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3 万有引力定律的应用
(时间：60分钟)
知识点 基础 中档 稍难
计算天体的质量和密度 2、3 1
研究天体的运动 4 5、6
双星问题 8 7 9
综合提升 10 11、12
知识点一 计算天体的质量和密度
1．为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国预计于2011年10月发射第一颗火星探测器“萤火一号”．假设探测器在离火星表面高度分别为h1和h2的圆轨道上运动时，周期分别为T1和T2.火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，万有引力常量为G.仅利用以上数据，可以计算出
( )．
A．火星的密度和火星表面的重力加速度
B．火星的质量和火星对“萤火一号”的引力
C．火星的半径和“萤火一号”的质量
D．火星表面的重力加速度和火星对“萤火一号”的引力
解析 设火星的半径为R，火星的质量为M，由F万＝F向可得：G＝m(R＋h1)4eq \f(π2,T)，G＝m(R＋h2)·eq \f(4π2,T)，可以求出火星的半径为R，火星的质量为M，由密度公式ρ＝＝，可进一步求出火星的密度：由G＝mg，可进一步求出火星表面的重力加速度，A正确．由于不知道“萤火一号”的质量，所以不能求出火星对“萤火一号”的引力，只有A正确．
答案 A
2．利用下列哪组数据，可以计算出地球的质量，(万有引力常量G已知)( )．
A．已知地球的半径R地和地面的重力加速度g
B．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径r和周期T
C．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径r和线速度v
D．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度v和周期T
解析 对A，设相对地面静止的某一物体的质量为m，根据万有引力等于重力的关系得Geq \f(M地m,R)＝mg
解得M地＝eq \f(gR,G).故A正确．
对B，设卫星质量为m，根据万有引力等于向心力的关系可得出：＝mr，解得M地＝.故B正确．
对C，设卫星质量为m，根据万有引力等于向心力的关系可得出：G＝m，解得M地＝.故C正确．
对D，设卫星质量为m，根据万有引力等于向心力的关系可得G＝mr，G＝m
以上两式消去r解得M地＝.故D正确．
综上所述，该题的A、B、C、D四个选项都是正确的．
答案 ABCD
3．如图3－3－2所示，是美国的“卡西尼”号探测器经过长达7年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨道．若“卡西尼”号探测器在半径为R的土星上空离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n周飞行时间为t，已知引力常量为G，则下列关于土星质量M和平均密度ρ的表达式正确的是 ( )．
A．M＝，ρ＝
B．M＝，ρ＝
C．M＝，ρ＝
D．M＝，ρ＝
解析 设“卡西尼”号的质量为m，土星的质量为M，“卡西尼”号围绕土星的中心做匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供，G＝m(R＋h)，其中T＝，解得
M＝.又土星体积V＝πR3，所以ρ＝＝.
答案 D
知识点二 研究天体的运动
4．在地球大气层外有很多太空垃圾绕地球做匀速圆周运动，每到太阳活动期，由于受太阳的影响，地球大气层的厚度开始增加，从而使得部分垃圾进入大气层，开始做靠近地球的做向心运动，产生这一结果的原因是( )．
A．由于太空垃圾受到地球引力减小而导致的向心运动
B．由于太空垃圾受到地球引力增大而导致的向心运动
C．由于太空垃圾受到空气阻力而导致的向心运动
D．地球引力提供了太空垃圾做圆周运动所需的向心力，故产生向心运动的结果与空气阻力无关
解析 根据物体做圆周运动的知识可知，天体做圆周运动同样需要向心力，而充当向心力的是天体之间的万有引力．太空垃圾的向心力来源是地球对它的万有引力，而在运动过程中，由于受到空气阻力作用，速度减小，需要的向心力F＝
m减小(r一定时)．那么万有引力大于需要的向心力，因而导致做向心运动．
答案 C
5．“嫦娥一号”于2009年3月1日下午4时13分成功撞月，从发射到撞月历时433天，标志我国一期探月工程圆满结束．其中，卫星发射过程先在近地圆轨道绕行3周，再长途跋涉进入近月圆轨道绕月飞行．若月球表面的重力加速度为地球表面重力加速度的，月球半径为地球半径的，根据以上信息得 ( )．
A．绕月与绕地飞行周期之比为∶
B．绕月与绕地飞行周期之比为∶
C．绕月与绕地飞行向心加速度大小之比为6∶1
D．月球与地球质量之比为96∶1
解析 由G＝mg可得月球与地球质量之比：
＝×eq \f(R,R)＝，D错误．
由于在近地及近日轨道中，“嫦娥一号”运行的半径分别可近似为地球的半径与月球的半径，
由G＝mR，
可得：＝eq \r(\f(RM地,RM月))＝，A正确．
由G＝ma，
可得：＝eq \f(M月R,M地R)＝，C错误．
正确答案为A.
答案 A
6．登月舱在离月球表面112 km的高空绕月球运行，运行周期为120.5 min，已知月球半径为1.7×103 km，试估算月球的质量．
解析 设登月舱的质量为m舱，月球的质量为M月，月球的半径为r月，登月舱离月球表面的距离为r，F引＝G
舱绕月球做圆周运动，所以向心力的大小为
F向＝m舱(r月＋r)
因为F引＝F向
所以G＝m舱(r月＋r)
得M月＝
将已知的数据代入上式，可得月球的质量
M月＝ kg
＝6.73×1022 kg
答案 6.73×1022 kg
知识点三 双星问题
7．两颗靠得很近的天体称为双星，它们都绕两者连线上某点做匀速圆周运动，因而不至于由于万有引力而吸引到一起，则以下说法中正确的是( )．
A．它们做圆周运动的角速度之比与其质量成反比
B．它们做圆周运动的线速度大小之比与其质量成反比
C．它们做圆周运动的半径与其质量成正比
D．它们做圆周运动的半径与其质量成反比
解析 两子星绕连线上的某点做圆周运动的周期相等，角速度也相等．由v＝rω得线速度与两子星圆周运动的半径是成正比的．因为两子星圆周运动的向心力由两子星间的万有引力提供，向心力大小相等，由G＝M1r1ω2可知M1r1ω2＝M2r2ω2，所以它们的轨道半径与它们的质量是成反比的．而线速度大小又与轨道半径成正比，所以线速度大小与它们的质量也是成反比的．正确答案为B、D选项．
答案 BD
8．我们的银河系的恒星中大约四分之一是双星．某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动．由天文观察测得其运动周期为T，S1到C点的距离为r1，S1和S2的距离为r，已知引力常量为G.由此可求出S2的质量为 ( )．
A. B.eq \f(4π2r,GT2)
C. D.
解析 双星的运动周期是一样的，选S1为研究对象，根据牛顿第二定律和万有引力定律得
＝m1r1，则m2＝.故正确选项D正确．
答案 D
9．如图3－3－3所示，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间距离为L.已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧．引力常数为G.
(1)求两星球做圆周运动的周期．
(2)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T1.但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期为T2.已知地球和月球的质量分别为5.98×1024 kg和7.35×1022 kg.求T2与T1两者平方之比．(结果保留三位小数)
解析 (1)mω2r＝Mω2R，r＋R＝L，联立解得
R＝ L，r＝ L
对A根据牛顿第二定律和万有引力定律得
＝mL，得T＝2π .
(2)将地月看成双星，由(1)得T1＝2π
将月球看作绕地心做圆周运动，根据牛顿第二定律和万有引力定律得＝m，L化简得T2＝2π ，所以两种周期的平方比值为＝＝1.01.
答案 (1)2π (2)1.01
10．地球赤道上的重力加速度为g，物体在赤道上随地球自转的向心加速度为a，要使赤道上物体“飘”起来，则地球的转速应为原来转速的( )．
A.倍 B. 倍
C. 倍 D. 倍
解析 原来状态应满足公式G－mg＝ma＝mω2R，后来飘起来时，G＝mω′2R，M为地球质量、m为物体质量、R为地球半径、ω′为飘起时的角速度、ω为原来的角速度．联立求解得ω′＝ω .
答案 B
11．宇宙中有这样一种三星系统，系统由两个质量为m的小星体和一个质量为M的大星体组成，两个小星体围绕大星体在同一圆形轨道上运行，轨道半径为r.关于该三星系统的说法中正确的是 ( )．
①在稳定运行情况下，大星体提供两小星体做圆周运动的向心力 ②在稳定运行情况下，大星体应在小星体轨道中心，两小星体在大星体相对的两侧 ③小星体运行的周期为T＝ ④大星体运行的周期为T＝
A．①③ B．②③
C．①④ D．②④
解析 三星应该在同一直线上，并且两小星体在大星体相对的两侧，只有这样才能使某一小星体受到大星体和另一小星体的引力的合力提供向心力．由G＋G＝
mr解得：小星体的周期T＝，所以选项B正确．
答案 B
12．“神舟”六号载人飞船在空中环绕地球做匀速圆周运动，某次经过赤道的正上空时，对应的经度为θ1(实际为西经157.5°)，飞船绕地球转一圈后，又经过赤道的正上空，此时对应的经度为θ2(实际为180°)．已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，地球自转的周期为T0.求飞船运行的圆周轨道离地面高度h的表达式．(用θ1、θ2、T0、g和R表示)
解析 用r表示飞船圆轨道半径，M表示地球质量，m表示飞船质量，T表示飞船运行的周期，由万有引力定律和牛顿定律得
G＝mω2r＝mr ①
飞船绕地球运行的周期
T＝T0 ②
对地球表面上的物体m0，有
G＝m0g ③
r＝R＋h ④
解得轨道高度
h＝－R. ⑤
答案 h＝－R
图3－3－2
图3－3－3
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滚动检测(三) 万有引力定律的应用
(时间：60分钟 满分：100分)
一、选择题(本题共9小题，共63分．在每小题给出的四个选项中，有的只有一项符合题目要求，有的有多项符合题目要求．全部选对的得7分，选对但不全的得3分，选错或不选的得0分)
1．下列说法正确的是 ( )．
A．地心说认为：地球是宇宙的中心，太阳、月亮以及其他星球都绕地球运动
B．哥白尼的日心说认为：宇宙的中心是太阳，所有行星都绕太阳做匀速圆周运动
C．太阳是静止不动的，地球由西向东自转，使得太阳看起来自东向西运动
D．地心说是错误的，日心说是正确的
解析 由物理学史可知，地心说认为地球是宇宙的中心，日心说认为太阳是宇宙的中心，日心说和地心说都有一定的局限性，可见A、B正确，C、D错误．
答案 AB
2．“嫦娥一号”和“嫦娥二号”绕月飞行器的运行轨道可近似视为圆形轨道，距月球表面高度分别为h1和h2，运动的向心加速度分别是a1和a2，运动周期分别为T1和T2.已知月球半径为R，则a1和a2的比值及T1和T2的比值分别为 ( )．
A.＝，＝
B.＝，＝
C.＝，＝
D.＝，＝
解析 由G＝mr＝ma，可知：T＝2π ，a＝，r是指飞行器的轨道半径，所以有＝，＝，B正确．
答案 B
3．关于开普勒第三定律＝k，下列说法中正确的是 ( )．
A．k值对所有的天体都相同
B．该公式适用于围绕太阳运行的所有行星
C．该公式也适用于围绕地球运行的所有卫星
D．以上说法都不对
解析 开普勒第三定律＝k中的k只与中心天体有关，对于不同的中心天体，k不同，A错．此公式虽由行星运动规律总结所得，但它也适用于其他天体的运动，包括卫星绕地球的运动，B、C对，D错．
答案 BC
4．下列说法正确的是 ( )．
A．行星的运动方向总是与它和太阳的连线垂直
B．行星的运动方向总是沿着轨道的切线方向
C．日心说的说法是正确的
D．地球绕太阳公转周期为T1，轨道半径为R1，月亮绕地球公转的周期为T2，轨道半径为R2，则eq \f(R,T)＝eq \f(R,T)
解析 行星绕太阳运行轨迹实际是一椭圆轨道，故速度与它和太阳的连线不垂直，A错．行星绕太阳做曲线运动，某时刻的速度方向必沿着轨道的切线方向，B对．日心说虽然比地心说有所进步，但太阳并不是静止的，故日心说也有错误的一面，C错．开普勒第三定律适用于围绕同一中心天体转动的天体，题目中太阳和地球是不同的中心天体，故＝k值是不同的，D错．
答案 B
5．设月球绕地球运动的周期为27天，则地球的同步卫星到地球中心的距离r1与月球中心到地球中心的距离r2之比为 ( )．
A．3∶1 B．9∶1
C．27∶1 D．1∶9
解析 设两行星运动的周期分别为T1、T2，它们的椭圆轨道的半长轴分别为r1、r2，由开普勒第三定律得：eq \f(r,T)＝eq \f(r,T)，＝eq \r(3,\f(T,T))＝ ＝.
答案 D
6．关于万有引力，下列说法正确的是 ( )．
A．万有引力只有在天体与天体之间才能明显表现出来
B．一个苹果由于其质量很小，所以它受地球的万有引力几乎可以忽略
C．地球对人造卫星的万有引力远大于卫星对地球的万有引力
D．地球表面的大气层是因为万有引力的约束而存在于地球表面附近的
解析 由月—地检验可知：自然界中任何两个物体间都有性质相同的引力作用，故A错；苹果质量虽小，但由于地球质量很大，故引力不可忽略，B错；物体间的引力是相互的，由牛顿第三定律知应等大，故C错、D选项正确．
答案 D
7．地球的质量是月球质量的81倍，若地球吸引月球的力的大小为F，则月球吸引地球的力的大小为 ( )．
A. B．F
C．9F D．81F
解析 地球吸引月球的力与月球吸引地球的力是一对作用力与反作用力．根据牛顿第三定律，这两个力大小相等，所以月球吸引地球的力的大小也为F.
答案 B
8．某行星的半径是地球半径的3倍，质量是地球质量的25倍，则它表面的重力加速度是地球表面重力加速度的 ( )．
A．12.5倍 B.倍
C.倍 D．4倍
解析 地球表面物体的重力等于它与地球间的万有引力，即mg地＝Geq \f(M地m,R)①，同理在某行星表面，mg行＝Geq \f(M行·m,R)②，由①、②得g行＝g地，故C项正确．
答案 C
9．地球有一个可能的天然卫星被命名为“J002E2”，这个天体是美国亚利桑那州的业余天文爱好者比尔·杨发现的，他发现“J002E2”并不是路经地球，而是以50天的周期围绕地球运行，其特征很像火箭的残片或其他形式的太空垃圾．由此可知“J002E2”绕地半径与月球绕地的半径之比约为 ( )．
A. B.
C. D.
解析 由万有引力提供向心力有eq \f(GMm1,r)＝m1r1和eq \f(GMm月,r)＝m月r月，两式相比解得：≈ ，A正确．
答案 A
二、计算题(本题共3小题，共37分．本题要有必要的文字说明和解题步骤，有数值计算的要注明单位)
10．(12分)已知海王星绕太阳运转的平均轨道半径为4.50×1012 m，地球绕太阳公转的平均轨道半径为1.49×1011 m，试估算海王星绕太阳运转的周期．
解析 设海王星绕太阳运转的平均轨道半径为r1，周期为T1，地球绕太阳公转的轨道半径为r2，周期为T2，由开普勒第三定律有eq \f(r,T)＝eq \f(r,T)，故T1＝eq \r(\f(r,r))·T2＝ ×1年＝166年．
答案 166年
11．(12分)两艘轮船，质量都是1.0×104 t，相距10 km，它们之间的引力是多大？将这个力与轮船所受重力比较，看看比值是多少．
解析 轮船之间的引力为
F＝G＝6.67×10－11× N＝6.67×10－5 N
轮船所受的重力为G＝mg＝1.0×107×9.8 N＝9.8×107 N，两轮船之间的引力与轮船所受重力之比为：＝6.80×10－13.
答案 6.67×10－5 N 6.80×10－13
12．(13分)最近几十年，人们对探测火星十分感兴趣，先后曾发射过许多探测器．称为“火星探路者”的火星探测器曾于1997年登上火星.2004年，又有“勇气”号和“机遇”号探测器登上火星．已知地球质量约是火星质量的9.3倍，地球直径约是火星直径的1.9倍，探测器在地球表面和火星表面所受引力的比值是多少？
解析 设探测器的质量为m，根据万有引力定律，它在地面和火星表面分别受地球和火星的引力为
F地＝Geq \f(M地m,R)，F火＝Geq \f(M火m,R).
所以＝·＝9.3×＝2.6.
答案 2.6∶1
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章末检测
(时间：90分钟 满分：100分)
一、选择题(本题共11小题，共55分．在每小题给出的四个选项中，有的只有一项符合题目要求，有的有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得3分，选错或不选的得0分)
1．由于地球的自转，使得静止在地面的物体绕地轴做匀速圆周运动．对于这些做匀速圆周运动的物体，以下说法正确的是 ( )．
A．向心力都指向地心
B．速度等于第一宇宙速度
C．加速度等于重力加速度
D．周期与地球自转的周期相等
解析 静止在地面上的物体绕地轴做匀速圆周运动，故向心力指向地轴，速度不等于第一宇宙速度，加速度也不等于重力加速度，但是周期与地球自转周期相等，选项D正确．
答案 D
2．A和B是绕地球做匀速圆周运动的卫星，mA＝2mB，轨道半径RB＝2RA，则B与A的 ( )．
A．加速度之比为4∶1 B．周期之比为2∶1
C．线速度之比为1∶ D．角速度之比为1∶2
解析 根据开普勒第三定律，知＝＝，故B选项正确．又因为ω＝，＝＝，所以D选项正确．由v＝知，＝＝，所以C选项正确．由a ＝ω2r知，＝eq \f(ωRB,ωRA)＝，所以A选项错误．
答案 BCD
3.据报道，我国数据中继卫星“天链一号01星”于2008年4月25日在西昌卫星发射中心发射升空，经过4次变轨控制后，于5月1日成功定点在东经77°赤道上空的同步轨道，关于成功定点后的“天链一号01星”，下列说法正确的是
( )．
A．运行速度大于7.9 km/s
B．离地面高度一定，相对地面静止
C．绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大
D．向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等
解析 由题目可以看出“天链一号”是地球同步卫星，运行速度要小于7.9 km/s，而它的位置在赤道上空，高度一定，A错、B对．由ω＝可知，C对．由a＝rω2可知，D错．
答案 BC
4．2009年5月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B为轨道Ⅱ上的一点，如图1所示，则下列关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有 ( )．
A．在轨道Ⅱ上经过A的速度小于经过B的速度
B．在轨道Ⅱ上经过A的动能小于在轨道Ⅰ上经过A的动能
C．在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期
D．在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的加速度
解析 根据开普勒定律可知，卫星在近地点的速度大于在远地点的速度，A正确；由Ⅰ轨道变到Ⅱ轨道要减速，所以B正确；由开普勒第三定律可知，＝k，R2答案 ABC
5．星球上的物体脱离星球引力所需要的最小速度称为第二宇宙速度．某星球的第二宇宙速度v2与第一宇宙速度v1的关系是v2＝v1，已知该星球的半径为r，它表面的重力加速度为地球重力加速度g的1/6.不计其他星球的影响，则该星球的第二宇宙速度为 ( )．
A. B.
C. D.gr
解析 由v＝，可知星球的第一宇宙速度v1＝，所以其第二宇宙速度v2＝ .
答案 C
6．太阳系中的8大行星的轨道均可以近似看成圆轨道．下列4幅图是用来描述这些行星运动所遵从的某一规律的图像．图中坐标系的横轴是lg，纵轴是lg；这里T和R分别是行星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径，T0和R0分别是水星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径．下列4幅图中正确的是
( )．
解析 根据开普勒周期定律：周期平方与轨道半径三次方成正比可知：T2＝kR3，T＝kR两式相除后取对数，得：
lgeq \f(T2,T)＝lgeq \f(R3,R)，整理得：2lg＝3lg，选项B正确．
答案 B
7．中国人自己制造的第一颗直播通信卫星“鑫诺二号”在西昌卫星发射中心发射成功，定点于东经92.2度的上空(拉萨和唐古拉山口即在东经92.2度附近)，“鑫诺二号”载有22个大功率转发器，如果正常工作，可同时支持200余套标准清晰度的电视节目，它将给中国带来1 000亿元人民币的国际市场和几万人的就业机会，它还承担着“村村通”的使命，即满足中国偏远山区民众能看上电视的愿望．则下列关于“鑫诺二号”通信卫星的说法正确的是
( )．
A．它一定定点在赤道上空
B．它可以定点在拉萨或唐古拉山口附近的上空
C．它绕地球运转，有可能经过北京的上空
D．与“神舟”六号载人飞船相比，“鑫诺二号”的轨道半径大，环绕速度小
解析 “鑫诺二号”通讯卫星是同步卫星，必位于赤道上空，A正确，由地理知识，拉萨、唐古拉山、北京均不在赤道，B、C错误．同步卫星T＝24 h，大于“神舟”六号飞船的周期，根据＝mr, T＝ ，知T大，r大，v＝ ，则v小，D正确．
答案 AD
8．已知万有引力常量G，在下列给出情景中，能根据测量数据求出月球密度的是 ( )．
A．在月球表面使一个小球做自由落体运动，测出落下的高度H和时间t
B．发射一颗贴近月球表面绕月球做匀速圆周运动的飞船，测出飞船运行的周期T
C．观察月球绕地球的圆周运动，测出月球的直径D和月球绕地球运行的周期T
D．发射一颗绕月球做匀速圆周运动的卫星，测出卫星离月球表面的高度H和卫星的周期T
解析 要求出月球的密度，需知道月球的质量和半径，为测出月球的质量，需以月球为中心球体，C错误．
根据＝m·(R＋H)，M＝＝，ρ＝＝＝，比较可知A、D错误，对于近地卫星H＝0，ρ＝，B正确．
答案 B
9．“嫦娥一号”月球探测器在环绕月球运行过程中，设探测器运行的轨道半径为r，运行速率为v，当探测器在飞越月球上一些环形山中的质量密集区上空时 ( )．
A．r、v都将略为减小
B．r、v都将保持不变
C．r将略为减小，v将略为增大
D．r将略为增大，v将略为减小
解析 由万有引力提供向心力G＝m知，当探测器到达质量密集区时，M增大，则万有引力增大，探测器运行半径r将减小，速度v增大，故C正确．
答案 C
10．一宇宙飞船绕地心做半径为r的匀速圆周运动，飞船舱内有一质量为m的人站在可称体重的台秤上．用R表示地球的半径，g表示地球表面处的重力加速度，g′表示宇宙飞船所在处的地球引力加速度，N表示人对台秤的压力，这些说法中，正确的是 ( )．
A．g′＝0 B．g′＝g
C．N＝0 D．N＝mg
解析 在地球表面处＝mg，即GM＝gR2，在宇宙飞船内：＝mg′，g′＝＝，B正确，宇宙飞船绕地心做匀速圆周运动时，其内物体处于完全失重状态，故N＝0，C正确．
答案 BC
11．现代观测表明，由于引力作用，恒星有“聚集”的特点，众多的恒星组成了不同层次的恒星系统，最简单的恒星系统是两颗互相绕转的双星，事实上，冥王星也是和另一星体构成双星，如图2所示，这两颗行星m1、m2各以一定速率绕它们连线上某一中心O匀速转动，这样才不至于因万有引力作用而吸引在一起，现测出双星间的距离始终为L，且它们做匀速圆周运动的半径r1与r2之比为3∶2，则 ( )．
A．它们的角速度大小之比为2∶3
B．它们的线速度大小之比为3∶2
C．它们的质量之比为3∶2
D．它们的周期之比为2∶3
解析 双星的角速度和周期都相同，故A、D均错，由＝m1ω2r1，＝m2ω2r2，解得m1∶m2＝r2∶r1＝2∶3，C错误．由v＝ωr知，v1∶v2＝r1∶r2＝3∶2，B正确．
答案 B
二、解答题(本题共3小题，共45分．要有必要的文字说明和解题步骤，有数值计算的要注明单位)
12．(15分)一颗人造卫星靠近某行星表面做匀速圆周运动，经过时间t，卫星运行的路程为s，运动半径转过的角度为1 rad，引力常量设为G，求：
(1)卫星运行的周期；
(2)该行星的质量．
解析 (1)卫星的角速度ω＝＝ rad/s，
周期T＝＝2πt.
(2)设行星的质量为M，半径为R，则有R＝＝s，由牛顿第二定律得：＝mω2R，解得：M＝.
答案 (1)2πt (2)
13．(15分)如图3所示，A是地球的同步卫星，另一卫星B的圆形轨道位于赤道平面内，离地球表面的高度为h，已知地球半径为R，地球自转角速度为ω0，地球表面的重力加速度为g，O为地球中心．
(1)求卫星B的运行周期．
(2)如果卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近(O、A、B在同一直线上)，则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？
解析 (1)由万有引力定律和牛顿第二定律得
G＝meq \f(4π2,T)(R＋h) ①
G＝mg ②
联立①②解得TB＝2π . ③
(2)由题意得(ωB－ω0)t＝2π ④
由③得ωB＝ . ⑤
代入④得t＝.
答案 (1)2π
(2)
14．(15分)我国发射的“嫦娥一号”卫星发射后首先进入绕地球运行的“停泊轨道”，通过加速再进入椭圆“过渡轨道”，该轨道离地心最近距离为L1，最远距离为L2，卫星快要到达月球时，依靠火箭的反向助推器减速，被月球引力“俘获”后，成为环月球卫星，最终在离月心距离L3的“绕月轨道”上飞行，如图4所示．已知地球半径为R，月球半径为r，地球表面重力加速度为g，月球表面的重力加速度为，求：
图4
(1)卫星在“停泊轨道”上运行的线速度大小；
(2)卫星在“绕月轨道”上运行的线速度大小；
(3)假定卫星在“绕月轨道”上运行的周期为T，卫星轨道平面与地月连心线共面，求在该一个周期内卫星发射的微波信号因月球遮挡而不能到达地球的时间(忽略月球绕地球转动对遮挡时间的影响)．
解析 (1)eq \f(GM地m,L)＝meq \f(v,L1)
＝mg，得v1＝ .
(2)Geq \f(M月m,L)＝meq \f(v,L3)
G＝mg月，解得：v2＝ .
(3)cos α＝cos∠DOA＝
cos β＝cos∠CO′B＝
t＝T＝.
答案 见解析
图1
图2
图3
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4 人造卫星 宇宙速度
(时间：60分钟)
知识点 基础 中档 稍难
宇宙速度 1 2
人造地球卫星 6 3、4、5、7
同步卫星 8 9
综合提升 12 10、11
知识点一 宇宙速度
1．我们在推导第一宇宙速度的公式v＝时，需要做一些假设和选择一些理论依据，下列必要的假设和理论依据有 ( )．
A．卫星做半径等于2倍地球半径的匀速圆周运动
B．卫星所受的重力全部作为其所需的向心力
C．卫星所受的万有引力仅有一部分作为其所需的向心力
D．卫星的运转周期必须等于地球的自转周期
解析 第一宇宙速度是卫星的最大环绕速度，只有其运行轨道半径最小时，它的运行速度才最大，而卫星的最小轨道半径等于地球半径，故A错误；在地球表面附近我们认为万有引力近似等于重力，故B正确、C错误；同步卫星的运转周期等于地球的自转周期，而同步卫星的运行轨道半径大于地球半径，即大于近地轨道卫星半径，故同步卫星的周期大于近地轨道卫星，D错误．
答案 B
2．某人在一星球上以速率v竖直上抛一物体，经时间t物体以速率v落回手中．已知该星球的半径为R，求这星球上的第一宇宙速度．
解析 根据匀变速运动的规律可得，该星球表面的重力加速度为g＝，该星球的第一宇宙速度，即为卫星在其表面附近绕它做匀速圆周运动的线速度，该星球对卫星的引力(重力)提供卫星做圆周运动的向心力，则mg＝eq \f(mv,R)，该星球表面的第一宇宙速度为v1＝＝ .
答案
知识点二 人造地球卫星
3．人造卫星在太空绕地球运行时，若天线突然折断，天线将 ( )．
A．继续和卫星一起沿轨道运行
B．做平抛运动，落向地球
C．由于惯性，沿轨道切线方向做匀速直线运动
D．做自由落体运动，落向地球
解析 折断后的天线与卫星具有相同的速度，天线受到地球的万有引力全部提供其做圆周运动的向心力，情况与卫星的相同，故天线仍沿原轨道与卫星一起做圆周运动，A对，B、C、D错．
答案 A
4．全球定位系统(GPS)有24颗卫星分布在绕地球的6个轨道上运行，距地面的高度都为2万千米．已知地球同步卫星离地面的高度为3.6万千米，地球半径约为6 400 km，则全球定位系统的这些卫星的运行速度大小约为( )．
A．3.1 km/s B．3.9 km/s
C．7.9 km/s D．11.2 km/s
解析 由万有引力定律得，G＝m，GM＝rv2，即v1＝v2，代入数值得，v1≈3.9 km/s.
答案 B
5．1970年4月24日，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”发射成功，开创了我国航天事业的新纪元．“东方红一号”的运行轨道为椭圆轨道，如图3－4－4所示，其近地点M和远地点N的高度分别为439 km和2 384 km，则 ( )．
A．卫星在M点的势能大于N点的势能
B．卫星在M点的角速度小于N点的角速度
C．卫星在M点的加速度大于N点的加速度
D．卫星在N点的速度大于7.9 km/s
解析 卫星从M点到N点，万有引力做负功，势能增大，A项错误；由开普勒第二定律知，M点的角速度大于N点的角速度，B项错误；由于卫星在M点所受万有引力较大，因而加速度较大，C项正确；卫星在远地点N的速度小于其在该点做圆周运动的线速度，而第一宇宙速度7.9 km/s是线速度的最大值，D项错误．
答案 C
6．有两颗质量均匀分布的行星A和B，它们各有一颗靠近表面的卫星a和b，若这两颗卫星a和b的周期相等，由此可知 ( )．
A．卫星a和b的线速度大小一定相等
B．行星A和B的质量一定相等
C．行星A和B的密度一定相等
D．行星A和B表面的重力加速度一定相等
解析 对卫星，由ω＝可得，它们的运行角速度一定相等，但它们的轨道半径关系不能确定，故线速度大小不一定相等，A项错；设行星的质量为M，卫星的质量为m，行星的半径为r，由G＝mr和M＝πr3ρ可得，卫星的周期T＝ ，由此公式可得行星A和B的密度一定相同．但由于它们的半径不知，故B、D两项均不能确定．
答案 C
7．地球的两颗人造卫星质量之比m1∶m2＝1∶2，轨道半径之比r1∶r2＝1∶2.求：
(1)线速度大小之比．
(2)角速度之比．
(3)运行周期之比．
(4)向心力大小之比．
解析 (1)由＝m，得v＝ ，
所以＝＝.
(2)由＝mω2r，得ω＝
所以＝eq \r(\f(r,r))＝.
(3)＝·＝＝.
(4)同理＝eq \f(m1r,m2r)＝·＝.
答案 (1)∶1 (2)2∶1 (3)1∶2 (4)2∶1
知识点三 同步卫星
8．如图3－4－5中的圆a、b、c，其圆心均在地球的自转轴线上，对环绕地球做匀速圆周运动的卫星而言
( )．
A．卫星的轨道可能为a
B．卫星的轨道可能为b
C．卫星的轨道可能为c
D．同步卫星的轨道只可能为b
解析 在a轨道上的卫星，万有引力的一个分力提供向心力，另一个分力使轨道向赤道移动，该轨道是不稳定的，在b、c轨道上的卫星，万有引力提供向心力，同步卫星只能是赤道卫星，所以B、C、D正确．
答案 BCD
9．下列关于我国发射的“亚洲一号”地球同步通讯卫星的说法，正确的是
( )．
A．若其质量加倍，则轨道半径也要加倍
B．它在北京上空运行，故可用于我国的电视广播
C．它以第一宇宙速度运行
D．它运行的角速度与地球自转角速度相同
解析 从G＝m得r＝，可知轨道半径与卫星质量无关．同步卫星的轨道平面必须与赤道平面重合，即在赤道上空运行，不能在北京上空运行．第一宇宙速度是卫星在最低圆轨道上运行的速度，而同步卫星在高轨道上运行，其运行速度小于第一宇宙速度．所谓“同步”就是卫星保持与地面赤道上某一点相对静止，所以同步卫星的角速度与地球自转角速度相同．
答案 D
10．2003年10月15日北京时间9时整，我国“神舟五号”飞船载着我国首位太空人杨利伟在酒泉卫星发射中心发射升空，10 min后“神舟五号”飞船准确进入预定轨道．在北京航天指挥控制中心的调度下，我国陆海空航天测控网对飞船进行了持续的跟踪、测量与控制，截至10月16日零点，“神舟五号”载人飞船已按预定轨道(视为圆轨道)环绕地球10圈．若地球质量、半径和引力常量G均已知，根据以上数据资料可估算出“神舟五号”飞船的( )．
A．离地高度 B．环绕速度
C．发射速度 D．向心力
解析 由飞船环绕地球10圈的时间，可算得飞船的运行周期T. 由G＝m(R＋h)，可得飞船离地高度h.由v＝，可得飞船环绕速度v.
由于不知道飞船燃料耗尽时的高度，也不知道飞船燃料耗尽到进入预定轨道的过程中因克服空气阻力做功所消耗的能量，故无法求出飞船的发射速度．飞船进入预定轨道后的向心力F＝G，因飞船质量m未知，故F也无法求出．正确选项为A、B.
答案 AB
11．如图3－4－6是“嫦娥一号”奔月示意图，卫星发射后通过自带的小型火箭多次变轨，进入地月转移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月卫星，并开展对月球的探测．下列说法正确的是 ( )．
A．发射“嫦娥一号”的速度必须达到第三宇宙速度
B．在绕月圆轨道上，卫星周期与卫星质量有关
C．卫星受月球的引力与它到月球中心距离的平方成反比
D．在绕月圆轨道上，卫星受地球的引力大于受月球的引力
解析 第三宇宙速度是卫星脱离太阳系的最小发射速度，所以“嫦娥一号”卫星的发射速度一定小于第三宇宙速度，A项错误；设卫星轨道半径为r，由万有引力定律知卫星受到引力F＝G，C项正确．设卫星的周期为T，由G＝
mr得T2＝r3，所以卫星的周期与月球质量有关，与卫星质量无关，B项错误．卫星在绕月轨道上运行时，由于离地球很远，受到地球引力很小，卫星做圆周运动的向心力主要是月球引力提供，D项错误．
答案 C
12．我国在2007年成功发射一颗绕月球飞行的卫星，计划在2012年前后发射一颗月球软着陆器，在2017年前后发射一颗返回式月球软着陆器，进行首次月球样品自动取样并安全返回地球．设想着陆器完成了对月球表面的考察任务后，由月球表面回到围绕月球做圆周运动的轨道舱，其过程如图3－4－7所示．设轨道舱的质量为m，月球表面的重力加速度为g，月球的半径为R，轨道舱到月球中心的距离为r，引力常量为G，则试求：
(1)月球的质量；
(2)轨道舱的速度大小和周期．
解析 (1)设月球质量为M，轨道舱绕月球表面做圆周运动时
有G＝mg ①
所以M＝
(2)轨道舱距月球中心为r，绕月球做圆周运动，设周期为T，速度为v，G＝m ②
由①②，得v＝R ，由T＝得T＝.
答案 (1) (2)R
图3－4－4
图3－4－5
图3－4－6
图3－4－7
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2 万有引力定律
(时间：60分钟)
知识点 基础 中档 稍难
对万有引力定律的理解和基本应用 1、2 3、5、6 4
重力加速度的计算 7、8、9
综合提升 10、12 11
知识点一 对万有引力定律的理解和基本应用
1．一名宇航员来到一个星球上，如果该星球的质量是地球质量的一半，它的直径也是地球直径的一半，那么这名宇航员在该星球上所受的万有引力大小是它在地球上所受万有引力的 ( )．
A．0.25倍 B．0.5倍
C．2.0倍 D．4.0倍
解析 F引＝＝＝2eq \f(GM0m,r)＝2F引′.
答案 C
2．关于引力常量，下列说法正确的是 ( )．
A．引力常量是两个质量为1 kg的物体相距1 m时的相互吸引力
B．牛顿发现了万有引力定律时，给出了引力常量的值
C．引力常量的测出，证明了万有引力的存在
D．引力常量的测定，使人们可以测出天体的质量
解析 引力常量在数值上等于质量均为1 kg的两个均匀球体相距1 m时相互引力的大小，故A错．牛顿发现万有引力定律时，还不知道引力常量的值，故B错．引力常量的测出证明了万有引力定律的正确性，同时使万有引力定律具有实用价值，故C、D正确．
答案 CD
3．两个质量均为M的星体，其连线的垂直平分线为AB，O为两星体连线的中点，如图3－2－5所示，一质量为m的物体从O沿OA方向运动，设A离O足够远，则物体在运动过程中受到两个星球万有引力的合力大小变化情况是 ( )．
A．一直增大 B．一直减小
C．先减小后增大 D．先增大后减小
解析 在O点两星球对物体m的万有引力大小相等、方向相反、合力为零；到了离O很远的A点时，由于距离太大，星球对物体的万有引力非常小，也可以认为等于零．由此可见，物体在运动过程中受到两个星球万有引力的合力先增大后减小，选项D正确．
答案 D
4．已知太阳到地球与地球到月球的距离的比值约为390，月球绕地球旋转的周期约为27天．利用上述数据以及日常的天文知识，可估算出太阳对月球与地球对月球的万有引力的比值约为 ( )．
A．0.2 B．2
C．20 D．200
解析 由日常天文知识可知，地球公转周期为365天，依据万有引力定律及牛顿运动定律，研究地球有Geq \f(M太M地,r)＝
M地eq \f(4π2,T)r地，研究月球有Geq \f(M地M月,r)＝M月eq \f(4π2,T)r月，日月间距近似为r地，两式相比＝·.太阳对月球万有引力F1＝Geq \f(M太M月,r)，地球对月球万有引力F2＝Geq \f(M地M月,r)，故＝·＝·＝2，故选B.
答案 B
5．地球与物体间的万有引力可以认为在数值上等于物体的重力，那么在6 400 km的高空，物体的重力与它在地面上的重力之比为(R地＝6 400 km)( )．
A．2∶1 B．1∶2
C．1∶4 D．1∶1
解析 物体在高空中距地心距离为物体在地球表面与地心距离R0的二倍，则高空中物体的重力F＝G＝
Geq \f(m1m2,R)，而地面上的物体重力F0＝Geq \f(m1m2,R)，由此知C正确．
答案 C
6．已知太阳的质量为M，地球的质量为m1，月球的质量为m2，设月亮到太阳的距离为a，地球到月亮的距离为b，则当发生日全食时，太阳对地球的引力F1和对月亮的吸引力F2的大小之比为多少？
解析 由太阳对行星的吸引力满足F＝知：
太阳对地球的引力大小F1＝
太阳对月亮的引力大小F2＝
故＝
答案
知识点二 重力加速度的计算
7．1990年5月，紫金山天文台将他们发现的第2 752号小行星命名为吴健雄星，该小行星的半径为16 km.若将此小行星和地球均看成质量分布均匀的球体，小行星密度与地球相同．已知地球半径R＝6 400 km，地球表面重力加速度为g.这个小行星表面的重力加速度为 ( )．
A．400 g B.g
C．20 g D.g
解析 质量分布均匀的球体的密度ρ＝
地球表面的重力加速度g＝＝
吴健雄星表面的重力加速度g′＝＝
＝＝400，g′＝g，故选项B正确．
答案 B
8．一物体在地球表面重16 N，它在以5 m/s2的加速度加速上升的火箭中的视重为9 N，取地球表面的重力加速度g＝10 m/s2，则此火箭离地球表面的距离为地球半径的 ( )．
A．2倍 B．3倍
C．4倍 D．一半
解析 设此时火箭离地球表面高度为h
由牛顿第二定律得：N－mg′＝ma ①
在地球表面mg＝G＝16 ②
由此得m＝1.6 kg，代入①
得g′＝ m/s2 ③
又因h处mg′＝G ④
由②④，得＝
代入数据，得h＝3R.故选B.
答案 B
9．英国《新科学家(New Scientist)》杂志评选出了2008年度世界8项科学之最，在XTEJ1650－500双星系统中发现的最小黑洞位列其中．若某黑洞的半径R约45 km，质量M和半径R的关系满足＝(其中c为光速，G为引力常量)，则该黑洞表面重力加速度的数量级为 ( )．
A．108 m/s2 B．1010 m/s2
C．1012 m/s2 D．1014 m/s2
解析 星球表面的物体满足mg＝G，即GM＝R2g，由题中所给条件＝推出GM＝Rc2，则GM＝R2g＝Rc2，代入数据解得g＝1012 m/s2，C正确．
答案 C
10．火星直径约为地球的一半，质量约为地球的十分之一，它绕太阳公转的轨道半径约为地球公转半径的1.5倍．根据以上数据，以下说法正确的是
( )．
A．火星表面重力加速度的数值比地球表面的小
B．火星公转的周期比地球的长
C．火星公转的线速度比地球的大
D．火星公转的向心加速度比地球的大
解析 本题考查万有引力定律和有关天体运动的问题，意在考查学生对天体运动中各物理量之间的相互关系的掌握情况和分析比较能力．由mg＝得：＝·eq \f(R,R)＝×＝，所以选项A正确；由G＝Mr，得T＝，＝eq \f(\r(r),\r(r))＝>1，所以选项B正确；由G＝M，得v＝ ，a＝＝，所以选项C、D都不对．
答案 AB
11．已知月球质量是地球质量的，月球半径是地球半径的.求：
(1)在月球和地球表面附近，以同样的初速度分别竖直上抛一个物体时，上升的最大高度之比是多少？
(2)在距月球和地球表面相同高度处(此高度较小)，以同样的初速度分别水平抛出一个物体时，物体的水平射程之比为多少？
解析 (1)在月球和地球表面附近竖直上抛的物体都做匀减速直线运动，其上升的最大高度分别为：h月＝eq \f(v,2g月)，h地＝eq \f(v,2g地).式中g月和g地是月球表面和地球表面附近的重力加速度，根据万有引力定律得g月＝eq \f(GM月,R)，g地＝eq \f(GM地,R)
于是得上升的最大高度之比为
＝＝eq \f(M地R,M月R)＝81×＝5.6.
(2)设抛出点的高度为H，初速度为v0，在月球和地球表面附近的平抛物体在竖直方向做自由落体运动，从抛出到落地所用时间分别为t月＝，t地＝.在水平方向做匀速直线运动，其水平射程之比为
＝＝＝＝ ＝＝2.37.
答案 (1)5.6 (2)2.37
12．宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处．(取地球表面重力加速度g＝10 m/s2，空气阻力不计)
(1)求该星球表面附近的重力加速度g′；
(2)已知该星球的半径与地球半径之比为R星∶R地＝1∶4，求该星球的质量与地球质量之比M星∶M地．
解析 (1)依据竖直上抛运动规律可知，地面上竖直上抛物体落回原地经历的时间为：t＝ ①
在该星球表面上竖直上抛的物体落回原地所用时间为：
5t＝ ②
所以g′＝g＝2 m/s2.
(2)星球表面物体所受重力等于其所受星体的万有引力，则有mg＝G，所以M＝，可解得：M星∶M地＝1∶80.
答案 (1)2 m/s2 (2)1∶80
图3－2－5
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第三章 万有引力定律
1 天体运动
(时间：60分钟)
知识点 基础 中档 稍难
天体运动的学说 1 2
开普勒第一、第二定律 3 4
开普勒第三定律 5 6、7、8、9、10
综合提升 11 12
知识点一 天体运动的学说
1．关于行星运动，下列说法正确的是 ( )．
A．地球是宇宙的中心，太阳、月亮及其他行星都绕地球运动
B．太阳是宇宙的中心，地球是围绕太阳的一颗行星
C．宇宙每时每刻都是运动的，静止是相对的
D．不论是日心说还是地心说，在研究行星运动时都是有局限的
解析 宇宙是一个无限的空间，太阳系只是其中很小的一个星系，日心说的核心是认为太阳是行星运动的中心，故选项C、D正确．
答案 CD
2．16世纪，哥白尼根据天文观测的大量资料，经过40多年的天文观测和潜心研究，提出了“日心说”的如下四个基本观点，目前看来这四个观点中存在缺陷的是 ( )．
A．宇宙的中心是太阳，所有行星都在绕太阳做匀速圆周运动
B．地球是绕太阳做匀速圆周运动的行星，月球是绕地球做匀速圆周运动的卫星，它绕地球运转的同时还跟地球一起绕太阳运动
C．天穹不转动，因为地球每天自西向东自转一周，造成天体每天东升西落的现象
D．与日地距离相比，恒星离地球都十分遥远，比日地间的距离大得多
解析 行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上；行星在椭圆轨道上运动的周期T和轨道半长轴满足＝恒量，故所有行星实际并不是在做匀速圆周运动．太阳不是宇宙的中心，整个宇宙在不停地运动．
答案 ABC
知识点二 开普勒第一、第二定律
3．关于太阳系中各行星的轨道，以下说法中正确的是 ( )．
A．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆
B．有的行星绕太阳运动的轨道是圆
C．不同行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴是不同的
D．不同的行星绕太阳运动的轨道各不相同
解析 八大行星的轨道都是椭圆，A对、B错．不同行星离太阳远近不同，轨道不同，半长轴也就不同，C对、D对．
答案 ACD图3－1－7
4．如图3－1－7所示是行星m绕恒星M运动情况示意图，下列说法正确的是 ( )．
A．速度最大点是A点
B．速度最小点是C点
C．m从A到B做减速运动
D．m从B到A做减速运动
解析 由开普勒第二定律可知，行星与恒星的连线在相等时间内扫过的面积相等，因此行星在近恒星点速率较大，在远恒星点速率较小，A对、B错；从A到B速度越来越小，因此行星从A到B做减速运动，C对、D错．
答案 AC
知识点三 开普勒第三定律
5．已知两个行星的质量m1＝2m2，公转周期T1＝2T2，则它们绕太阳运转轨道的半长轴之比为 ( )．
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
解析 由开普勒第三定律＝k，分析得C项正确．
答案 C
6．两颗人造卫星A、B绕地球做圆周运动，周期之比为TA∶TB＝1∶8，则轨道半径之比和运动速率之比分别为 ( )．
A．RA∶RB＝4∶1，vA∶vB＝1∶2
B．RA∶RB＝4∶1，vA∶vB＝2∶1
C．RA∶RB＝1∶4，vA∶vB＝1∶2
D．RA∶RB＝1∶4，vA∶vB＝2∶1
解析 由开普勒第三定律得eq \f(R,R)＝eq \f(T,T)，则＝，又由v＝，可知＝，故D选项正确．
答案 D
7．两颗小行星都绕太阳做圆周运动，其周期分别是T、3T，则 ( )．
A．它们轨道半径之比为1∶3
B．它们轨道半径之比为1∶
C．它们运动的速度之比为∶1
D．以上选项都不对
解析 由题知周期比T1∶T2＝1∶3，根据eq \f(R,T)＝eq \f(R,T)，所以＝＝.又因为v＝，所以＝＝.解题时要注意公式的运用及各物理量之间的关系．
答案 BC
8．关于开普勒行星运动的公式＝k，以下理解正确的是 ( )．
A．k是一个与行星无关的量
B．若地球绕太阳运转轨道的半长轴为R地，周期为T地；月球绕地球运转轨道的半长轴为R月，周期为T月，则eq \f(R,T)＝eq \f(R,T)
C．T表示行星运动的自转周期
D．T表示行星运动的公转周期
解析 T是公转周期，k是一个与环绕星体无关的量，只与被环绕的中心天体有关，中心天体不同，其值不同，只有围绕同一天体运动的行星或卫星，它们半长轴的三次方与公转周期的二次方之比才是同一常数，故eq \f(R,T)≠eq \f(R,T).
答案 AD
9．1990年4月25日，科学家将哈勃天文望远镜送上距地球表面约600 km的高空，使得人类对宇宙中星体的观测与研究有了极大的进展．假设哈勃望远镜沿圆轨道绕地球运行．已知地球半径为6.4×106 m，利用地球同步卫星与地球表面的距离为3.6×107 m这一事实可得到哈勃望远镜绕地球运行的周期，以下数据中最接近其运行周期的是 ( )．
A．0.6小时 B．1.6小时
C．4.0小时 D．24小时
解析 由开普勒第三定律可知＝恒量，所以eq \f(（r＋h1）3,t)＝eq \f(（r＋h2）3,t)，r为地球的半径，h1、t1、h2、t2分别表示望远镜到地表的距离，望远镜的周期、同步卫星距地表的距离、同步卫星的周期(24 h)，代入数据得：t1＝1.6 h.
答案 B
10．太阳系八大行星公转轨道可近似看做圆轨道，“行星公转周期的平方”与“行星与太阳的平均距离的三次方”成正比．地球与太阳之间平均距离约为1.5亿千米，结合下表可知，火星与太阳之间的平均距离约为 ( ).
水星 金星 地球 火星 木星 土星
公转周期(年) 0.241 0.615 1.0 1.88 11.86 29.5
A.1.2亿千米 B．2.3亿千米
C．4.6亿千米 D．6.9亿千米
解析 由题意可知，行星绕太阳运转时，满足＝常数，设地球的公转周期和轨道半径分别为T1、r1，火星绕太阳运行的公转周期和轨道半径分别为T2、r2.由eq \f(r,T)＝eq \f(r,T)代入数值得r2＝2.3亿千米．
答案 B
11．地球绕太阳运行的轨道半长轴为1.50×1011 m，周期为365天，月球绕地球运行的轨道半长轴为3.8×108 m，周期为27.3天，求：
(1)对于绕太阳运行的行星的值；
(2)对于绕地球运行的卫星的值．
解析 (1)根据开普勒第三定律＝k，则对于绕太阳运行的行星，＝ m3/s2
＝3.4×1018 m3/s2
(2)对于绕地球运行的卫星
＝ m3/s2＝1.0×1013 m3/s2.
答案 (1)3.4×1018 m3/s2 (2)1.0×1013 m3/s2
12．月球环绕地球运动的轨道半径约为地球半径的60倍，其运行周期约为27天．现应用开普勒定律计算：在赤道平面内离地面多高时，人造地球卫星可随地球一起转动，就像其停留在天空中不动一样．若两颗人造卫星绕地球做圆周运动，周期之比为1∶8，则它们轨道半径之比是多少？(已知R地＝6.4×103 km)
解析 月球和人造地球卫星都在环绕地球运转，根据开普勒第三定律，它们运行轨道的半径的三次方跟圆周运动周期的二次方的比值都是相等的．设人造地球卫星运动的半径为R，周期为T＝1天，根据开普勒第三定律有：＝k，同理设月球轨道半径为R′，周期为T′，也有＝k
由以上两式可得＝
R＝＝ ＝6.67R地
在赤道平面内离地面高度
H＝R－R地＝6.67R地－R地＝5.67R地
＝5.67×6.4×103 km＝3.63×104 km.
由开普勒第三定律：eq \f(R,T)＝eq \f(R,T)
又因为T1∶T2＝1∶8，解得R1∶R2＝1∶4.
答案 3.63×104 km 1∶4
图3－1－7
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