以使运算简便．
解：(1)(x+y)2－(x－y)2
=［(x+y)+(x－y)］［(x+y)－(x－y)］
=2x·2y
=4xy
(2)252－242
=(25+24)(25－24)
=49
例题讲解
解：李大妈吃亏了．理由如下：原正方形的面积为a2，改变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝a2－16.
∵a2＞a2－16，
∴李大妈吃亏了．
例5. 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续原价租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
例题讲解
随堂练习
1. 将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置,根据两个图形的面积关系可以得到一个关于a,b的恒等式为(　　)
A.(a-b)2=a2-2ab+b2 B.(a+b)2=a2+2ab+b2
C.(a+b)(a-b)=a2-b2 D.a(a-b)=a2-ab
C
随堂练习
2.如图，在边长为a的正方形中裁掉一个边长为b的小正方形(如图1)，将剩余部分沿虚线剪开后拼接(如图2)，通过计算，用拼接前后两个图形中阴影部分的面积可以验证等式( )
A.a2-b2=(a+b)(a-b)
B.(a+b)2=a2+2ab+b2
C.(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2
D.(a-b)2=a2-2ab+b2
A
随堂练习
3.如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是(　　)
A.a(a－b)＝a2－ab
B.(a－b)2＝a2－2ab＋b2
C.(a－b)2＝a2－b2
D.a2－b2＝(a＋b)(a－b)
D
随堂练习
4. 计算2 0162－2 015×2 017的结果是(　　)
A．1　　　 B．－1　　　
C．2　　　 D．－2
A
5.(x+6)(x－6)－x(x－9)=0的解是______.
x=4
随堂练习
6.(1)如图①,可以求出阴影部分的面积是　　　 (写成两数平方差的形式);
(2)若将阴影部分裁剪下来,重新拼成一个长方形,如图②,则这个长方形的宽是　　　　,长是　　　,面积是　　　　　 (写成多项式乘法的形式);
(3)比较图①②中阴影部分的面积,
可以得到什么结论
a2－b2
a－b
a+b
(a+b)(a－b)
结论:(a+b)(a-b)=a2-b2.
随堂练习
7. 填空：
(1)已知(x－a)(x＋a)＝x2－9，则a的值为________；
(2)若(m＋4x)(m－4x)＝36－nx2，则mn的值为________．
±96
±3
8. 97×103=_______________=______________=
________________=_______________.
(100-3)(100+3)
1002-9
10000-9
9991
随堂练习
9． 请先观察下列算式，再填空：
32-12=8×1，52-32=8×2．
①72-52=8×______；
②92-（_____）2=8×4；
③（_____）2-92=8×5；
④132-（_____）2=8×______；
….
3
7
11
11
6
随堂练习
10.计算：
(1)102×98(用简便方法计算)； (2)(x－1)(x＋1)(x2＋1)．
解：原式＝(100＋2)(100－2)
＝1002－22
＝10 000－4
＝9 996
解：原式＝(x2－1)(x2＋1)
＝(x2)2－12
＝x4－1
课堂小结
谢谢
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