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18.1.2平行四边形的判定
平行四边形的判定1
夯基训练
知识点1 由两组对边分别平行或相等判定平行四边形
1.如图，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD、等边△ACE、等边△BCF.试说明四边形DAEF是平行四边形．
2.(2016·绍兴)小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块,为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃,她带了两块碎玻璃,其编号应该是( )21cnjy.com
A.①② B.①④ C.③④ D.②③
知识点2 由两组对角分别相等判定平行四边形
3. 如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝55°，∠1＝85°，∠2＝40°.
(1)求∠D的度数；
(2)求证：四边形ABCD是平行四边形．
4.下列给出的条件中,能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A.AB∥CD,AD=BC B.AB=AD,CB=CD
C.AB=CD,AD=BC D.∠B=∠C,∠A=∠D
知识点3由对角线互相平分判定平行四边形
5.如图,四边形ABCD的对角线相交于点O,AO=CO,请添加一个条件 (只添一个即可),使四边形ABCD是平行四边形. 【来源：21·世纪·教育·网】
6.如图所示,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点E,∠CBD=90°,BC=4,BE=ED=3,AC=10,则四边形ABCD的面积为( )
A.6 B.12 C.20 D.24
题型总结
题型1 利用两组对边的关系判定平行四边形
7.(2016·徐州)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,∠BAC=60°,△ACD是等边三角形,E是AC的中点,连接BE并延长,交DC于点F,求证:
(1)△ABE≌△CFE;
(2)四边形ABFD是平行四边形.
题型2 利用对角线的关系判定平行四边形
8如图，AB、CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E、F分别是OC、OD的中点．求证：
(1)△AOC≌△BOD；
(2)四边形AFBE是平行四边形．
9.(2016·张家界)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,E是BC的中点,直线AE交DC的延长线于点F.试判断四边形ABFC的形状,并说明理由.
题型3利用平行四边形的判定定理证明线段或角相等
如图，在平行四边形ABCD中，AC交BD于点O，点E，点F分别是OA，OC的中点，请判断线段DE，BF的位置关系和数量关系，并说明你的结论．
拓展培优
拓展角度1利用平行四边形的判定和对角线性质证两线段互相平分
11.已知:如图,E,F分别为 ABCD中AD,BC的中点,分别连接AF,BE交于点G,连接CE,DF交于点H.版权所有
求证:EF与GH互相平分.
拓展角度2利用平行四边形的性质和判定探究四边形的形状
12.如图,已知点E,C在线段BF上,BE=EC=CF,AB∥DE,∠ACB=∠F.
(1)求证:△ABC≌△DEF;
(2)试判断四边形AECD的形状,并证明你的结论.
拓展角度3平行四边形的判定定理的综合运用
13.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)连接BF、DE，试判断四边形BFDE是什么样的四边形？写出你的结论并予以证明．
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18.1.2平行四边形的判定
第1课时 平行四边形的判定1
参考答案与试题解析
夯基训练
知识点1 由两组对边分别平行或相等判定平行四边形
1.如图，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD、等边△ACE、等边△BCF.试说明四边形DAEF是平行四边形．
1..解析：根据题意，利用全等可证明AD＝FE，DF＝AE，从而可判断四边形DAEF为平行四边形．
解：∵△ABD和△FBC都是等边三角形，∴∠DBF＋∠FBA＝∠ABC＋∠ABF＝60°，∴∠DBF＝∠ABC.又∵BD＝BA，BF＝BC，∴△ABC≌△DBF(SAS)，∴AC＝DF＝AE.同理可证△ABC≌△EFC，∴AB＝EF＝AD，∴四边形DAEF是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)．
方法总结：利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”时，证明边相等，可通过证明三角形全等解决．
2.(2016·绍兴)小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块,为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃,她带了两块碎玻璃,其编号应该是( )21cnjy.com
A.①②
B.①④
C.③④
D.②③
2.【答案】D
解：∵只有②③两块角的两边互相平行,角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点,∴带②③两块碎玻璃,就可以确定平行四边形的大小.故选D.
知识点2 由两组对角分别相等判定平行四边形
3. 如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝55°，∠1＝85°，∠2＝40°.
(1)求∠D的度数；
(2)求证：四边形ABCD是平行四边形．
3.解析：(1)可根据三角形的内角和为180°得出∠D的大小；(2)根据“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”进行证明．
(1)解：∵∠D＋∠2＋∠1＝180°，∴∠D＝180°－∠2－∠1＝180°－40°－85°＝55°；
(2)证明：∵AB∥DC，∴∠2＝∠CAB＝40°，∠DCB＋∠B＝180°，∴∠DAB＝∠1＋∠CAB＝125°，∠DCB＝180°－∠B＝125°，∴∠DAB＝∠DCB.又∵∠D＝∠B＝55°，∴四边形ABCD是平行四边形．
方法总结：根据两组对角分别相等判断四边形是平行四边形，是解题的常用思路．
4.下列给出的条件中,能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A.AB∥CD,AD=BC B.AB=AD,CB=CD
C.AB=CD,AD=BC D.∠B=∠C,∠A=∠D
4.【答案】C
解：A.根据AB∥CD,AD=BC不能判定四边形ABCD是平行四边形,故本选项错误;B.根据AB=AD,CB=CD不能判定四边形ABCD是平行四边形,故本选项错误;C.根据AB=CD,AD=BC,得出四边形ABCD是平行四边形,故本选项正确;D.根据∠B=∠C,∠A=∠D不能判定四边形ABCD是平行四边形,故本选项错误.
知识点3由对角线互相平分判定平行四边形
5.如图,四边形ABCD的对角线相交于点O,AO=CO,请添加一个条件 (只添一个即可),使四边形ABCD是平行四边形. 【来源：21·世纪·教育·网】
5.【答案】BO=DO(答案不唯一)
6.如图所示,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点E,∠CBD=90°,BC=4,BE=ED=3,AC=10,则四边形ABCD的面积为( )
A.6 B.12 C.20 D.24
6.【答案】D
解：∵BE=ED=3，∴BD=6,又∵∠CBD=90°，BC=4.∴三角形BCD的面积是==12,∴四边形形ABCD的面积是24.
题型总结
题型1 利用两组对边的关系判定平行四边形
7.(2016·徐州)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,∠BAC=60°,△ACD是等边三角形,E是AC的中点,连接BE并延长,交DC于点F,求证:
(1)△ABE≌△CFE;
(2)四边形ABFD是平行四边形.
7.证明:(1)∵△ACD是等边三角形,
∴∠DCA=60°.
∵∠BAC=60°,∴∠DCA=∠BAC.
∵E是AC的中点,∴AE=CE.
在△ABE与△CFE中,
∴△ABE≌△CFE.
(2)∵E是AC的中点,∴AE=AC.
在Rt△ABC中,∠BAC=60°,∴AB=AC.
∴AB=AE.
∴△ABE是等边三角形.
∴△CFE是等边三角形.
∴∠CFE=60°.
∵△ACD是等边三角形,
∴∠CDA=60°.∴∠CFE=∠CDA.
∴BF∥AD.
又由(1)知∠DCA=∠BAC,
∴AB∥CD.
∴四边形ABFD是平行四边形.
题型2 利用对角线的关系判定平行四边形
8如图，AB、CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E、F分别是OC、OD的中点．求证：
(1)△AOC≌△BOD；
(2)四边形AFBE是平行四边形．
8.解析：(1)利用已知条件和全等三角形的判定方法即可证明△AOC≌△BOD；(2)此题已知AO＝BO，要证四边形AFBE是平行四边形，根据全等三角形，只需证OE＝OF即可．
证明：(1)∵AC∥BD，∴∠C＝∠D.在△AOC和△BOD中，∵∴△AOC≌△BOD(AAS)；
(2)∵△AOC≌△BOD，∴CO＝DO.∵E、F分别是OC、OD的中点，∴OF＝OD，OE＝OC，∴EO＝FO.又∵AO＝BO，∴四边形AFBE是平行四边形．
方法总结：在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．
9.(2016·张家界)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,E是BC的中点,直线AE交DC的延长线于点F.试判断四边形ABFC的形状,并说明理由.
9.解:四边形ABFC是平行四边形.理由如下:
∵AB∥CD,∴∠BAE=∠CFE.
∵E是BC的中点,∴BE=CE.
在△ABE和△FCE中,
∴△ABE≌△FCE(AAS).
∴AE=FE,
又∵BE=CE,
∴四边形ABFC是平行四边形.
题型3利用平行四边形的判定定理证明线段或角相等
如图，在平行四边形ABCD中，AC交BD于点O，点E，点F分别是OA，OC的中点，请判断线段DE，BF的位置关系和数量关系，并说明你的结论．
10.解析：根据平行四边形的性质“对角线互相平分”得出OA＝OC，OB＝OD.利用中点的意义得出OE＝OF，从而利用平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定四边形BFDE是平行四边形，从而得出DE＝BF，DE∥BF.
解：DE＝BF，DE∥BF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵E，F分别是OA，OC的中点，∴OE＝OF，∴四边形BFDE是平行四边形，∴DE＝BF，DE∥BF.
方法总结：平行四边形的性质也是证明线段相等或平行的重要方法．
拓展培优
拓展角度1利用平行四边形的判定和对角线性质证两线段互相平分
11.已知:如图,E,F分别为 ABCD中AD,BC的中点,分别连接AF,BE交于点G,连接CE,DF交于点H.版权所有
求证:EF与GH互相平分.
11.证明:∵E为AD的中点,F为BC的中点,
∴AE=AD,CF=BC.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC.
∴AE∥CF,AE=CF.
∴四边形AFCE是平行四边形.
∴AF∥CE,同理可证BE∥DF.
∴四边形GFHE是平行四边形.
∴EF与GH互相平分.
拓展角度2利用平行四边形的性质和判定探究四边形的形状
12.如图,已知点E,C在线段BF上,BE=EC=CF,AB∥DE,∠ACB=∠F.
(1)求证:△ABC≌△DEF;
(2)试判断四边形AECD的形状,并证明你的结论.
12.(1)证明:∵AB∥DE,
∴∠B=∠DEF.
∵BE=EC=CF,∴BC=EF.
在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF.
(2)解:四边形AECD是平行四边形.
证明:∵△ABC≌△DEF,
∴AC=DF.
∵∠ACB=∠F,∴AC∥DF.
∴四边形ACFD是平行四边形.
∴AD∥CF,AD=CF.
∵EC=CF,∴AD=EC.
又∵AD∥EC,∴四边形AECD是平行四边形.
拓展角度3平行四边形的判定定理的综合运用
13.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)连接BF、DE，试判断四边形BFDE是什么样的四边形？写出你的结论并予以证明．
13.解析：(1)根据“AAS”可证出△ABE≌△CDF；(2)首先根据△ABE≌△CDF得出AE＝FC，BE＝DF.再利用已知得出△ADE≌△CBF，进而得出DE＝BF，即可得出四边形BFDE是平行四边形．
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA.∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，∴∠AEB＝∠DFC＝90°.在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF(AAS)；
(2)解：四边形BFDE是平行四边形．理由如下：∵△ABE≌△CDF，∴AE＝FC，BE＝DF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AD∥CB，∴∠DAC＝∠BCA.在△ADE和△CBF中，∴△ADE≌△CBF(SAS)，∴DE＝BF，∴四边形BFDE是平行四边形．
方法总结：熟练运用平行四边形的性质，可证明三角形全等，证明边相等，再利用两组对边分别相等可判定四边形是平行四边形．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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