弧长及扇形的面积（附答案） 中考链接
文档属性
| 名称 | 弧长及扇形的面积（附答案） 中考链接 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 215.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2014-03-20 09:35:41 | ||
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文档简介
弧长及扇形的面积 中考链接
一．选择题（共8小题）
1．（2013 资阳）钟面上的分针的长为1，从9点到9点30分，分针在钟面上扫过的面积是（ ）
A． π B． π C． π D． π
2．（2013 葫芦岛）如图，AB是半圆的直径，AB=2，∠B=30°，则的长为（ ）
A． B． C． π D．
3．（2013 东营）如图，正方形ABCD中，分别以B、D为圆心，以正方形的边长a为半径画弧，形成树叶形（阴影部分）图案，则树叶形图案的周长为（ ）
A．πa B． 2πa C． D． 3a
4．（2013 德州）如图，扇形AOB的半径为1，∠AOB=90°，以AB为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2013 赤峰）如图，ABCD是平行四边形，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上AD=OA=1，则图中阴影部分的面积为（
A． B． C． D．
6．（2012 泰安）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC=120°，OC=3，则的长为（ ）
A．π B． 2π C． 3π D． 5π
7．（2013 达州）如图，一条公路的转变处是一段圆弧（即图中弧CD，点O是弧CD的圆心），其中CD=600米，E为弧CD上一点，且OE⊥CD，垂足为F，OF=米，则这段弯路的长度为（ ）
A． 200π米 B． 100π米 C． 400π米 D． 300π米
8．（2013 遵义）如图，将边长为1cm的等边三角形ABC沿直线l向右翻动（不滑动），点B从开始到结束，所经过路径的长度为（ ）
A． cm B． （2+π）cm C． cm D． 3cm
二．填空题（共6小题）
9．（2013 六盘水）若⊙A和⊙B相切，它们的半径分别为8cm和2cm，则圆心距AB为 _________ cm．
10．（2013 遵义）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，E为BC边上的一点，以A为圆心，AE为半径的圆弧交AB于点D，交AC的延长于点F，若图中两个阴影部分的面积相等，则AF的长为 _________ （结果保留根号）．
11．（2013 重庆）如图，一个圆心角为90°的扇形，半径OA=2，那么图中阴影部分的面积为（结果保留π） _________ ．
12．（2013 宜宾）如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次是A、B、C，如果AB=1，那么曲线CDEF的长是 _________ ．
13．（2013 梧州）如图，AC⊥BC，AC=BC=4，以AC为直径作半圆，圆心为点O；以点C为圆心，BC为半径作．过点O作BC的平行线交两弧于点D、E，则阴影部分的面积是 _________ ．
14．（2013 济宁）如图，△ABC和△A′B′C是两个完全重合的直角三角板，∠B=30°，斜边长为10cm．三角板A′B′C绕直角顶点C顺时针旋转，当点A′落在AB边上时，CA′旋转所构成的扇形的弧长为 _________ cm．
三．解答题（共8小题）
15．（2013 自贡）如图，点B、C、D都在⊙O上，过点C作AC∥BD交OB延长线于点A，连接CD，且∠CDB=∠OBD=30°，DB=cm．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）
16．（2013 玉溪）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，OF⊥AC于点F，
（1）请探索OF和BC的关系并说明理由；
（2）若∠D=30°，BC=1时，求圆中阴影部分的面积．（结果保留π）
17．（2013 新疆）如图，已知⊙O的半径为4，CD是⊙O的直径，AC为⊙O的弦，B为CD延长线上的一点，∠ABC=30°，且AB=AC．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）求弦AC的长；
（3）求图中阴影部分的面积．
18．（2013 钦州）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知BD=2，AE=3，tan∠BOD=．
（1）求⊙O的半径OD；
（2）求证：AE是⊙O的切线；
（3）求图中两部分阴影面积的和．
19．（2013 绵阳）如图，AB是⊙O的直径，C是半圆O上的一点，AC平分∠DAB，AD⊥CD，垂足为D，AD交⊙O于E，连接CE．
（1）判断CD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若E是的中点，⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积．
20．（2013 泰州）如图，AB为⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD=60°，P为AB延长线上的点，∠APD=30°．
（1）求证：DP是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3cm，求图中阴影部分的面积．
21．（2013 沈阳）如图，OC平分∠MON，点A在射线OC上，以点A为圆心，半径为2的⊙A与OM相切与点B，连接BA并延长交⊙A于点D，交ON于点E．
（1）求证：ON是⊙A的切线；
（2）若∠MON=60°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）
22．（2013 怀化）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC+BC=9，点O是斜边AB上一点，以O为圆心2为半径的圆分别与AC、BC相切于点D、E．
（1）求AC、BC的长；
（2）若AC=3，连接BD，求图中阴影部分的面积（π取3.14）．
参考答案
一．选择题（共8小题）
1． A．
2． B．
3． A．
4． C．
5． A．
6． B．
7． A．
8． C．
二．填空题（共6小题）
9． 10或6．
10． ．
11．π﹣2．
12． 4π．
13． π﹣2．
14． ．
三．解答题（共8小题）
15． 如图，连接BC，OD，OC，设OC与BD交于点M．
（1）证明：根据圆周角定理得：∠COB=2∠CDB=2×30°=60°，∵AC∥BD，∴∠A=∠OBD=30°，
∴∠OCA=180°﹣30°﹣60°=90°，即OC⊥AC，∵OC为半径，∴AC是⊙O的切线；
（2）解：由（1）知，AC为⊙O的切线，∴OC⊥AC．∵AC∥BD，∴OC⊥BD．
由垂径定理可知，MD=MB=BD=．
在Rt△OBM中，∠COB=60°，OB===6．
在△CDM与△OBM中，
∴△CDM≌△OBM
∴S△CDM=S△OBM∴阴影部分的面积S阴影=S扇形BOC==6π（cm2）．
16．解：（1）OF∥BC，OF=BC．理由：由垂径定理得AF=CF．
∵AO=BO，∴OF是△ABC的中位线．∴OF∥BC，OF=BC．
（2）连接OC．由（1）知OF=．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∵∠D=30°，∴∠A=30°．∴AB=2BC=2．∴AC=．
∴S△AOC=×AC×OF=．∵∠AOC=120°，OA=1，
∴S扇形AOC==．∴S阴影=S扇形AOC﹣S△AOC=﹣．
17．（1）证明：如图，连接OA．∵AB=AC，∠ABC=30°，∴∠ABC=∠ACB=30°．∴∠AOB=2∠ACB=60°，∴在△ABO中，∠BAO=180°﹣∠ABO﹣∠AOB=90°，即AB⊥OA，又∵OA是⊙O的半径，∴AB为⊙O的切线；
（2）解：如图，连接AD．∵CD是⊙O的直径，∴∠DAC=90°．∵由（1）知，∠ACB=30°，∴AD=CD=4，
则根据勾股定理知AC==4，即弦AC的长是4；
（3）解：由（2）知，在△ADC中，∠DAC=90°，AD=4，AC=4，则S△ADC=AD AC=×4×4=8．∵点O是△ADC斜边上的中点，∴S△AOC=S△ADC=4．
根据图示知，S阴影=S扇形ADO+S△AOC=+4=+4，即图中阴影部分的面积是+4．
18．解：（1）∵AB与圆O相切，
∴OD⊥AB，在Rt△BDO中，BD=2，tan∠BOD==，∴OD=3；
（2）连接OE，∵AE=OD=3，AE∥OD，∴四边形AEOD为平行四边形，
∴AD∥EO，∵DA⊥AE，∴OE⊥AC，又∵OE为圆的半径，∴AE为圆O的切线；
（3）∵OD∥AC，∴=，即=，∴AC=7.5，∴EC=AC﹣AE=7.5﹣3=4.5，
∴S阴影=S△BDO+S△OEC﹣S扇形FOD﹣S扇形EOG=×2×3+×3×4.5﹣=3+﹣=．
19．解：（1）CD与圆O相切．理由如下：
∵AC为∠DAB的平分线，∴∠DAC=∠BAC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，∴OC∥AD，∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，则CD与圆O相切；
（2）连接EB，交OC于F，∵AB为直径，得到∠AEB=90°，
∴EB∥CD，F为EB的中点，∴OF为△ABE的中位线，∴OF=AE=，即CF=DE=，
在Rt△OBF中，根据勾股定理得：EF=FB=DC=，则S阴影=S△DEC=××=．
20．（1）证明：连接OD，∵∠ACD=60°，
∴由圆周角定理得：∠AOD=2∠ACD=120°，∴∠DOP=180°﹣120°=60°，
∵∠APD=30°，∴∠ODP=180°﹣30°﹣60°=90°，∴OD⊥DP，∵OD为半径，∴DP是⊙O切线；
（2）解：∵∠P=30°，∠ODP=90°，OD=3cm，∴OP=6cm，由勾股定理得：DP=3cm，∴图中阴影部分的面积S=S△ODP﹣S扇形DOB=×3×3﹣=（﹣π）cm2
21．（1）证明：过点A作AF⊥ON于点F，
∵⊙A与OM相切与点B，∴AB⊥OM，∵OC平分∠MON，∴AF=AB=2，∴ON是⊙A的切线；
（2）解：∵∠MON=60°，AB⊥OM，∴∠OEB=30°，∴AF⊥ON，∴∠FAE=60°，
在Rt△AEF中，tan∠FAE=，∴EF=AF tan60°=2，∴S阴影=S△AEF﹣S扇形ADF=AF EF﹣×π×AF2=2﹣π．
22．解：（1）连接OD、OE，
∵⊙O切BC于E，切AC于D，∠C=90°，
∴∠ADO=∠BEO=90°，∠ODC=∠C=∠OEC=90°，
∵OE=OD=2，
∴四边形CDOE是正方形，∴CE=CD=OD=OE=2，∠DOE=90°，∵∠OEB=∠C=90°，设AD=x，∵AC+BC=9，∴BE=9﹣2﹣2﹣x=5﹣x，∴OE∥AC，∴∠EOB=∠A，∴△OEB∽△ADO，∴=，∴=，x=1或4，∴AC=3，BC=6或AC=6，BC=3；
（2）∵AC=3，AD=3﹣2=1，BC=6，
∴阴影部分的面积S=S△ACB﹣S△ADB﹣（S正方形CDOE﹣S扇形ODE）=×3×6﹣×1×6﹣（2×2﹣）=9﹣3﹣（4﹣π）=2+π≈5.14．
一．选择题（共8小题）
1．（2013 资阳）钟面上的分针的长为1，从9点到9点30分，分针在钟面上扫过的面积是（ ）
A． π B． π C． π D． π
2．（2013 葫芦岛）如图，AB是半圆的直径，AB=2，∠B=30°，则的长为（ ）
A． B． C． π D．
3．（2013 东营）如图，正方形ABCD中，分别以B、D为圆心，以正方形的边长a为半径画弧，形成树叶形（阴影部分）图案，则树叶形图案的周长为（ ）
A．πa B． 2πa C． D． 3a
4．（2013 德州）如图，扇形AOB的半径为1，∠AOB=90°，以AB为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2013 赤峰）如图，ABCD是平行四边形，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上AD=OA=1，则图中阴影部分的面积为（
A． B． C． D．
6．（2012 泰安）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC=120°，OC=3，则的长为（ ）
A．π B． 2π C． 3π D． 5π
7．（2013 达州）如图，一条公路的转变处是一段圆弧（即图中弧CD，点O是弧CD的圆心），其中CD=600米，E为弧CD上一点，且OE⊥CD，垂足为F，OF=米，则这段弯路的长度为（ ）
A． 200π米 B． 100π米 C． 400π米 D． 300π米
8．（2013 遵义）如图，将边长为1cm的等边三角形ABC沿直线l向右翻动（不滑动），点B从开始到结束，所经过路径的长度为（ ）
A． cm B． （2+π）cm C． cm D． 3cm
二．填空题（共6小题）
9．（2013 六盘水）若⊙A和⊙B相切，它们的半径分别为8cm和2cm，则圆心距AB为 _________ cm．
10．（2013 遵义）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，E为BC边上的一点，以A为圆心，AE为半径的圆弧交AB于点D，交AC的延长于点F，若图中两个阴影部分的面积相等，则AF的长为 _________ （结果保留根号）．
11．（2013 重庆）如图，一个圆心角为90°的扇形，半径OA=2，那么图中阴影部分的面积为（结果保留π） _________ ．
12．（2013 宜宾）如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次是A、B、C，如果AB=1，那么曲线CDEF的长是 _________ ．
13．（2013 梧州）如图，AC⊥BC，AC=BC=4，以AC为直径作半圆，圆心为点O；以点C为圆心，BC为半径作．过点O作BC的平行线交两弧于点D、E，则阴影部分的面积是 _________ ．
14．（2013 济宁）如图，△ABC和△A′B′C是两个完全重合的直角三角板，∠B=30°，斜边长为10cm．三角板A′B′C绕直角顶点C顺时针旋转，当点A′落在AB边上时，CA′旋转所构成的扇形的弧长为 _________ cm．
三．解答题（共8小题）
15．（2013 自贡）如图，点B、C、D都在⊙O上，过点C作AC∥BD交OB延长线于点A，连接CD，且∠CDB=∠OBD=30°，DB=cm．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）
16．（2013 玉溪）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，OF⊥AC于点F，
（1）请探索OF和BC的关系并说明理由；
（2）若∠D=30°，BC=1时，求圆中阴影部分的面积．（结果保留π）
17．（2013 新疆）如图，已知⊙O的半径为4，CD是⊙O的直径，AC为⊙O的弦，B为CD延长线上的一点，∠ABC=30°，且AB=AC．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）求弦AC的长；
（3）求图中阴影部分的面积．
18．（2013 钦州）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知BD=2，AE=3，tan∠BOD=．
（1）求⊙O的半径OD；
（2）求证：AE是⊙O的切线；
（3）求图中两部分阴影面积的和．
19．（2013 绵阳）如图，AB是⊙O的直径，C是半圆O上的一点，AC平分∠DAB，AD⊥CD，垂足为D，AD交⊙O于E，连接CE．
（1）判断CD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若E是的中点，⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积．
20．（2013 泰州）如图，AB为⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD=60°，P为AB延长线上的点，∠APD=30°．
（1）求证：DP是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3cm，求图中阴影部分的面积．
21．（2013 沈阳）如图，OC平分∠MON，点A在射线OC上，以点A为圆心，半径为2的⊙A与OM相切与点B，连接BA并延长交⊙A于点D，交ON于点E．
（1）求证：ON是⊙A的切线；
（2）若∠MON=60°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）
22．（2013 怀化）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC+BC=9，点O是斜边AB上一点，以O为圆心2为半径的圆分别与AC、BC相切于点D、E．
（1）求AC、BC的长；
（2）若AC=3，连接BD，求图中阴影部分的面积（π取3.14）．
参考答案
一．选择题（共8小题）
1． A．
2． B．
3． A．
4． C．
5． A．
6． B．
7． A．
8． C．
二．填空题（共6小题）
9． 10或6．
10． ．
11．π﹣2．
12． 4π．
13． π﹣2．
14． ．
三．解答题（共8小题）
15． 如图，连接BC，OD，OC，设OC与BD交于点M．
（1）证明：根据圆周角定理得：∠COB=2∠CDB=2×30°=60°，∵AC∥BD，∴∠A=∠OBD=30°，
∴∠OCA=180°﹣30°﹣60°=90°，即OC⊥AC，∵OC为半径，∴AC是⊙O的切线；
（2）解：由（1）知，AC为⊙O的切线，∴OC⊥AC．∵AC∥BD，∴OC⊥BD．
由垂径定理可知，MD=MB=BD=．
在Rt△OBM中，∠COB=60°，OB===6．
在△CDM与△OBM中，
∴△CDM≌△OBM
∴S△CDM=S△OBM∴阴影部分的面积S阴影=S扇形BOC==6π（cm2）．
16．解：（1）OF∥BC，OF=BC．理由：由垂径定理得AF=CF．
∵AO=BO，∴OF是△ABC的中位线．∴OF∥BC，OF=BC．
（2）连接OC．由（1）知OF=．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∵∠D=30°，∴∠A=30°．∴AB=2BC=2．∴AC=．
∴S△AOC=×AC×OF=．∵∠AOC=120°，OA=1，
∴S扇形AOC==．∴S阴影=S扇形AOC﹣S△AOC=﹣．
17．（1）证明：如图，连接OA．∵AB=AC，∠ABC=30°，∴∠ABC=∠ACB=30°．∴∠AOB=2∠ACB=60°，∴在△ABO中，∠BAO=180°﹣∠ABO﹣∠AOB=90°，即AB⊥OA，又∵OA是⊙O的半径，∴AB为⊙O的切线；
（2）解：如图，连接AD．∵CD是⊙O的直径，∴∠DAC=90°．∵由（1）知，∠ACB=30°，∴AD=CD=4，
则根据勾股定理知AC==4，即弦AC的长是4；
（3）解：由（2）知，在△ADC中，∠DAC=90°，AD=4，AC=4，则S△ADC=AD AC=×4×4=8．∵点O是△ADC斜边上的中点，∴S△AOC=S△ADC=4．
根据图示知，S阴影=S扇形ADO+S△AOC=+4=+4，即图中阴影部分的面积是+4．
18．解：（1）∵AB与圆O相切，
∴OD⊥AB，在Rt△BDO中，BD=2，tan∠BOD==，∴OD=3；
（2）连接OE，∵AE=OD=3，AE∥OD，∴四边形AEOD为平行四边形，
∴AD∥EO，∵DA⊥AE，∴OE⊥AC，又∵OE为圆的半径，∴AE为圆O的切线；
（3）∵OD∥AC，∴=，即=，∴AC=7.5，∴EC=AC﹣AE=7.5﹣3=4.5，
∴S阴影=S△BDO+S△OEC﹣S扇形FOD﹣S扇形EOG=×2×3+×3×4.5﹣=3+﹣=．
19．解：（1）CD与圆O相切．理由如下：
∵AC为∠DAB的平分线，∴∠DAC=∠BAC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，∴OC∥AD，∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，则CD与圆O相切；
（2）连接EB，交OC于F，∵AB为直径，得到∠AEB=90°，
∴EB∥CD，F为EB的中点，∴OF为△ABE的中位线，∴OF=AE=，即CF=DE=，
在Rt△OBF中，根据勾股定理得：EF=FB=DC=，则S阴影=S△DEC=××=．
20．（1）证明：连接OD，∵∠ACD=60°，
∴由圆周角定理得：∠AOD=2∠ACD=120°，∴∠DOP=180°﹣120°=60°，
∵∠APD=30°，∴∠ODP=180°﹣30°﹣60°=90°，∴OD⊥DP，∵OD为半径，∴DP是⊙O切线；
（2）解：∵∠P=30°，∠ODP=90°，OD=3cm，∴OP=6cm，由勾股定理得：DP=3cm，∴图中阴影部分的面积S=S△ODP﹣S扇形DOB=×3×3﹣=（﹣π）cm2
21．（1）证明：过点A作AF⊥ON于点F，
∵⊙A与OM相切与点B，∴AB⊥OM，∵OC平分∠MON，∴AF=AB=2，∴ON是⊙A的切线；
（2）解：∵∠MON=60°，AB⊥OM，∴∠OEB=30°，∴AF⊥ON，∴∠FAE=60°，
在Rt△AEF中，tan∠FAE=，∴EF=AF tan60°=2，∴S阴影=S△AEF﹣S扇形ADF=AF EF﹣×π×AF2=2﹣π．
22．解：（1）连接OD、OE，
∵⊙O切BC于E，切AC于D，∠C=90°，
∴∠ADO=∠BEO=90°，∠ODC=∠C=∠OEC=90°，
∵OE=OD=2，
∴四边形CDOE是正方形，∴CE=CD=OD=OE=2，∠DOE=90°，∵∠OEB=∠C=90°，设AD=x，∵AC+BC=9，∴BE=9﹣2﹣2﹣x=5﹣x，∴OE∥AC，∴∠EOB=∠A，∴△OEB∽△ADO，∴=，∴=，x=1或4，∴AC=3，BC=6或AC=6，BC=3；
（2）∵AC=3，AD=3﹣2=1，BC=6，
∴阴影部分的面积S=S△ACB﹣S△ADB﹣（S正方形CDOE﹣S扇形ODE）=×3×6﹣×1×6﹣（2×2﹣）=9﹣3﹣（4﹣π）=2+π≈5.14．