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18.1.2平行四边形的判定
平行四边形的性质和判定的应用
参考答案与试题解析
夯基训练
知识点1 由一组对边平行且相等判定平行四边形
1.(2016·湘西州)下列说法错误的是( )
A.对角线互相平分的四边形是平行四边形
B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D.一组对边相等,另一组对边平行的四边形是平行四边形
1.【答案】D
解：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故D选项错误。
2.在四边形ABCD中,AD=BC,若四边形ABCD是平行四边形,则还应满足( )
A.∠A+∠C=180° B.∠B+∠D=180°
C.∠A+∠B=180° D.∠A+∠D=180°
2.【答案】C
解：由AD=BC,需证AD//BC,故增加∠A+∠B=180°。
3.如图,在 ABCD中,点E,F分别在AD,BC上,若要使四边形AFCE是平行四边形,可以添加的条件是( )21·世纪*教育网
①AF=CF; ②AE=CE; ③BF=DE; ④AF∥CE.
①或② B.②或③ C.③或④ D.①或③
3【答案】C
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BC∥AD,AE//FC,AD=BC故增加AE=FC,或者AF//CE,∵③BF=DE∴AE=FC,故选.③或④
4.如图,在 ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点,连接DE,EF,BF,则图中平行四边形共有( )www-2-1-cnjy-com
A.2个 B.4个 C.6个 D.8个
4.【答案】B
解：共有4个,分别为 ABCD、 ADFE、 EFCB、 DEBF.
5.如图所示,在四边形ABCD中,AD∥CB,且AD>BC,BC=6 cm,动点P,Q分别从A,C同时出发,P以1 cm/s的速度由A向D运动,Q以2 cm/s的速度由C向B运动(Q运动到B时两点同时停止运动),则s后四边形ABQP为平行四边形.2-1-c-n-j-y
5.【答案】2
解：设x s后四边形ABQP为平行四边形,则AP=x cm,QC=2x cm,BQ=(6-2x)cm.
∴AP=BQ,
∴x=6-2x,∴x=2.∴2 s后四边形ABQP是平行四边形.
知识点2 利用平行四边形的性质和判定判定平行四边形
6.如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE，四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由．
6.解析：首先根据条件证明△AFD≌△CEB，可得到AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，可证出AD∥CB.根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可证出结论．
解：四边形ABCD是平行四边形．理由如下：∵DF∥BE，∴∠AFD＝∠CEB.又∵AF＝CE，DF＝BE，∴△AFD≌△CEB(SAS)，∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，∴AD∥CB，∴四边形ABCD是平行四边形．
方法总结：根据题设条件，通过证明三角形全等，得出等量关系，继而证明四边形是平行四边形是判定时的一般解题思路．
7.四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD.从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有( )
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
7.解析：①②组合可根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判定出四边形ABCD为平行四边形；③④组合可根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定出四边形ABCD为平行四边形；①③可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD＝CB，可利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判定出四边形ABCD为平行四边形；①④可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD＝CB，可利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判定出四边形ABCD为平行四边形；综上有4种可能使四边形ABCD为平行四边形．故选B.
方法总结：熟练运用平行四边形的判定定理是解决问题的关键．
题型总结
题型1利用平行四边形的性质和判定说明线段的关系
8.如图,将 ABCD的AD边延长至点E,使DE=AD,连接CE,F是BC边的中点,连接FD.
(1)求证:四边形CEDF是平行四边形;
(2)若AB=3,AD=4,∠A=60°,求CE的长.
8.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD//BC.
∵F是BC的中点,∴FC=BC.
又∵DE=AD,∴FC//DE.
∴四边形CEDF是平行四边形.
(2)解:如图,过点D作DM⊥BC于点M.
∵四边形CEDF,四边形ABCD是平行四边形,F是BC的中点,
∴CE=DF,∠DCM=∠A=60°,
FC=BC=AD=2,DC=AB=3.
在Rt△DCM中,∠CDM=90°-60°=30°,DC=3.
∴CM=.∴DM=,FM=.
在Rt△DFM中,由勾股定理可知:
DF==.
∴CE=DF=.
9.(2016·鄂州)如图,在 ABCD中,BD是它的一条对角线,过A,C两点作AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F,延长AE,CF分别交CD,AB于M,N.
(1)求证:四边形CMAN是平行四边形;
(2)已知DE=4,FN=3,求BN的长.
9.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴CD∥AB.
∵AM⊥BD,CN⊥BD,∴AM∥CN.
∴四边形CMAN是平行四边形.
(2)解:∵四边形CMAN是平行四边形,∴CM=AN.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴CD=AB,CD∥AB.
∴DM=BN,∠MDE=∠NBF.
在△MDE和△NBF中,
∴△MDE≌△NBF.
∴BF=DE=4.
在Rt△NBF中,∵∠BFN=90°,BF=4,FN=3,
∴BN==.
=5.
10.如图,在△ABC中,AB=AC,DE∥BA交AC于E,DF∥CA交AB于F,连接EF,AD,那么是否有下列结论 说明理由.2·1·c·n·j·y
(1)AD与EF互相平分;
(2)AE=BF.
10.解:结论(1)(2)都成立,理由如下:
(1)∵DE∥AB,DF∥AC,
∴四边形AFDE是平行四边形.
∴AD与EF互相平分.
(2)在 AFDE中,AE=DF,
∵AC∥DF,
∴∠C=∠FDB.
∵AB=AC,∴∠C=∠B,
∴∠B=∠FDB,∴BF=DF=AE,即AE=BF.
11.如图,将 ABCD沿过点A的直线l折叠,使点D落到AB边上的点D'处,折痕l交CD边于点E,连接BE.21·世纪*教育网
(1)求证:四边形BCED'是平行四边形;
(2)若BE平分∠ABC,求证:+=.
11.证明:(1)∵将 ABCD沿过点A的直线l折叠,使点D落到AB边上的点D'处,
∴∠DAE=∠D'AE,∠DEA=∠D'EA,∠D=∠AD'E.
∵∠D=∠CBA,∴∠AD'E=∠CBA.∴ED'∥CB.
∵EC∥D'B,
∴四边形BCED'是平行四边形.
(2)∵BE平分∠ABC,
∴∠CBE=∠EBA.
∵AD∥BC,∴∠DAB+∠CBA=180°.
∵∠DAE=∠BAE,
∴∠EAB+∠EBA=90°.
∴∠AEB=90°.∴+=.
题型2 利用平行四边形的性质和判定探究图形的形状
12.如图,E,F分别是 ABCD的AD,BC边上的点,且AE=CF.
(1)求证:△ABE≌△CDF;
(2)若M,N分别是BE,DF的中点,连接MF,EN,试判断四边形MFNE是怎样的四边形,并证明你的结论.【来源：21·世纪·教育·网】
12.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,∠A=∠C.
∵AE=CF,∴△ABE≌△CDF(SAS).
(2)解:四边形MFNE是平行四边形.证明如下:
∵△ABE≌△CDF,
∴∠AEB=∠CFD,BE=DF.
又∵M,N分别是BE,DF的中点,
∴ME=FN.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BC∥AD,
∴∠AEB=∠FBE.
∴∠CFD=∠FBE.
∴EB∥DF,即ME∥FN.
∴四边形MFNE是平行四边形.
规律总结:本题是一道猜想型问题,先猜想结论,再证明结论.本题已知一个四边形是平行四边形,借助其性质,利用平行四边形的判定方法判定另一个四边形是平行四边形.版权所有
题型3 利用平行四边形的性质和判定探究线段的和差关系(归一法)
13.在△ABC中,AB=AC,点D在边BC所在的直线上,过点D作DE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC于点F.
(1)当点D在边BC上时,如图①,求证:DE+DF=AC.
(2)当点D在边BC的延长线上时,如图②;当点D在边BC的反向延长线上时,如图③.请分别写出图②,图③中DE,DF,AC之间的数量关系,不需要证明.21cnjy.com
(3)若AC=6,DE=4,则DF=_______.
13.(1)证明:∵DE∥AC,DF∥AB,
∴∠FDC=∠B,四边形AEDF是平行四边形.
∴DE=AF.
又∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∴∠FDC=∠C,∴DF=FC.
∴DE+DF=AF+FC=AC.
(2)解:当点D在边BC的延长线上时,DE-DF=AC;
当点D在边BC的反向延长线上时,DF-DE=AC.
(3)2或10
拓展培优
拓展角度1 利用平行四边形的性质和判定探究动点问题
14.如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,BC=18 cm,CD=15 cm,AD=10 cm,AB=12 cm,动点P、Q分别从点A、C同时出发,点P以2 cm/s的速度由A向D运动,点Q以3 cm/s的速度由C向B运动.
(1)几秒后,四边形ABQP为平行四边形 并求出此时四边形ABQP的周长;
(2)几秒后,四边形PDCQ为平行四边形 并求出此时四边形PDCQ的周长.
14.解:(1)设x s后,四边形ABQP为平行四边形,由题意易得2x=18-3x,解得x=3.6,
即3.6 s后,四边形ABQP为平行四边形,此时四边形ABQP的周长是3.6×2×2+12×2=38.4(cm).
设y s后,四边形PDCQ为平行四边形.由题意易得10-2y=3y,解得y=2,即2 s后,四边形PDCQ为平行四边形,此时四边形PDCQ的周长是3×2×2+15×2=42(cm)n
拓展角度2 利用平行四边形的性质和判定求解翻折问题
15.如图,四边形ABCD是长方形纸片,翻折∠B,∠D,使BC,AD恰好落在AC上,设F,H分别是B,D落在AC上的两点,E,G分别是折痕CE,AG与AB,CD的交点.www-2-1-cnjy-com
(1)求证:四边形AECG是平行四边形;
(2)若AB=4 cm,BC=3 cm,求线段EF的长.
15.(1)证明:由题意知AD∥BC,
∴∠DAC=∠ACB,
由翻折的性质可知∠GAH=∠DAC,
∠ECF=∠ACB,
∴∠GAH=∠ECF,
∴AG∥CE.又AE∥CG,
∴四边形AECG是平行四边形.
(2)解:易得AC=5 cm,AF=2 cm,设EF=BE=x cm,则
AE=(4-x)cm,
∴(4-x)2=22+x2,解得x=.
∴EF= cm.
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18.1.2平行四边形的判定
平行四边形的性质和判定的应用
夯基训练
知识点1 由一组对边平行且相等判定平行四边形
1.(2016·湘西州)下列说法错误的是( )
A.对角线互相平分的四边形是平行四边形
B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D.一组对边相等,另一组对边平行的四边形是平行四边形
2.在四边形ABCD中,AD=BC,若四边形ABCD是平行四边形,则还应满足( )
A.∠A+∠C=180° B.∠B+∠D=180°
C.∠A+∠B=180° D.∠A+∠D=180°
3.如图,在 ABCD中,点E,F分别在AD,BC上,若要使四边形AFCE是平行四边形,可以添加的条件是( )21·世纪*教育网
①AF=CF; ②AE=CE; ③BF=DE; ④AF∥CE.
①或② B.②或③ C.③或④ D.①或③
4.如图,在 ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点,连接DE,EF,BF,则图中平行四边形共有( )www-2-1-cnjy-com
A.2个 B.4个 C.6个 D.8个
5.如图所示,在四边形ABCD中,AD∥CB,且AD>BC,BC=6 cm,动点P,Q分别从A,C同时出发,P以1 cm/s的速度由A向D运动,Q以2 cm/s的速度由C向B运动(Q运动到B时两点同时停止运动),则s后四边形ABQP为平行四边形.2-1-c-n-j-y
知识点2 利用平行四边形的性质和判定判定平行四边形
6.如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE，四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由．
7.四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD.从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有( )
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
题型总结
题型1利用平行四边形的性质和判定说明线段的关系
8.如图,将 ABCD的AD边延长至点E,使DE=AD,连接CE,F是BC边的中点,连接FD.
(1)求证:四边形CEDF是平行四边形;
(2)若AB=3,AD=4,∠A=60°,求CE的长.
9.(2016·鄂州)如图,在 ABCD中,BD是它的一条对角线,过A,C两点作AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F,延长AE,CF分别交CD,AB于M,N.
(1)求证:四边形CMAN是平行四边形;
(2)已知DE=4,FN=3,求BN的长.
10.如图,在△ABC中,AB=AC,DE∥BA交AC于E,DF∥CA交AB于F,连接EF,AD,那么是否有下列结论 说明理由.2·1·c·n·j·y
(1)AD与EF互相平分;
(2)AE=BF.
11.如图,将 ABCD沿过点A的直线l折叠,使点D落到AB边上的点D'处,折痕l交CD边于点E,连接BE.21·世纪*教育网
(1)求证:四边形BCED'是平行四边形;
(2)若BE平分∠ABC,求证:+=.
题型2 利用平行四边形的性质和判定探究图形的形状
12.如图,E,F分别是 ABCD的AD,BC边上的点,且AE=CF.
(1)求证:△ABE≌△CDF;
(2)若M,N分别是BE,DF的中点,连接MF,EN,试判断四边形MFNE是怎样的四边形,并证明你的结论.【来源：21·世纪·教育·网】
题型3 利用平行四边形的性质和判定探究线段的和差关系(归一法)
13.在△ABC中,AB=AC,点D在边BC所在的直线上,过点D作DE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC于点F.
(1)当点D在边BC上时,如图①,求证:DE+DF=AC.
(2)当点D在边BC的延长线上时,如图②;当点D在边BC的反向延长线上时,如图③.请分别写出图②,图③中DE,DF,AC之间的数量关系,不需要证明.21cnjy.com
(3)若AC=6,DE=4,则DF=_______.
拓展培优
拓展角度1 利用平行四边形的性质和判定探究动点问题
14.如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,BC=18 cm,CD=15 cm,AD=10 cm,AB=12 cm,动点P、Q分别从点A、C同时出发,点P以2 cm/s的速度由A向D运动,点Q以3 cm/s的速度由C向B运动.
(1)几秒后,四边形ABQP为平行四边形 并求出此时四边形ABQP的周长;
(2)几秒后,四边形PDCQ为平行四边形 并求出此时四边形PDCQ的周长.
拓展角度2 利用平行四边形的性质和判定求解翻折问题
15.如图,四边形ABCD是长方形纸片,翻折∠B,∠D,使BC,AD恰好落在AC上,设F,H分别是B,D落在AC上的两点,E,G分别是折痕CE,AG与AB,CD的交点.www-2-1-cnjy-com
(1)求证:四边形AECG是平行四边形;
(2)若AB=4 cm,BC=3 cm,求线段EF的长.
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