专题一 集合、复数、常用逻辑用语 同步学案+练习(含解析)

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名称 专题一 集合、复数、常用逻辑用语 同步学案+练习(含解析)
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文件大小 375.9KB
资源类型 试卷
版本资源 通用版
科目 数学
更新时间 2023-02-16 08:29:49

文档简介

中小学教育资源及组卷应用平台
专题一 集合、复数、常用逻辑用语
命题分析
1.集合作为高考必考内容,多年来命题较稳定,多以选择题形式在前3题的位置进行考查,难度较小.命题的热点依然会集中在集合的运算方面,常与简单的一元二次不等式结合命题.
2.高考对复数的考查重点是其代数形式的四则运算(特别是乘、除法),也涉及复数的概念及几何意义等知识,题目多出现在第1~3题的位置,难度较低,纯属送分题目.
3.高考对常用逻辑用语考查的频率较低,且命题点分散,其中含有量词的命题的否定、充分必要条件的判断需要关注,多结合函数、平面向量、三角函数、不等式、数列等内容命题.
考点突破
考点一 集合
1.集合运算的4个性质及重要结论
(1)A∪A=A,A∪ =A,A∪B=B∪A.
(2)A∩A=A,A∩ = ,A∩B=B∩A.
(3)A∩( UA)= ,A∪( UA)=U.
(4)A∩B=A A B,A∪B=A B A.
2.集合运算的4个技巧
(1)先“简”后“算”.进行集合的基本运算之前要先对其进行化简,化简时要准确把握元素的性质特征,区分数集与点集等.
(2)遵“规”守“矩”.定义是进行集合基本运算的依据,交集的运算要抓住“公共元素”,补集的运算要关注“你有我无”的元素.
(3)活“性”减“量”.灵活利用交集与并集以及补集的运算性质,特别是摩根定律,即 U(M∩N)=( UM)∪( UN), U(M∪N)=( UM)∩( UN)等简化运算,减少运算量.
(4)借“形”助“数”.在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化,一般地,集合元素离散时用Venn图;集合元素连续时用数轴表示,用数轴表示时要注意端点值的取舍.
[考法全练]
1.已知集合A={x|x2-x-2>0},则 RA=(  )
A.{x|-12} D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2}
答案:B
解析:法一:A={x|(x-2)(x+1)>0}={x|x<-1或x>2},所以 RA={x|-1≤x≤2},故选B.
法二:因为A={x|x2-x-2>0},所以 RA={x|x2-x-2≤0}={x|-1≤x≤2},故选B.
2.已知集合P={x|y=,x∈N},Q={x|ln x<1},则P∩Q=(  )
A.{0,1,2} B.{1,2} C. (0,2] D. (0,e)
答案:B
解析:由-x2+x+2≥0,得-1≤x≤2,因为x∈N,所以P={0,1,2}.因为ln x<1,所以0<x<e,所以Q=(0,e),则P∩Q={1,2},故选B.
3.已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为(  )
A.9 B.8 C.5 D.4
答案:A
解析:法一:由x2+y2≤3知,-≤x≤,-≤y≤.又x∈Z,y∈Z,所以x∈{-1,0,1},y∈{-1,0,1},所以A中元素的个数为CC=9,故选A.
法二:根据集合A的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形,如图,易知在圆x2+y2=3中有9个整点,即为集合A的元素个数,故选A.
4.已知集合A={y|y=log2x,x>2},B={y|y=,x<1},则A∩B=(  )
A. (1,+∞) B. C. D.
答案:A
解析:法一:因为A={y|y=log2x,x>2}={y|y>1},B={y|y=,x<1}={y|y>},所以A∩B={y|y>1},故选A.
法二:取2∈A∩B,则由2∈A,得log2x=2,解得x=4>2,满足条件,同时由2∈B,得=2,x=-1,满足条件,排除选项B,D;取1∈A∩B,则由1∈A,得log2x=1,解得x=2,不满足x>2,排除C,故选A.
5.已知集合A={x|x<a},B={x|x2-3x+2<0},若A∩B=B,则实数a的取值范围是(  )
A.a<1 B.a≤1 C.a>2 D.a≥2
答案:D
解析:集合B={x|x2-3x+2<0}={x|1<x<2},由A∩B=B可得B A,所以a≥2.故选D.
考点二 复数
1.复数代数形式的2种运算
(1)复数的乘法:复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i的看作一类项,不含i的看作另一类项,分别合并同类项即可.
(2)复数的除法:除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,解题时要注意把i的幂写成最简形式.复数的除法类似初中所学化简分数常用的“分母有理化”,其实质就是“分母实数化”.
2.复数运算中的4个常见结论
(1)(1±i)2=±2i,=i,=-i.
(2)-b+ai=i(a+bi).
(3)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i.
(4)i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0.
[考法全练]
1.=(  )
A.--i B.-+i C.--i D.-+i
答案:D
解析:==-+i,故选D.
2.若=2-i(i为虚数单位),则复数z在复平面内对应的点在(  )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
答案:A
解析:由题意知z=(1+i)(2-i)=3+i,其在复平面内对应的点的坐标为(3,1),在第一象限.故选A.
3.设z=+2i,则|z|=(  )
A.0 B. C.1 D.
答案:C
解析:法一:因为z=+2i=+2i=-i+2i=i,所以|z|=1,故选C.
法二:因为z=+2i==,所以|z|====1,故选C.
4.设复数z满足(1+i)z=i,则z的共轭复数z=(  )
A.+i B.-i C.-+i D.--i
答案:B
解析:法一:因为(1+i)z=i,所以z=====+i,所以复数z的共轭复数z=-i,故选B.
法二:因为(1+i)z=i,所以z====+i,所以复数z的共轭复数z=-i,故选B.
法三:设z=a+bi(a,b∈R),因为(1+i)z=i,所以(1+i)(a+bi)=i,所以(a-b)+(a+b)i=i,由复数相等的条件得解得a=b=,所以z=+i,所以复数z的共轭复数z=-i,故选B.
5.已知复数z满足z+|z|=3+i,则z=(  )
A.1-i B.1+i C.-i D.+i
答案:D
解析:设z=a+bi,其中a,b∈R,由z+|z|=3+i,得a+bi+=3+i,由复数相等可得解得故z=+i,故选D.
考点三 命题的真假判断与否定
1.四种命题的关系
(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性.
(2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.
2.全(特)称命题及其否定
(1)全称命题p: x∈M,p(x).它的否定﹁p: x0∈M,﹁p(x0).
(2)特称命题p: x0∈M,p(x0).它的否定﹁p: x∈M,﹁p(x).
3.含逻辑联结词的命题真假的等价关系
(1)p∨q真 p,q至少一个真 (﹁p)∧(﹁q)假.
(2)p∧q假 p,q均假 (﹁p)∧(﹁q)真.
(3)p∧q真 p,q均真 (﹁p)∨(﹁q)假.
(4)p∧q假 p,q至少一个假 (﹁p)∨(﹁q)真.
(5)﹁p真 p假;﹁p假 p真.
[考法全练]
1.命题p: x0∈R,x+2x0+2≤0,则﹁p为(  )
A. x∈R,x2+2x+2>0 B. x∈R,x2+2x+2≥0
C. x0∈R,x+2x0+2>0 D. x0∈R,x+2x0+2≥0
答案:A
解析:命题p为特称命题,所以﹁p为“ x∈R,x2+2x+2>0”,故选A.
2.已知命题p: x0∈R,x-x0+1≥0;命题q:若a<b,则>,则下列为真命题的是(  )
A.p∧q B.p∧﹁q C.﹁p∧q D.﹁p∧﹁q
答案:B
解析:对于命题p,当x0=0时,1≥0成立,所以命题p为真命题,命题﹁p为假命题;对于命题q,当a=-1,b=1时,<,所以命题q为假命题,命题﹁q为真命题,所以p∧﹁q为真命题,故选B.
3.下列说法正确的是(  )
A.“若a>1,则a2>1”的否命题是“若a>1,则a2≤1”
B.“若am2<bm2,则a<b”的逆命题为真命题
C.存在x0∈(0,+∞),使3x0>4x0成立
D.“若sin α≠,则α≠”是真命题
答案:D
解析:对于选项A,“若a>1,则a2>1”的否命题是“若a≤1,则a2≤1”,故选项A错误;对于选项B,“若am2<bm2,则a<b”的逆命题为“若a<b,则am2<bm2”,因为当m=0时,am2=bm2,所以其逆命题为假命题,故选项B错误;对于选项C,由指数函数的图象知,对任意的x∈(0,+∞),都有4x>3x,故选项C错误;对于选项D,“若sin α≠,则α≠”的逆否命题为“若α=,则sin α=”,且其逆否命题为真命题,所以原命题为真命题,故选D.
4.已知命题p:“a>b”是“2a>2b”的充要条件;命题q: x∈R,|x+1|≤x,则(  )
A.﹁p∨q为真命题 B.p∨q为真命题 C.p∧q为真命题 D.p∧﹁q为假命题
答案:B
解析:由函数y=2x是R上的增函数,知命题p是真命题.对于命题q,当x+1≥0,即x≥-1时,|x+1|=x+1>x;当x+1<0,即x<-1时,|x+1|=-x-1,由-x-1≤x,得x≥-,无解,因此命题q是假命题.所以﹁p∨q为假命题,A错误;p∨q为真命题,B正确;p∧q为假命题,C错误;p∧﹁q为真命题,D错误.故选B.
考点四 充要条件的判断
充分、必要条件的3种判断方法
利用定义判断 直接判断“若p,则q”“若q,则p”的真假
从集合的角 度判断 若A B,则“x∈A”是“x∈B”的充分条件或“x∈B”是“x∈A”的必要条件;若A=B,则“x∈A”是“x∈B”的充要条件
利用等价转 化法判断 条件和结论带有否定性词语的命题,常转化为其逆否命题来判断真假
[考法全练]
1.设a>0且a≠1,则“logab>1”是“b>a”的(  )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案:D
解析:由logab>1得,当a>1时,b>a;当0<a<1时,b<a.显然不能由logab>1推出b>a,也不能由b>a推出logab>1,故选D.
2.已知向量a=(m,1),b=(n,1),则“=1”是“a∥b”的(  )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案:A
解析:若=1,则m=n,此时a=b,显然满足a∥b;反之,若a∥b,则m·1-n·1=0,所以m=n,但不能推出=1.所以“=1”是“a∥b”的充分不必要条件,故选A.
3.已知锐角△ABC的三个内角分别为A,B,C,则“sin A>sin B”是“tan A>tan B”的(  )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案:C
解析:在锐角△ABC中,根据正弦定理=,知sin A>sin B a>b A>B,而正切函数y=tan x在上单调递增,所以A>B tan A>tan B.故选C.
4.设x∈R,则“<”是“x3<1”的(  )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案:A
解析:由<,得05.“不等式x2-x+m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是(  )
A.m> B.0<m<1 C.m>0 D.m>1
答案:C
解析:若不等式x2-x+m>0在R上恒成立,则Δ=(-1)2-4m<0,解得m>,因此当不等式x2-x+m>0在R上恒成立时,必有m>0,但当m>0时,不一定推出不等式在R上恒成立,故所求的必要不充分条件可以是m>0,故选C.
习题精练
选择题
1.设全集为R,集合A={x|0A.{x|0答案:B
解析:因为B={x|x≥1},所以 RB={x|x<1},因为A={x|02.若i是虚数单位,则复数的实部与虚部之积为(  )
A.- B. C.i D.-i
答案:B
解析:因为==+i,所以其实部为,虚部为,实部与虚部之积为.故选B.
3.已知(1+i)·z=i(i是虚数单位),那么复数z在复平面内对应的点位于(  )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
答案:A
解析:因为(1+i)·z=i,所以z===,则复数z在复平面内对应的点的坐标为,所以复数z在复平面内对应的点位于第一象限,故选A.
4.设集合A={x|y=lg(x2+3x-4)},B={y|y=21-x2},则A∩B=(  )
A.(0,2] B.(1,2] C.[2,4) D.(-4,0)
答案:B
解析:A={x|x2+3x-4>0}={x|x>1或x<-4},B={y|0<y≤2},所以A∩B=(1,2],故选B.
5.已知全集U=R,集合A={x|x(x+2)<0},B={x||x|≤1},则如图所示的阴影部分表示的集合是(  )
A.(-2,1) B.[-1,0]∪[1,2) C.(-2,-1)∪[0,1] D.[0,1]
答案:C
解析:因为集合A={x|x(x+2)<0},B={x||x|≤1},所以A={x|-2<x<0},B={x|-1≤x≤1},所以A∪B=(-2,1],A∩B=[-1,0),所以阴影部分表示的集合为 A∪B(A∩B)=(-2,-1)∪[0,1],故选C.
6.已知复数z满足z(1-i)2=1+i(i为虚数单位),则|z|为(  )
A. B. C. D.1
答案:B
解析:因为z=-=,所以|z|=,故选B.
7.在△ABC中,“·>0”是“△ABC是钝角三角形”的(  )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案:A
解析:法一:设与的夹角为θ,因为·>0,即||·||cos θ>0,所以cos θ>0,θ<90°,又θ为△ABC内角B的补角,所以∠B>90°,△ABC是钝角三角形;当△ABC为钝角三角形时,∠B不一定是钝角.所以“·>0”是“△ABC是钝角三角形”的充分不必要条件,故选A.
法二:由·>0,得·<0,即cos B<0,所以∠B>90°,△ABC是钝角三角形;当△ABC为钝角三角形时,∠B不一定是钝角.所以“·>0”是“△ABC是钝角三角形”的充分不必要条件,故选A.
8.已知集合P={x|x2-2x-8>0},Q={x|x≥a},P∪Q=R,则a的取值范围是(  )
A.(-2,+∞) B.(4,+∞) C.(-∞,-2] D.(-∞,4]
答案:C
解析:集合P={x|x2-2x-8>0}={x|x<-2或x>4},Q={x|x≥a},若P∪Q=R,则a≤-2,即a的取值范围是(-∞,-2],故选C.
9.下列说法正确的是(  )
A.命题“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2=1,则x≠1”
B.“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件
C.命题“ x∈R,使得x2+x+1<0”的否定是“ x∈R,均有x2+x+1<0”
D.命题“若x=y,则sin x=sin y”的逆否命题为真命题
答案:D
解析:A中,命题“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2≠1,则x≠1”,故A不正确;B中,由x2-5x-6=0,解得x=-1或x=6,所以“x=-1”是“x2-5x-6=0”的充分不必要条件,故B不正确;C中,“ x∈R,使得x2+x+1<0”的否定是“ x∈R,均有x2+x+1≥0”,故C不正确;D中,命题“若x=y,则sin x=sin y”为真命题,因此其逆否命题为真命题,D正确,故选D.
10.设命题p:若定义域为R的函数f(x)不是偶函数,则 x∈R,f(-x)≠f(x).命题q:f(x)=x|x|在(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数.则下列判断错误的是(  )
A.p为假命题 B.﹁q为真命题 C.p∨q为真命题 D.p∧q为假命题
答案:C
解析:函数f(x)不是偶函数,仍然可 x,使得f(-x)=f(x),p为假命题;f(x)=x|x|=在R上是增函数,q为假命题.所以p∨q为假命题,故选C.
11.已知命题“ x∈R,4x2+(a-2)x+≤0”是假命题,则实数a的取值范围为(  )
A.(-∞,0) B.[0,4] C.[4,+∞) D.(0,4)
答案:D
解析:因为命题“ x∈R,4x2+(a-2)x+≤0”是假命题,所以其否定“ x∈R,4x2+(a-2)x+>0”是真命题,则Δ=(a-2)2-4×4×=a2-4a<0,解得0<a<4,故选D.
12.下列判断正确的是(  )
A.若事件A与事件B互斥,则事件A与事件B对立
B.函数y=+(x∈R)的最小值为2
C.若直线(m+1)x+my-2=0与直线mx-2y+5=0互相垂直,则m=1
D.“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的充分不必要条件
答案:D
解析:对于A选项,若事件A与事件B互斥,则事件A与事件B不一定对立,反之,若事件A与事件B对立,则事件A与事件B一定互斥,所以A选项错误;对于B选项,y=+≥2,当且仅当=,即x2+9=1时等号成立,但x2+9=1无实数解,所以等号不成立,于是函数y=+(x∈R)的最小值不是2,所以B选项错误;对于C选项,由两直线垂直,得(m+1)m+m×(-2)=0,解得m=0或m=1,所以C选项错误;对于D选项,若p∧q为真命题,则p,q都是真命题,于是p∨q为真命题,反之,若p∨q为真命题,则p,q中至少有一个为真命题,此时p∧q不一定为真命题,所以“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的充分不必要条件,所以D选项正确.综上选D.
二、填空题
13.已知=2+i,则 (z的共轭复数)为________.
答案:3+i
解析:法一:由=2+i得z=(1-i)(2+i)=3-i,所以=3+i.
法二:由=2+i得=,所以=2-i,=(1+i)(2-i)=3+i.
14.设P,Q为两个非空实数集合,定义集合P*Q={z|z=ab,a∈P,b∈Q},若P={1,2},Q={-1,0,1},则集合P*Q中元素的个数为________.
答案:3
解析:法一(列举法):当b=0时,无论a取何值,z=ab=1;当a=1时,无论b取何值,ab=1;当a=2,b=-1时,z=2-1=;当a=2,b=1时,z=21=2.故P*Q=,该集合中共有3个元素.
法二(列表法):因为a∈P,b∈Q,所以a的取值只能为1,2;b的取值只能为-1,0,1.z=ab的不同运算结果如下表所示:
b a -1 0 1
1 1 1 1
2 1 2
由上表可知P*Q=,显然该集合中共有3个元素.
15.下列命题中:① x∈,x>sin x;②在△ABC中,若A>B,则sin A>sin B;③函数f(x)=tan x的图象的一个对称中心是;④ x0∈R,sin x0cos x0=,是真命题的有________.(填序号)
答案:①②③
解析:①中,设g(x)=sin x-x,则g′(x)=cos x-1<0,所以函数g(x)在上单调递减,所以g(x)<g(0)=0,即x>sin x成立,故①正确;②中,在△ABC中,若A>B,则a>b,由正弦定理,有sin A>sin B成立,故②正确;③中,函数f(x)=tan x的图象的对称中心为(k∈Z),所以是函数f(x)的图象的一个对称中心,故③正确;④中,因为sin xcos x=sin 2x≤<,所以④错误.
16.已知命题p: x∈[0,1],a≥2x;命题q: x∈R,使得x2+4x+a=0.若命题“p∨q”是真命题,“﹁p∧q”是假命题,则实数a的取值范围为________.
答案:[2,+∞)
解析:命题p为真,则a≥2x(x∈[0,1])恒成立,因为y=2x在[0,1]上单调递增,所以2x≤21=2,故a≥2,即命题p为真时,实数a的取值集合为P={a|a≥2}.若命题q为真,则方程x2+4x+a=0有解,所以Δ=42-4×1×a≥0,解得a≤4.故命题q为真时,实数a的取值集合为Q={a|a≤4}.若命题“p∨q”是真命题,那么命题p,q至少有一个是真命题;由“﹁p∧q”是假命题,可得﹁p与q至少有一个是假命题.①若p为真命题,则﹁p为假命题,q可真可假,此时实数a的取值范围为[2,+∞);②若p为假命题,则q必为真命题,此时,“﹁p∧q”为真命题,不合题意.综上,实数a的取值范围为[2,+∞).
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2023版高考二轮专题复习学案 专题一 集合、复数、常用逻辑用语 1/1中小学教育资源及组卷应用平台
专题一 集合、复数、常用逻辑用语
命题分析
1.集合作为高考必考内容,多年来命题较稳定,多以选择题形式在前3题的位置进行考查,难度较小.命题的热点依然会集中在集合的运算方面,常与简单的一元二次不等式结合命题.
2.高考对复数的考查重点是其代数形式的四则运算(特别是乘、除法),也涉及复数的概念及几何意义等知识,题目多出现在第1~3题的位置,难度较低,纯属送分题目.
3.高考对常用逻辑用语考查的频率较低,且命题点分散,其中含有量词的命题的否定、充分必要条件的判断需要关注,多结合函数、平面向量、三角函数、不等式、数列等内容命题.
考点突破
考点一 集合
1.集合运算的4个性质及重要结论
(1)A∪A=A,A∪ =A,A∪B=B∪A.
(2)A∩A=A,A∩ = ,A∩B=B∩A.
(3)A∩( UA)= ,A∪( UA)=U.
(4)A∩B=A A B,A∪B=A B A.
2.集合运算的4个技巧
(1)先“简”后“算”.进行集合的基本运算之前要先对其进行化简,化简时要准确把握元素的性质特征,区分数集与点集等.
(2)遵“规”守“矩”.定义是进行集合基本运算的依据,交集的运算要抓住“公共元素”,补集的运算要关注“你有我无”的元素.
(3)活“性”减“量”.灵活利用交集与并集以及补集的运算性质,特别是摩根定律,即 U(M∩N)=( UM)∪( UN), U(M∪N)=( UM)∩( UN)等简化运算,减少运算量.
(4)借“形”助“数”.在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化,一般地,集合元素离散时用Venn图;集合元素连续时用数轴表示,用数轴表示时要注意端点值的取舍.
[考法全练]
1.已知集合A={x|x2-x-2>0},则 RA=(  )
A.{x|-12} D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2}
2.已知集合P={x|y=,x∈N},Q={x|ln x<1},则P∩Q=(  )
A.{0,1,2} B.{1,2} C. (0,2] D. (0,e)
3.已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为(  )
A.9 B.8 C.5 D.4
4.已知集合A={y|y=log2x,x>2},B={y|y=,x<1},则A∩B=(  )
A. (1,+∞) B. C. D.
5.已知集合A={x|x<a},B={x|x2-3x+2<0},若A∩B=B,则实数a的取值范围是(  )
A.a<1 B.a≤1 C.a>2 D.a≥2
考点二 复数
1.复数代数形式的2种运算
(1)复数的乘法:复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i的看作一类项,不含i的看作另一类项,分别合并同类项即可.
(2)复数的除法:除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,解题时要注意把i的幂写成最简形式.复数的除法类似初中所学化简分数常用的“分母有理化”,其实质就是“分母实数化”.
2.复数运算中的4个常见结论
(1)(1±i)2=±2i,=i,=-i.
(2)-b+ai=i(a+bi).
(3)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i.
(4)i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0.
[考法全练]
1.=(  )
A.--i B.-+i C.--i D.-+i
2.若=2-i(i为虚数单位),则复数z在复平面内对应的点在(  )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.设z=+2i,则|z|=(  )
A.0 B. C.1 D.
4.设复数z满足(1+i)z=i,则z的共轭复数z=(  )
A.+i B.-i C.-+i D.--i
5.已知复数z满足z+|z|=3+i,则z=(  )
A.1-i B.1+i C.-i D.+i
考点三 命题的真假判断与否定
1.四种命题的关系
(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性.
(2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.
2.全(特)称命题及其否定
(1)全称命题p: x∈M,p(x).它的否定﹁p: x0∈M,﹁p(x0).
(2)特称命题p: x0∈M,p(x0).它的否定﹁p: x∈M,﹁p(x).
3.含逻辑联结词的命题真假的等价关系
(1)p∨q真 p,q至少一个真 (﹁p)∧(﹁q)假.
(2)p∧q假 p,q均假 (﹁p)∧(﹁q)真.
(3)p∧q真 p,q均真 (﹁p)∨(﹁q)假.
(4)p∧q假 p,q至少一个假 (﹁p)∨(﹁q)真.
(5)﹁p真 p假;﹁p假 p真.
[考法全练]
1.命题p: x0∈R,x+2x0+2≤0,则﹁p为(  )
A. x∈R,x2+2x+2>0 B. x∈R,x2+2x+2≥0
C. x0∈R,x+2x0+2>0 D. x0∈R,x+2x0+2≥0
2.已知命题p: x0∈R,x-x0+1≥0;命题q:若a<b,则>,则下列为真命题的是(  )
A.p∧q B.p∧﹁q C.﹁p∧q D.﹁p∧﹁q
3.下列说法正确的是(  )
A.“若a>1,则a2>1”的否命题是“若a>1,则a2≤1”
B.“若am2<bm2,则a<b”的逆命题为真命题
C.存在x0∈(0,+∞),使3x0>4x0成立
D.“若sin α≠,则α≠”是真命题
4.已知命题p:“a>b”是“2a>2b”的充要条件;命题q: x∈R,|x+1|≤x,则(  )
A.﹁p∨q为真命题 B.p∨q为真命题 C.p∧q为真命题 D.p∧﹁q为假命题
考点四 充要条件的判断
充分、必要条件的3种判断方法
利用定义判断 直接判断“若p,则q”“若q,则p”的真假
从集合的角 度判断 若A B,则“x∈A”是“x∈B”的充分条件或“x∈B”是“x∈A”的必要条件;若A=B,则“x∈A”是“x∈B”的充要条件
利用等价转 化法判断 条件和结论带有否定性词语的命题,常转化为其逆否命题来判断真假
[考法全练]
1.设a>0且a≠1,则“logab>1”是“b>a”的(  )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.已知向量a=(m,1),b=(n,1),则“=1”是“a∥b”的(  )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知锐角△ABC的三个内角分别为A,B,C,则“sin A>sin B”是“tan A>tan B”的(  )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.设x∈R,则“<”是“x3<1”的(  )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.“不等式x2-x+m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是(  )
A.m> B.0<m<1 C.m>0 D.m>1
习题精练
选择题
1.设全集为R,集合A={x|0A.{x|02.若i是虚数单位,则复数的实部与虚部之积为(  )
A.- B. C.i D.-i
3.已知(1+i)·z=i(i是虚数单位),那么复数z在复平面内对应的点位于(  )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4.设集合A={x|y=lg(x2+3x-4)},B={y|y=21-x2},则A∩B=(  )
A.(0,2] B.(1,2] C.[2,4) D.(-4,0)
5.已知全集U=R,集合A={x|x(x+2)<0},B={x||x|≤1},则如图所示的阴影部分表示的集合是(  )
A.(-2,1) B.[-1,0]∪[1,2) C.(-2,-1)∪[0,1] D.[0,1]
6.已知复数z满足z(1-i)2=1+i(i为虚数单位),则|z|为(  )
A. B. C. D.1
7.在△ABC中,“·>0”是“△ABC是钝角三角形”的(  )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8.已知集合P={x|x2-2x-8>0},Q={x|x≥a},P∪Q=R,则a的取值范围是(  )
A.(-2,+∞) B.(4,+∞) C.(-∞,-2] D.(-∞,4]
9.下列说法正确的是(  )
A.命题“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2=1,则x≠1”
B.“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件
C.命题“ x∈R,使得x2+x+1<0”的否定是“ x∈R,均有x2+x+1<0”
D.命题“若x=y,则sin x=sin y”的逆否命题为真命题
10.设命题p:若定义域为R的函数f(x)不是偶函数,则 x∈R,f(-x)≠f(x).命题q:f(x)=x|x|在(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数.则下列判断错误的是(  )
A.p为假命题 B.﹁q为真命题 C.p∨q为真命题 D.p∧q为假命题
11.已知命题“ x∈R,4x2+(a-2)x+≤0”是假命题,则实数a的取值范围为(  )
A.(-∞,0) B.[0,4] C.[4,+∞) D.(0,4)
12.下列判断正确的是(  )
A.若事件A与事件B互斥,则事件A与事件B对立
B.函数y=+(x∈R)的最小值为2
C.若直线(m+1)x+my-2=0与直线mx-2y+5=0互相垂直,则m=1
D.“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的充分不必要条件
二、填空题
13.已知=2+i,则 (z的共轭复数)为________.
14.设P,Q为两个非空实数集合,定义集合P*Q={z|z=ab,a∈P,b∈Q},若P={1,2},Q={-1,0,1},则集合P*Q中元素的个数为________.
15.下列命题中:① x∈,x>sin x;②在△ABC中,若A>B,则sin A>sin B;③函数f(x)=tan x的图象的一个对称中心是;④ x0∈R,sin x0cos x0=,是真命题的有________.(填序号)
16.已知命题p: x∈[0,1],a≥2x;命题q: x∈R,使得x2+4x+a=0.若命题“p∨q”是真命题,“﹁p∧q”是假命题,则实数a的取值范围为________.
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2023版高考二轮专题复习学案 专题一 集合、复数、常用逻辑用语 1/1
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