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18.1 平行四边形
第2课时 平行四边形的对角线的特征
参考答案与试题解析
夯基训练
知识点1 平行四边形的性质——对角线互相平分
1.已知 ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，求这个平行四边形各边的长．
解析：平行四边形周长为60cm，即相邻两边之和为30cm.△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，而AO为共用，OB＝OD，因而由题可知AB比AD长5cm，进一步解答即可．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC.∵△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，∴AB－AD＝5cm，又∵ ABCD的周长为60cm，∴AB＋AD＝30cm，则AB＝CD＝cm，AD＝BC＝cm.
方法总结：平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形的周长之差等于邻边边长之差．
2.如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,则下列说法一定正确的是( )
A.AO=OD B.AO⊥OD
C.AO=OC D.AO⊥AB
2.【答案】C
解：根据对角线互相平分的性质可知
3.如图,在平行四边形ABCD中,AB=3 cm,BC=5 cm,对角线AC,BD相交
于点O,则OA的取值范围是( )
A.2 cmC.1 cm3【答案】C
解：根据对角线互相平分的性质可知A0=AC，根据三角形三边关系可知2 cm4.如图, ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AB⊥AC.若
AB=4,AC=6,则BD的长是( )
A.8 B.9 C.10 D.11
4.【答案】C
解：在 ABCD中,OA=OC,OB=OD,所以AO=AC=3.在Rt△AOB中,根据勾股定理得OB===5,所以BD=2OB=2×5=10.
5.如图,在 ABCD中,对角线AC与BD交于点O,AE⊥BD于E,CF⊥BD于F,则图中全等的三角形共有( )2·1·c·n·j·y
A.7对 B.6对
C.5对 D.4对
5.【答案】A
知识点2 平行四边形的面积
6.将一张平行四边形的纸片折一次,使得折痕平分这个平行四边形的面积.则这样的折纸方法共有( )
A.1种 B.2种 C.4种 D.无数种
6.【答案】D
解：此题易错选B,原因是只注意到对角线平分平行四边形的面积,而忽略任意一条过平行四边形对角线交点的直线都平分这个平行四边形的面积,实际上这样的折纸方法有无数种.
7.如图,在平行四边形ABCD中,AC,BD为对角线,BC=6,BC边上的高为4,则图中阴影部分的面积为( )21·世纪*教育网
A.3 B.6 C.12 D.24
7.【答案】C
解：本题运用了割补法,将分散的阴影部分通过割补转化为规则的几何阴影图形,从而求出面积.
题型总结
题型1 利用平行四边形的对角线性质证明线段相等(构造法)
8.如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F.求证：OE＝OF.
8.解析：根据平行四边形的性质得出OD＝OB，DC∥AB，推出∠FDO＝∠EBO，证出△DFO≌△BEO即可．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD＝OB，DC∥AB，∴∠FDO＝∠EBO.在△DFO和△BEO中，∴△DFO≌△BEO(ASA)，∴OE＝OF.
方法总结：利用平行四边形的性质解决线段的问题时，要注意运用平行四边形的对边相等，对角线互相平分的性质．
9.如图,已知 ABCD和 EBFD的顶点A,E,F,C在一条直线上,求证:AE=CF.
9.证明:如图,连接BD交AC于O,
∵四边形ABCD和四边形EBFD都为平行四边形,∴OA=OC,OE=OF,
∴OA-OE=OC-OF,即AE=CF.
题型2利用平行四边形平行性质求面积
10.在 ABCD中，
(1)如图①，O为对角线BD、AC的交点．求证：S△ABO＝S△CBO；
(2)如图②，设P为对角线BD上任一点(点P与点B、D不重合)，S△ABP与S△CBP仍然相等吗？若相等，请证明；若不相等，请说明理由．
10.解析：(1)根据“平行四边形的对角线互相平分”可得AO＝CO，再根据等底等高的三角形的面积相等解答；(2)根据平行四边形的性质可得点A、C到BD的距离相等，再根据等底等高的三角形的面积相等解答．
(1)证明：在 ABCD中，AO＝CO.设点B到AC的距离为h，则S△ABO＝AO·h，S△CBO＝CO·h，∴S△ABO＝S△CBO；
(2)解：S△ABP＝S△CBP.理由如下：在 ABCD中，点A、C到BD的距离相等，设为h，则S△ABP＝BP·h，S△CBP＝BP·h，∴S△ABP＝S△CBP.
方法总结：平行四边形的对角线将平行四边形分成四个面积相等的三角形．另外，等底等高的三角形的面积相等．
11.如图,已知点A(-4,2),B(-1,-2), ABCD的对角线交于坐标原点O.
(1)请直接写出点C,D的坐标;
(2)写出从线段AB到线段DC的变换过程;
(3)直接写出 ABCD的面积.
11.解:(1)C(4,-2),D(1,2).
(2)线段AB向右平移5个单位长度得到线段DC.
(3)S ABCD=20.
题型3判断直线的位置关系
12.如图，平行四边形ABCD中，AC、BD交于O点，点E、F分别是AO、CO的中点，试判断线段BE、DF的关系并证明你的结论．
12解析：根据平行四边形的性质“对角线互相平分”得出OA＝OC，OB＝OD.利用中点的意义得出OE＝OF，从而利用△FOD≌△EOB可得出BE＝DF，BE∥DF.
解：BE＝DF，BE∥DF.理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵E、F分别是OA、OC的中点，∴OE＝OF，又∵∠FOD＝∠EOB，∴△FOD≌△EOB(SAS)，∴BE＝DF，∠ODF＝∠OBE，∴BE∥DF.
方法总结：在解决平行四边形的问题时，如果有对角线的条件时，则首选对角线互相平分的方法解决问题．
拓展培优
拓展角度1利用平行四边形平行性质求面积
13.(2016·永州)如图,四边形ABCD为平行四边形,∠BAD的平分线AE交CD于点F,交BC的延长线于点E.版权所有
(1)求证:BE=CD;
(2)连接BF,若BF⊥AE,∠BEA=60°,AB=4,求 ABCD的面积.
13.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,BA=CD.
∴∠DAE=∠E.
又∵AE平分∠BAD,
∴∠BAE=∠DAE.
∴∠BAE=∠E.
∴BA=BE,∴BE=CD.
(2)解:∵∠BEA=60°,BA=BE,
∴△ABE为等边三角形.
∵BF⊥AE,∴F为AE的中点,
∴AF=EF.
在△AFD和△EFC中,
∴△AFD≌△EFC(ASA).
∴△AFD的面积等于△EFC的面积.
∴ ABCD的面积等于△ABE的面积.
在Rt△ABF中,AB=4,AF=EF=2,∴BF=2.
∴△ABE的面积为×4×2=4.
∴ ABCD的面积为4.
拓展角度2利用平行四边形对角线性质探究面积
14.探究:如图①, ABCD中,AC,BD交于点O,过点O的直线交AD于E,交BC于F.
(1)求证:四边形AEFB与四边形DEFC的周长相等.
(2)直线EF是否将 ABCD的面积分成二等份 试说明理由.
应用:张大爷家有一块平行四边形的菜园,园中有一口水井P,如图②所示,张大爷计划把菜园平均分成两块分别种植西红柿和茄子,且使两块地共用这口水井,请你帮助张大爷把地分开.ww1-cn-jy.com
14.探究:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,AD∥BC.
∴∠EAO=∠FCO.
又∵∠AOE=∠COF,
∴△AOE≌△COF.∴AE=CF.同理可证△DOE≌△BOF,
∴DE=BF.又∵AB=DC,
∴AE+EF+BF+AB=CF+EF+DE+DC.
即四边形AEFB与四边形DEFC的周长相等.
(2)解:是.理由如下:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD.
∴∠OAB=∠OCD.
又∵∠AOB=∠COD,
∴△AOB≌△COD.
∴S△AOB=S△COD.由(1)知,△AOE≌△COF,△DOE≌△BOF,∴S△AOE=S△COF,S△DOE=S△BOF.∴S△AOE+S△AOB+S△BOF=S△COF+S△COD+S△DOE,即直线EF将 ABCD的面积分成二等份.
应用:连接AC,BD交于点O,作直线OP,则直线OP两旁的四边形面积相等.
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18.1 平行四边形
第2课时 平行四边形的对角线的特征
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知识点1 平行四边形的性质——对角线互相平分
1.已知 ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，求这个平行四边形各边的长．
2.如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,则下列说法一定正确的是( )
A.AO=OD B.AO⊥OD
C.AO=OC D.AO⊥AB
3.如图,在平行四边形ABCD中,AB=3 cm,BC=5 cm,对角线AC,BD相交
于点O,则OA的取值范围是( )
A.2 cmC.1 cm4.如图, ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AB⊥AC.若
AB=4,AC=6,则BD的长是( )
A.8 B.9 C.10 D.11
5.如图,在 ABCD中,对角线AC与BD交于点O,AE⊥BD于E,CF⊥BD于F,则图中全等的三角形共有( )2·1·c·n·j·y
A.7对 B.6对
C.5对 D.4对
知识点2 平行四边形的面积
6.将一张平行四边形的纸片折一次,使得折痕平分这个平行四边形的面积.则这样的折纸方法共有( )
A.1种 B.2种 C.4种 D.无数种
7.如图,在平行四边形ABCD中,AC,BD为对角线,BC=6,BC边上的高为4,则图中阴影部分的面积为( )21·世纪*教育网
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题型总结
题型1 利用平行四边形的对角线性质证明线段相等(构造法)
8.如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F.求证：OE＝OF.
9.如图,已知 ABCD和 EBFD的顶点A,E,F,C在一条直线上,求证:AE=CF.
题型2利用平行四边形平行性质求面积
10.在 ABCD中，
(1)如图①，O为对角线BD、AC的交点．求证：S△ABO＝S△CBO；
(2)如图②，设P为对角线BD上任一点(点P与点B、D不重合)，S△ABP与
S△CBP仍然相等吗？若相等，请证明；若不相等，请说明理由．
11.如图,已知点A(-4,2),B(-1,-2), ABCD的对角线交于坐标原点O.
(1)请直接写出点C,D的坐标;
(2)写出从线段AB到线段DC的变换过程;
(3)直接写出 ABCD的面积.
题型3判断直线的位置关系
12.如图，平行四边形ABCD中，AC、BD交于O点，点E、F分别是AO、CO的中点，试判断线段BE、DF的关系并证明你的结论．
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拓展角度1利用平行四边形平行性质求面积
13.(2016·永州)如图,四边形ABCD为平行四边形,∠BAD的平分线AE交CD于点F,交BC的延长线于点E.版权所有
(1)求证:BE=CD;
(2)连接BF,若BF⊥AE,∠BEA=60°,AB=4,求 ABCD的面积.
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14.探究:如图①, ABCD中,AC,BD交于点O,过点O的直线交AD于E,交BC于F.
(1)求证:四边形AEFB与四边形DEFC的周长相等.
(2)直线EF是否将 ABCD的面积分成二等份 试说明理由.
应用:张大爷家有一块平行四边形的菜园,园中有一口水井P,如图②所示,张大爷计划把菜园平均分成两块分别种植西红柿和茄子,且使两块地共用这口水井,请你帮助张大爷把地分开.ww1-cn-jy.com
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