6.2.4向量的数量积课件——2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册(共35张PPT)

(共35张PPT)
6.2.4向量的数量积
共线向量定理：
向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使.
推论： A、B、C三点共线
复习回顾
如图，一个物体在力F的作用下产生位移s，且力的方向与位移的方向的夹角为θ，则力F所做的功为：
F
s

┓
情境引入:
在物理中，我们学过力做的功的概念
功是一个标量，它由力和位移两个量来确定。受此启发，我们引入向量“数量积”的概念。
已知两个非零向量 ，O是平面上的任意一点，作
，则 叫做向量 与 的夹角，记作 .



B
1.向量的夹角
O
A
B
O
A
B
向量 与 的夹角的取值范围为：
B
O
A
注：两个向量只有公共起点时所对应的角才是向量的夹角.
A.30° B.60°
C.120° D.150°
√
　　已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？
例1
即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°.
因为|a|＝|b|＝2，
所以平行四边形OACB是菱形，
又∠AOB＝60°，
步步高P11
规定:零向量与任一向量的数量积为0.
2.向量数量积的定义：
已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为θ，我们把数量叫做 与 的数量积（或内积），记作 ，即
变形：
注： 之间用实心圆点“ · ”连接，不能省略,更不能写成“ × ”。
例9 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角θ=120°，求a·b。
解：a·b = |a| |b|cosθ= 5×4×cos120°
=5×4×（-1/2）= －10
解：
例10 设 ，求 与 的夹角 。
课本P17-18
课本P20练习
思考：两个向量的数量积与数乘向量有什么区别？
（1）向量的线性运算的结果是向量，
（2）向量的数量积却是一个数量，而不是向量，其大小与两个向量的长度以及夹角都有关，符号由夹角的余弦值决定。
探究1:向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？
当 时， 为正；
当 时， 为零。
当 时， 为负；
课本P20练习
知识梳理
投影
投影
4.投影向量
a
b
A
B
C
D
A1
B1
投影向量：
投影向量= 投影 x 单位向量
课本P19
投影:OM1=
=|a|cos
探究2
显然， 与 共线，于是






下面探讨 与 的关系，进而给出 的明确表达式。
如下图，设与 方向相同的单位向量为 ， 与
的夹角为 ，那么 与 之间有怎样的关系？
N
当 为钝角时， 与 方向相反，所以
当 为锐角时， 与 方向相同， ，所以
当 为直角时， ，所以
即
当 时， ，所以
当 时， ，所以
从上面的讨论可知，对于任意的 ，都有
课本P20练习
　　已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，与b同向的单位向量为e.
(1)求a·b；
例3
a·b＝|a||b|cos θ
＝5×4×cos 120°＝－10.
步步高P11
(2)求a在b上的投影向量.
　　　已知向量a，b满足|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b在a上的投影向量的模是________.
跟踪训练3
已知向量a，b的夹角θ＝60°，
1
步步高P12
　　已知正△ABC的边长为1，求：
例2
步步高P11
跟踪训练2
0
－16
－16
步步高P11
(2)设|a|＝1，|b|＝2，a·b＝1，则a与b的夹角为_____.
1.知识清单：
(1)向量的夹角.
(2)向量数量积的定义.
(3)投影向量.
(4)向量数量积的性质.
2.方法归纳：数形结合法.
3.常见误区：向量夹角共起点；a·b>0 两向量夹角为锐角，
a·b<0 两向量 夹角为钝角.
课堂小结
3、当a与b同向时，
2、
4、
设 a 与 b 都是非零向量，他们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则：
1、a·e=e·a= |a|cosθ
|a·b|=|a||b|
当a与b反向时，
|a·b|= -|a||b|
特别地，a·a＝|a|2 或|a| =
3.平面向量数量积的运算性质
e=
课本P19
=
5.数量积的运算律
探究：对于非零向量a，b，c，(a·b)·c有意义吗？(a·b)·c与a·(b·c)相等吗？为什么？
(a·b)·c ≠ a·(b·c)
课本P20练习
例 11：求证：
（1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；
（2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b
＝a2＋2a·b＋b2.
＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b
证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)
（2）(a＋b)·(a－b)＝(a＋b)·a－(a＋b)·b
＝a·a＋b·a－a·b－b·b
＝a2－b2.
课本P21练习
例12
解:
解:
例13 已知 ，且 与 不共线，当k为
何值时，向量 与 互相垂直？
练习（第22页）