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18.1 平行四边形
第1课时 平行四边形的边、角性质
夯基训练
知识点1 平行四边形的定义
1.如图,在平行四边形ABCD中,EF∥AD,HN∥AB,EF与HN相交于点O,则图中共有平行四边形( )2·1·c·n·j·y版权所有
A.12个 B.9个 C.7个 D.5个
2.(2016·泰安)如图,在 ABCD中,AB=6,BC=8,∠C的平分线交AD于E,交BA的延长线于F,则AE+AF的值等于( )21·世纪*教育网
A.2 B.3 C.4 D.6
3如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠1＝∠2.求证：四边形ABCD是平行四边形．
知识点2 平行四边形的性质——对边相等
4.已知 ABCD的周长为32,AB=4,则BC等于( )
A.4 B.12 C.24 D.28
5.如图,在 ABCD中,BM是∠ABC的平分线,交CD于点M,且MC=2, ABCD的周长是14,则DM等于( )2-1-c-n-j-y
A.1 B.2 C.3 D.4
6.如图, ABCD中,E,F是对角线BD上的两点,如果添加一个条件,使△ABE≌△CDF,则添加的条件不能为( )21【来源：21·世纪·教育·网】
A.BE=DF B.BF=DE
C.AE=CF D.∠1=∠2
7.(2016·福州)在平面直角坐标系中,已知 ABCD的三个顶点坐标分别是A(m,n),B(2,-1),C(-m,-n),则点D的坐标是( )【来源：21cnj*y.co*m】
A.(-2,1) B.(-2,-1)
C.(-1,-2) D.(-1,2)
知识点3平行四边形的性质——对角相等
8.如图,在 ABCD中,M是BC延长线上的一点,若∠A=135°,则∠MCD的度数是( )21cnjy21-cn-jy.com
A.45° B.55° C.65° D.75°
9.如图,在 ABCD中,CE⊥AB,E为垂足,如果∠A=120°,那么∠BCE的度数是( )
A.80° B.50° C.40° D.30°
10.已知 ABCD中,∠A+∠C=200°,则∠B的度数是( )
A.100° B.160° C.80° D.60°
知识点4平行线之间的距离
11.如图,a∥b,AB∥CD,CE⊥b,FG⊥b,E,G为垂足,则下列说法不正确的是( )
A.AB=CD
B.EC=FG
C.A,B两点间的距离就是线段AB的长度
D.a与b的距离就是线段CD的长度
12.如图，已知l1∥l2，点E，F在l1上，点G，H在l2上，试说明△EGO与△FHO面积相等．
题型总结
题型1 利用平行四边形的性质求边长
13.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，点D，E，F分别是AC，BC，BA延长线上的点，四边形ADEF为平行四边形，DE＝2，则AD＝________．
题型2 利用平行四边形的性质求角
如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AB于E，若∠A＝125°，则∠BCE的度数为( )
A．35° B．55°
C．25° D．30°
题型3利用平行四边形边角性质进行计算
15.如图, ABCD中,BD⊥AD,∠A=45°,E,F分别是AB,CD上的点,且BE=DF,连接EF交BD于O.原创作品21·世纪*教育网
(1)求证:BO=DO;
(2)若EF⊥AB,延长EF交AD的延长线于G,当FG=1时,求AD的长.
题型4 利用平行四边形的性质证明有关结论
16.(2016·西宁)如图,在 ABCD中,E是BC的中点,连接AE并延长交DC的延长线于点F.
(1)求证:AB=FC;
(2)连接DE,若AD=2AB,求证:DE⊥AF.
17.如图，点G、E、F分别在平行四边形ABCD的边AD、DC和BC上，DG＝DC，CE＝CF，点P是射线GC上一点，连接FP，EP.求证：FP＝EP.
题型5判断直线的位置关系
18.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2AD，M为AB的中点，连接DM、MC，试问直线DM和MC有何位置关系？请证明．
拓展培优
拓展角度1利用平行四边形的定义和性质探究实际问题
19如图所示的是某城市部分街道示意图,AF∥BC,EC⊥BC,BA∥DE,BD∥AE.甲、乙两人同时从B站乘车到F站,甲乘1路车,路线是B→A→E→F,乙乘2路车,路线是B→D→C→F.假设两车速度相同,途中耽误时间相同,那么谁先到达F站 请说明理由.
拓展角度2利用平行四边形的定义和性质探究线段的和的问题(归一法)
20.如图,△ABC是边长为a的等边三角形,P是△ABC内的任意一点,过点P作EF∥AB分别交AC,BC于点E,F,过点P作GH∥BC分别交AB,AC于点G,H,过点P作MN∥AC分别交AB,BC于点M,N,猜想EF+GH+MN的值是多少.其值是否随点P位置的改变而改变 并说明理由.21**com2-1-c-n-j-y
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18.1 平行四边形
第1课时 平行四边形的边、角性质
参考答案与试题解析
夯基训练
知识点1 平行四边形的定义
1.如图,在平行四边形ABCD中,EF∥AD,HN∥AB,EF与HN相交于点O,则图中共有平行四边形( )2·1·c·n·j·y版权所有
A.12个 B.9个 C.7个 D.5个
1.【答案】B
解：此题易错在平行四边形数不全.解决的技巧是有序思维,即在思考问题时一定要有顺序.此题可按照平行四边形的组成来数,独立的平行四边形有:四边形AEOH,四边形HOFD,四边形EBNO,四边形ONCF;由两个平行四边形组成的平行四边形有:四边形AEFD,四边形EBCF,四边形ABNH,四边形HNCD;由四个平行四边形组成的平行四边形是四边形ABCD,所以共有9个.
2.(2016·泰安)如图,在 ABCD中,AB=6,BC=8,∠C的平分线交AD于E,交BA的延长线于F,则AE+AF的值等于( )21·世纪*教育网
A.2 B.3 C.4 D.6
2.【答案】C
解：由平行四边形的性质和角平分线的定义得出∠F=∠FCB,所以BF=BC=8,同理,DE=CD=6,求出AF=BF-AB=2,AE=AD-DE=2,即可得出结果.
3如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠1＝∠2.求证：四边形ABCD是平行四边形．
3解析：根据三角形内角和定理求出∠DAC＝∠ACB，根据平行线的判定推出AD∥BC，AB∥CD，根据平行四边形的定义推出即可．
证明：∵∠1＋∠B＋∠ACB＝180°，∠2＋∠D＋∠CAD＝180°，∠B＝∠D，∠1＝∠2，∴∠DAC＝∠ACB，∴AD∥BC.∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．
方法总结：平行四边形的定义既是平行四边形的性质，也是判断一个四边形是平行四边形的重要方法．
知识点2 平行四边形的性质——对边相等
4.已知 ABCD的周长为32,AB=4,则BC等于( )
A.4 B.12 C.24 D.28
4.【答案】B
解：根据平行四边形对边相等可知BC===12.
5.如图,在 ABCD中,BM是∠ABC的平分线,交CD于点M,且MC=2, ABCD的周长是14,则DM等于( )2-1-c-n-j-y
A.1 B.2 C.3 D.4
5.【答案】C
6.如图, ABCD中,E,F是对角线BD上的两点,如果添加一个条件,使△ABE≌△CDF,则添加的条件不能为( )21【来源：21·世纪·教育·网】
A.BE=DF B.BF=DE
C.AE=CF D.∠1=∠2
6.【答案】C
解：A.当BE=DF时,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,
∴∠ABE=∠CDF.
在△ABE和△CDF中,
∴△ABE≌△CDF(SAS),故此选项不符合题意;
B.当BF=DE时,
可得BE=DF,
同选项A可证明△ABE≌△CDF(SAS),故此选项不符合题意;
C.当AE=CF时无法得出△ABE≌△CDF,故此选项符合题意;
D.当∠1=∠2时,
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,
∴∠ABE=∠CDF.
在△ABE和△CDF中,
∴△ABE≌△CDF(ASA),故此选项不符合题意;
故选C.
7.(2016·福州)在平面直角坐标系中,已知 ABCD的三个顶点坐标分别是A(m,n),B(2,-1),C(-m,-n),则点D的坐标是( )【来源：21cnj*y.co*m】
A.(-2,1) B.(-2,-1)
C.(-1,-2) D.(-1,2)
7.【答案】A
解：由点的坐标特征得出点A和点C关于原点对称,由平行四边形的性质得出点D和点B关于原点对称,即可得出点D的坐标.
知识点3平行四边形的性质——对角相等
8.如图,在 ABCD中,M是BC延长线上的一点,若∠A=135°,则∠MCD的度数是( )21cnjy21-cn-jy.com
A.45° B.55° C.65° D.75°
8.【答案】A
解：因为四边形ABCD为平行四边形,所以所以∠A=∠DCB.因为∠A=135°所以∠DCB=135°,所以∠DCM=180°-135°=45°
9.如图,在 ABCD中,CE⊥AB,E为垂足,如果∠A=120°,那么∠BCE的度数是( )
A.80° B.50° C.40° D.30°
9.【答案】D
解：因为四边形ABCD为平行四边形,所以AB∥CD.因为∠A=120°,CE⊥AB,所以∠DCB=120°,∠ECD=90°.所以∠BCE=∠DCB-∠ECD=120°-90°=30°
10.已知 ABCD中,∠A+∠C=200°,则∠B的度数是( )
A.100° B.160° C.80° D.60°
10.【答案】C
解：根据∠A与∠C为平行四边形ABCD的对角且∠A+∠C=200°,可知∠A=100°.又∵∠A+∠B=180°,∴∠B=80°
知识点4平行线之间的距离
11.如图,a∥b,AB∥CD,CE⊥b,FG⊥b,E,G为垂足,则下列说法不正确的是( )
A.AB=CD
B.EC=FG
C.A,B两点间的距离就是线段AB的长度
D.a与b的距离就是线段CD的长度
11.【答案】D
12.如图，已知l1∥l2，点E，F在l1上，点G，H在l2上，试说明△EGO与△FHO面积相等．
12.解析：结合平行线间的距离相等和三角形的面积公式即可证明．
证明：∵l1∥l2，∴点E，F到l2之间的距离都相等，设为h.∴S△EGH＝GH·h，
S△FGH＝GH·h，∴S△EGH＝S△FGH，∴S△EGH－S△GOH＝S△FGH－S△GOH，∴△EGO的面积等于△FHO的面积．
方法总结：根据两平行线间的距离可知，夹在两条平行线间的任何平行线段都相等，而后可推出两三角形同底等高，面积相等．
题型总结
题型1 利用平行四边形的性质求边长
13.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，点D，E，F分别是AC，BC，BA延长线上的点，四边形ADEF为平行四边形，DE＝2，则AD＝________．
13.解析：∵四边形ADEF为平行四边形，∴DE＝AF＝2，AD＝EF，AD∥EF，∴∠ACB＝∠FEB.∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B，∴∠FEB＝∠B，∴EF＝BF.∴AD＝BF，∵AB＝5，∴BF＝5＋2＝7，∴AD＝7.
方法总结：本题考查了平行四边形对边平行且相等的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握各性质是解题的关键．
题型2 利用平行四边形的性质求角
如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AB于E，若∠A＝125°，则∠BCE的度数为( )
A．35° B．55°
C．25° D．30°
14.解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°.∵∠A＝125°，∴∠B＝55°.∵CE⊥AB于E，∴∠BEC＝90°，∴∠BCE＝90°－55°＝35°.故选A.
方法总结：平行四边形对角相等，邻角互补，并且已知一个角或已知两个邻角的关系，可求出其他角，所以利用该性质可以解决和角度有关的问题．
题型3利用平行四边形边角性质进行计算
15.如图, ABCD中,BD⊥AD,∠A=45°,E,F分别是AB,CD上的点,且BE=DF,连接EF交BD于O.原创作品21·世纪*教育网
(1)求证:BO=DO;
(2)若EF⊥AB,延长EF交AD的延长线于G,当FG=1时,求AD的长.
15.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DC=AB,DC∥AB,
∴∠ODF=∠OBE.
在△ODF和△OBE中,
∴△ODF≌△OBE(AAS),
∴BO=DO.
(2)解:∵BD⊥AD,
∴∠ADB=90°,
又∵∠A=45°,
∴△ABD是等腰直角三角形,
∴AD=BD.
∵EF⊥AB,∠A=45°,
∴∠G=∠A=45°,
又∵BD⊥AD,
∴△ODG是等腰直角三角形,
∴DO=DG.
∵AB∥CD,EF⊥AB,
∴DF⊥OG,
又∵∠G=45°,
∴△DFG是等腰直角三角形,
∴DF=FG=1,
∴DG==.
又DO=DG,
∴DO=,由(1)知DO=BO,
∴BD=BO+DO=2DO=2,
又AD=BD,∴AD=2.
题型4 利用平行四边形的性质证明有关结论
16.(2016·西宁)如图,在 ABCD中,E是BC的中点,连接AE并延长交DC的延长线于点F.
(1)求证:AB=FC;
(2)连接DE,若AD=2AB,求证:DE⊥AF.
16.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥DF.∴∠ABE=∠FCE.
∵E为BC中点,∴BE=CE.
在△ABE与△FCE中,
∴△ABE≌△FCE(ASA).
∴AB=FC.
(2)∵AD=2AB,AB=FC=CD,
∴AD=DF.
∵△ABE≌△FCE,
∴AE=FE.∴DE⊥AF.
17.如图，点G、E、F分别在平行四边形ABCD的边AD、DC和BC上，DG＝DC，CE＝CF，点P是射线GC上一点，连接FP，EP.求证：FP＝EP.
17.解析：根据平行四边形的性质推出∠DGC＝∠GCB，根据等腰三角形性质求出∠DGC＝∠DCG，推出∠DCG＝∠GCB，根据“等角的补角相等”求出∠DCP＝∠FCP，根据“SAS”证出△PCF≌△PCE即可得出结论．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DGC＝∠GCB.∵DG＝DC，∴∠DGC＝∠DCG，∴∠DCG＝∠GCB.∵∠DCG＋∠ECP＝180°，∠GCB＋∠FCP＝180°，∴∠ECP＝∠FCP.在△PCF和△PCE中，∵∴△PCF≌△PCE(SAS)，∴PF＝PE.
方法总结：平行四边形性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定等常综合应用，利用平行四边形的性质可以解决一些相等的问题，在证明时应用较多．
题型5判断直线的位置关系
18.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2AD，M为AB的中点，连接DM、MC，试问直线DM和MC有何位置关系？请证明．
18.解析：由AB＝2AD，M是AB的中点的位置关系，可得出DM、CM分别是∠ADC与∠BCD的平分线．又由平行线的性质可得∠ADC＋∠BCD＝180°，进而可得出DM与MC的位置关系．
解：DM与MC互相垂直．证明如下：∵M是AB的中点，∴AB＝2AM.又∵AB＝2AD，∴AM＝AD，∴∠ADM＝∠AMD.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠AMD＝∠MDC，∴∠ADM＝∠MDC，则∠MDC＝∠ADC，同理∠MCD＝∠BCD.∵AD∥BC，∴∠ADC＋∠DCB＝180°，∴∠MDC＋∠MCD＝∠BCD＋∠ADC＝90°.∵∠MDC＋∠MCD＋∠DMC＝180°，∴∠DMC＝90°，∴DM与MC互相垂直．
方法总结：根据平行四边形的性质，将已知条件转化到同一个三角形中，即可判断两条直线的关系．
拓展培优
拓展角度1利用平行四边形的定义和性质探究实际问题
19如图所示的是某城市部分街道示意图,AF∥BC,EC⊥BC,BA∥DE,BD∥AE.甲、乙两人同时从B站乘车到F站,甲乘1路车,路线是B→A→E→F,乙乘2路车,路线是B→D→C→F.假设两车速度相同,途中耽误时间相同,那么谁先到达F站 请说明理由.
19.解:两人同时到达F站.理由如下:
∵BA∥DE,BD∥AE,
∴四边形ABDE是平行四边形.
∴BA=DE,BD=AE,
①且S△ABD=S△ADE.
∵AF∥BC,EC⊥BC,∴EC⊥AF.
∴EF为△ADE的边AD上的高,CF与△ABD的边AD上的高相等.
∴S△ABD=AD·CF,S△ADE=AD·EF.
∵S△ABD=S△ADE,∴CF=EF.②
∴DF为EC的垂直平分线,
∴DC=DE.
又BA=DE,∴DC=BA.③
由①②③得BA+AE+EF=BD+DC+CF.
又∵两人同时出发,两车速度相同,途中耽误时间相同,∴两人同时到达F站.
拓展角度2利用平行四边形的定义和性质探究线段的和的问题(归一法)
20.如图,△ABC是边长为a的等边三角形,P是△ABC内的任意一点,过点P作EF∥AB分别交AC,BC于点E,F,过点P作GH∥BC分别交AB,AC于点G,H,过点P作MN∥AC分别交AB,BC于点M,N,猜想EF+GH+MN的值是多少.其值是否随点P位置的改变而改变 并说明理由.21**com2-1-c-n-j-y
20.解:EF+GH+MN=2a,EF+GH+MN的值不随点P位置的改变而改变.理由如下:
∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠B=∠C=60°.
∵GH∥BC,∴∠AGH=∠B=60°,∠AHG=∠C=60°.
∴△AGH是等边三角形,
∴GH=AG=AM+MG.①
同理△BMN是等边三角形,
∴MN=MB=MG+GB.②
∵MN∥AC,EF∥AB,
∴四边形AMPE是平行四边形,
∴PE=AM.
同理可证四边形BFPG是平行四边形.∴PF=GB.
∴EF=PE+PF=AM+GB.③
由①②③,得
EF+GH+MN=(AM+GB)+(AM+MG)+(MG+GB)=2(AM+MG+GB)=2AB=2a,是一个定值,不随点P位置的改变而改变.
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