河北省邯郸市涉县第二中学2013-2014学年高二3月月考数学（理）试题

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说明：
一、本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．第Ⅰ卷为选择题；第Ⅱ卷为非选择题，分为必考和选考两部分．
二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．
三、做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案．
四、考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
1、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．
（1）复数(1－)(1＋i)＝
（A）－2 （B）2 （C）－2i （D）2i
（2）函数y＝的定义域为
（A）(0，8] （B）(2，8]
（C）(－2，8] （D）[8，＋∞)
（3）已知a，b是两个不共线的单位向量，|a－b|＝，则(2a－b)·(3a＋b)＝
（A） （B）－
（C） （D）－
（4）以(－4，0)，(4，0)为焦点，y＝±x为渐近线的双曲线的方程为
（A）－＝1 （B）－＝1
（C）－＝1 （D）－＝1
（5）执行右面的程序框图，则输出的S为
（A）－45 （B）36
（C）55 （D）－66
（6）设等比数列{an}的各项都为正数，a1＋a2＋…＋a6＝1，＋＋…＋＝10，则a1a2…a6＝
（A）103 （B）10－3
（C）106 （D）10－6
（7）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为
（A）7＋ （B）9＋
（C）7＋ （D）9＋
第7题图 第8题图
（8）如图，在等腰直角三角形ABC所在平面内，∠BAC＝∠CBD＝90，若＝x＋x，则
（A）x＋y＝1 （B）x＋y＝
（C）x－y＝1 （D）x－y＝
（9）已知曲线f(x)＝sinωx＋cosωx关于直线x＝对称，当ω取最小正数时
（A）f(x)在(0，)单调递增 （B）f(x)在(，)单调递增
（C）f(x)在(－，0)单调递减 （D）f(x)在(－，－)单调递减
（10）函数y＝的一段图象为
（A） （B）
（C） （D）
（11）四棱锥的底面是正方形，侧棱与底面所成的角都等于60，它的所有顶点都在直径为2的球面上，则该四棱锥的体积为
（A） （B） （C） （D）
（12）曲线y＝与直线x＝1及两坐标轴所围成的封闭图形的面积为
（A）ln2 （B）2ln2 （C）ln2 （D）ln2
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中横线上．
（13）考古学家通过始祖鸟化石标本发现：其股骨长度x（cm）与肱骨长度y（cm）线性回归方程为＝1.197x－3.660，由此估计，当股骨长度为50cm时，肱骨长度的估计值为___________cm．
（14）椭圆＋＝1（a＞b＞0）)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴的垂线与椭圆的一个交点为P，若∠F1PF2＝45，则椭圆的离心率e＝__________．
（15）若β＝α＋30，则化简sin2α＋cos2β＋sinαcosβ的结果为_________．
（16）在数列{an}中，a1＝a7＝1，|an＋1－an|＝1，Sn是数列{an}的前n项和，则S10的最大值等于__________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分12分）
如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为边AB，DA上的点．
（Ⅰ）若CP＝CQ，且△CPQ的面积为，求∠BCP的大小；
（Ⅱ）若△APQ的周长为2，求∠PCQ的大小．
（18）（本小题满分12分）
如图，在四棱锥S—ABCD中，SD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，且SD＝AD＝AB，E是SA的中点．
（Ⅰ）求证：平面BED⊥平面SAB；
（Ⅱ）求平面BED与平面SBC所成二面角（锐角）的大小．
（19）（本小题满分12分）
张师傅驾车从公司开往火车站，途经甲、乙、丙、丁4个交通岗，这4个交通岗将公司到火车站分成的5个时段，每个时段的驾车时间都是3分钟．甲、乙两交通岗遇到红灯的概率都是；丙、丁两交通岗遇到红灯的概率都是．每个交通岗遇到红灯都需要停车1分钟．假设他在各交通岗遇到红灯是相互独立的．
（Ⅰ）求张师傅此行程时间不小于16分钟的概率；
（Ⅱ）记张师傅此行程所需时间为X分钟，求X的分布列和均值．
（20）（本小题满分12分）
已知抛物线P：x2＝4y（p＞0）的焦点为F，过点F作直线l与P交于A，B两点，P的准线与y轴交于点C．
（Ⅰ）证明：直线CA与CB关于y轴对称；
（Ⅱ）当直线CB的倾斜角为45时，求△ABC内切圆的方程．
（21）（本小题满分12分）
已知函数f(x)＝ax2－x＋lnx（a＞0）．
（Ⅰ）若f(x)是单调函数，求a的取值范围；21世纪教育网
（Ⅱ）若f(x)有两个极值点x1，x2，证明：f(x1)＋f(x2)＜2ln2－3．
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，E是圆O内两弦AB和CD的交点，F是AD延长线上一点，FG与圆O相切于点G，且EF＝FG．求证：
（Ⅰ）△EFD∽△AFE；
（Ⅱ）EF∥BC．
（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
直角坐标系xOy和极坐标系Ox的原点与极点重合，x轴正半轴与极轴重合，单位长度相同．在直角坐标系下，曲线C的参数方程为（φ为参数）．
（Ⅰ）在极坐标系下，曲线C与射线θ＝和射线θ＝－分别交于A，B两点，求△AOB的面积；
（Ⅱ）在直角坐标系下，直线l的参数方程为（t为参数），求曲线C与直线l的交点坐标．
（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知f(x)＝|x＋1|＋|x－2|．
（Ⅰ）解不等式f(x)≤7；
（Ⅱ）若f(x)＋f(－x)≥a，求a的取值范围．
理科数学参考答案
2、 选择题：
（1）D （2）C （3）C （4）A （5）C （6）B
（7）B （8）C （9）A （10）B （11）B （12）D
二、填空题：
（18）解：
（Ⅰ）因为SD⊥平面ABCD，所以平面SAD⊥平面ABCD，
因为AB⊥AD，所以AB⊥平面SAD，所以DE⊥AB．
因为SD＝AD，E是SA的中点，所以DE⊥SA，
又AB∩SA＝A，所以DE⊥平面SAB，
所以平面BED⊥平面SAB． …4分
（Ⅱ）建立如图所示的坐标系D—xyz，取AD＝2，则
D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，，0)，
C(0，，0)，S(0，0，2)，E(1，0，1)．
＝(2， ，0)，＝(1，0，1)，＝(2，0，0)，＝(0，－，2)．
设m＝(x1，y1，z1)是面BED的一个法向量，则
即
因此可取m＝(－1，，1)． …8分
设n＝(x2，y2，z2)是面SBC的一个法向量，则
即
因此可取n＝(0，，1)． …10分
cosm，n＝＝＝，
故平面BED与平面SBC所成锐二面角的大小为30． …12分
（19）解：
（Ⅰ）如果不遇到红灯，全程需要15分钟，否则至少需要16分钟．
张师傅此行程时间不小于16分钟的概率
P＝1－()2()2＝． …4分
（Ⅱ）依题意，X的可能取值为15，16，17，18，19．
P(X＝15)＝()2()2＝＝，
P(X＝16)＝C··()2＋()2·C()2＝＝，
P(X＝17)＝()2·()2＋C··C()2＋()2·()2＝，
P(X＝18)＝()2·C()2＋C··()2＝＝，
P(X＝19)＝()2()2＝．
X的分布列为
Y 15 16 17 18 19
P …10分
X的均值
E(X)＝15×＋16×＋17×＋18×＋19×＝． …12分
（20）解：
令g(a)＝－1－ln(2a)，a∈(0，]，21世纪教育网
则当a∈(0，)时，g(a)＝－＝＞0，g(a)在(0，]单调递增，
所以g(a)＜g()＝2ln2－3，即f(x1)＋f(x2)＜2ln2－3． …12分
（22）证明：
（Ⅰ）因为FG与圆O相切于点G，所以FG2＝FD·FA．
因为EF＝FG，EF2＝FD·FA，所以＝，
因为∠EFD＝∠AFE，所以△EFD∽△AFE． …5分
（Ⅱ）由（Ⅰ），有∠FED＝∠FAE，
因为∠FAE和∠BCD都是上的圆周角，所以∠FED＝∠BCD，
因此EF∥BC． …10分
（24）解：
（Ⅰ）f(x)＝
当x＜－1时，由1－2x≤7，得－3≤x＜－1；
当－1≤x≤－2时，有3≤7；
当x＞2时，由2x－1≤7，得2＜x≤4．
综上，不等式f(x)≤7的解集为[－3，4]． …5分
（Ⅱ）f(x)＝|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，
当且仅当－1≤x≤2时等号成立；
同理f(－x)≥3，当且仅当－2≤x≤1时等号成立．21世纪教育网
所以f(x)＋f(－x)≥6，当且仅当－1≤x≤1时等号成立．
故a的取值范围是(－∞，6]．
开始
否
输出S
k＞9
是
结束
k＝0，S＝0
k＝k＋1
a＝(－1)kk2
S＝S＋a
侧视图
俯视图
1
2
1
正视图
1
A
B
C
D
x
y
O
x
O
y
x
y
O
x
O
y
A
C
B
D
Q
P
A
C
B
D
E
S
B
D
A
O
E
G
F
C
A
C
B
D
E
S
x
y
z
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