17.1变量与函数 教案
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17.1变量与函数 教学设计
课题 17.1变量与函数 单元 第17 单元 学科 数学 年级 八年级（下）
教材分析 通过实际问题，引导学生直观感知，领悟函数基本概念的意义；引导学生联系代数式和方程的相关知识，继续探索数量关系，增强数学建模意识，列出函数关系式．
核心素养分析 学生初步感知实际生活蕴藏着丰富的数学知识，感知数学是有用、有趣的学科．借助简单实例，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,体验“发现、创造”数学知识的乐趣．
学习目标 1、掌握常量和变量、自变量和因变量(函数)基本概念；2、了解表示函数关系的三种方法：解析法、列表法、图象法，并会用解析法表示数量关系．3、理解函数的定义，熟练地列出实际问题的函数关系式．4、理解自变量取值范围的含义，能求出函数关系式中自变量的取值范围．
重点 理解函数的定义，熟练列出函数关系式，会求自变量的取值范围．
难点 理解函数概念．
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题世界是不断变化发展的，生活中也充满着许许多多变化的量，而这些变化的量之间往往存在着这样或那样的关系，请同学们欣赏下面的实际问题．汽车行驶的路程随行驶的时间而变化气温随海拔而变化为了更深刻地认识千变万化的世界，在这一章里我们将学习有关一种量随另一种量变化的一些基本知识，其中包括如何用式子和图、表来描述、刻画这种变化的内容．师：请同学们探究下列问题．问题1：看图回答：（1）这天的6时、10时和14时的气温分别为多少？任意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温．（2）这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？（3）这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？ 问题2：小蕾在过14岁生日的时候，看到了爸爸为她记录的各周岁的体重，如下表： 请同学观察上表，说一说随着年龄的增长，小蕾的体重是如何变化的？在哪一段时间内体重增加较快．问题3：收音机刻度盘的波长和频率分别是用米(m)和千赫兹(kHz)为单位标刻的．下面是一些对应的数值： 观察上表回答：（1）波长和频率f数值之间有什么关系 （2）波长越大，频率f 就________．问题4：如果用r表示圆的半径，S表示圆的面积，则S与r之间满足下列关系：．利用这个关系式，试求出半径为1 cm、1.5 cm、2 cm、2.6 cm、3.2 cm时圆的面积，并将结果填入下表：圆的半径越大，它的面积就_______．师：通过上面问题的探究，你知道什么是常量？什么是变量吗？生：常量：在某一变化过程中，始终保持不变的量．变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量．师：请你列举出生活中的变化的实例并指出其中的常量与变量．师：前面我们研究的每个问题中都有几个变量？生：两个变量．师：同一个问题中的两个变量之间有什么联系？ 生：每个问题中的两个变量互相联系，其中一个变量取定一个值时，另一个变量就随之确定一个值．即：一个变量的值随另一个变量的值的变化而变化．师：同学们知道什么是函数吗？生：函数：一般地，在某一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是因变量，此时也称y是x的函数． 师：你知道函数的表示方法吗？生：（1）解析法．如： 和 ，函数关系是用表达式表示的，它们又称函数关系式．这种表示函数关系的方法称为解析法．（2）列表法．如问题2中小蕾的年龄与体重的关系表，问题3中的波长与频率的关系表．这种表示函数关系的方法称为列表法．（3）图象法．如下图中的气温曲线．师：你会求函数自变量的取值范围吗？在研究函数时，必须注意自变量的取值范围．在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况：（1）函数关系式为整式形式，自变量取值范围为任意实数；（2）函数关系式为分式形式，分母不等于0；（3）函数关系式为二次根式，被开方数大于或等于0．在实际问题中，自变量的取值必须符合实际意义．师：你会根据实际问题列出函数关系式吗？问题：（1）填写如图所示的加法表，然后把所有填有10的格子涂黑，看看你能发现什么 ( http: / / www.21cnjy.com )（2）如果把这些涂黑的格子横向的加数用x表示，纵向的加数用y表示，试写出y与x的函数关系式． （3）当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是多少？当纵向的加数为6时，横向的加数是多少？横向的加数为3时，纵向的加数是7，纵向的加数为6时，横向的加数是4． 思考自议通过探究活动理解函数自变量的取值范围，特别注意实际问题中自变量的取值范围． 了解函数的三种表示方法及其特点．培养学生通过表格获取信息的能力，体会一种量随另一种量变化而变化．
讲授新课 二、提炼概念 一般地，在一个变化过程中，有两个变量，例如x和y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与其对应，我们就说x是自变量，y是因变量，此时也称y是x的函数.三、典例精讲例1 试写出等腰三角形中顶角的度数y与底角的度数x之间的函数关系式．师：三角形内角和定理的内容是什么？根据三角形的内角和定理你能得到y与x的函数关系式吗？等腰三角形的底角可以是直角或钝角吗？由此你能得到自变量x的取值范围吗？ 解：根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可知：，．由于等腰三角形的底角只能是锐角．所以0°＜x＜90 °．例2 如图，等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10 cm，AC与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A点与N点重合．（1）试写出重叠部分面积y cm2与MA长度x cm之间的函数关系式．（2）当点A向右移动1 cm时，重叠部分的面积是多少？师：重叠部分是什么图形？重叠部分的面积怎么求？这里自变量x的取值范围是什么？解 y与x的函数关系式：．当x＝1时，所以当MA＝1 cm时，重叠部分的面积是2．1世纪 通过例题的解决培养学生根据实际问题列代数式的能力． 认识变量之间的一一对应和唯一性，有简单的函数思想.
课堂练习 四、巩固训练1.下列说法中，不正确的是（ ）A、函数不是数，而是 一种关系B、多边形的内角和是边数的函数C、一天中时间是温度的函数D、一天中温度是时间的函数C2.汽车开始行驶时，油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内剩余油量Q升与行驶时间t小时的关系是 。 .Q＝40－5t 3.三角形的三边长分别为3cm、5cm、xcm，则三角形的周长y(cm)与x(cm)之间的函数关系式是 ，自变量x的取值范围是 ． .y＝x＋8 ，2＜x＜8 4.下列变化中，哪些y是x的函数？哪些不是？说明理由. xy=2 x2+y2=10 x+y=5 |y|=3x+1 是，不是，是，是5.分别写出下列各问题中的函数关系式及自变量的取值范围：(1).某市民用电费标准为每度0.50元，求电费y（元）关于用电度数x的函数关系式；(2).已知等腰三角形的面积为20cm2，设它的底边长为x（cm），求底边上的高y（cm）关于x的函数关系式；(3).在一个半径为10 cm的圆形纸片中剪去一个半径为r（cm）的同心圆，得到一个圆环.设圆环的面积为S（cm2），求S关于r的函数关系式.6.某市自来水公司为限制单位用水，每月只给某单位计划内用水3000吨，计划内用水每吨收费1.8元，超计划部分每吨按2.0元收费. （1）写出该单位水费y（元）与每月用水量x（吨）之间的函数关系式；（2）5月该单位用水3200吨，6月用水2800吨，分别求出该单位5月，6月的水费分别是多少元？解：（1）单位水费y（元）和每月用水量x（吨），
当x≤3000吨时；y=1.8x．
当x＞3000吨时：y=3000×1.8+2.0（x-3000）=2x-600．（2）单位用水3200吨，水费是：y=2×3200-600=5800（元）；
用水2800吨，水费：y=1.8×2800=3240（元）．
课堂小结 课堂小结学习小结 (1)内容总结 函数 自变量取值范围的限制条件21世纪教育网版权所 函数值的求法 (2)方法归纳 求函数自变量的取值范围,常常首先依据函数关系式的结构特点或依据实际构 建不等式或不等式组,通过解不等式(组)达到解决问题的目的. 在给定一个函数解析式的条件下 ( http: / / www.21cnjy.com ),已知自变量的一个固定值,可以利用求代数式 的值的方法求出函数的对应值;已知函数的一个固定值,可以首先构建方程,通过解 方程求出自变量的对应值.
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17.1变量与函数 教学设计
课题 17.1变量与函数 单元 第17 单元 学科 数学 年级 八年级（下）
教材分析 通过实际问题，引导学生直观感知，领悟函数基本概念的意义；引导学生联系代数式和方程的相关知识，继续探索数量关系，增强数学建模意识，列出函数关系式．
核心素养分析 学生初步感知实际生活蕴藏着丰富的数学知识，感知数学是有用、有趣的学科．借助简单实例，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,体验“发现、创造”数学知识的乐趣．
学习目标 1、掌握常量和变量、自变量和因变量(函数)基本概念；2、了解表示函数关系的三种方法：解析法、列表法、图象法，并会用解析法表示数量关系．3、理解函数的定义，熟练地列出实际问题的函数关系式．4、理解自变量取值范围的含义，能求出函数关系式中自变量的取值范围．
重点 理解函数的定义，熟练列出函数关系式，会求自变量的取值范围．
难点 理解函数概念．
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题世界是不断变化发展的，生活中也充满着许许多多变化的量，而这些变化的量之间往往存在着这样或那样的关系，请同学们欣赏下面的实际问题．汽车行驶的路程随行驶的时间而变化气温随海拔而变化为了更深刻地认识千变万化的世界，在这一章里我们将学习有关一种量随另一种量变化的一些基本知识，其中包括如何用式子和图、表来描述、刻画这种变化的内容．师：请同学们探究下列问题．问题1：看图回答：（1）这天的6时、10时和14时的气温分别为多少？任意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温．（2）这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？（3）这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？ 问题2：小蕾在过14岁生日的时候，看到了爸爸为她记录的各周岁的体重，如下表： 请同学观察上表，说一说随着年龄的增长，小蕾的体重是如何变化的？在哪一段时间内体重增加较快．问题3：收音机刻度盘的波长和频率分别是用米(m)和千赫兹(kHz)为单位标刻的．下面是一些对应的数值： 观察上表回答：（1）波长和频率f数值之间有什么关系 （2）波长越大，频率f 就________．问题4：如果用r表示圆的半径，S表示圆的面积，则S与r之间满足下列关系：．利用这个关系式，试求出半径为1 cm、1.5 cm、2 cm、2.6 cm、3.2 cm时圆的面积，并将结果填入下表：圆的半径越大，它的面积就_______．师：通过上面问题的探究，你知道什么是常量？什么是变量吗？生：常量：在某一变化过程中，始终保持不变的量．变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量．师：请你列举出生活中的变化的实例并指出其中的常量与变量．师：前面我们研究的每个问题中都有几个变量？生：两个变量．师：同一个问题中的两个变量之间有什么联系？ 生：每个问题中的两个变量互相联系，其中一个变量取定一个值时，另一个变量就随之确定一个值．即：一个变量的值随另一个变量的值的变化而变化．师：同学们知道什么是函数吗？生：函数：一般地，在某一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是因变量，此时也称y是x的函数． 师：你知道函数的表示方法吗？生：（1）解析法．如： 和 ，函数关系是用表达式表示的，它们又称函数关系式．这种表示函数关系的方法称为解析法．（2）列表法．如问题2中小蕾的年龄与体重的关系表，问题3中的波长与频率的关系表．这种表示函数关系的方法称为列表法．（3）图象法．如下图中的气温曲线．师：你会求函数自变量的取值范围吗？在研究函数时，必须注意自变量的取值范围．在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况：（1）函数关系式为整式形式，自变量取值范围为任意实数；（2）函数关系式为分式形式，分母不等于0；（3）函数关系式为二次根式，被开方数大于或等于0．在实际问题中，自变量的取值必须符合实际意义．师：你会根据实际问题列出函数关系式吗？问题：（1）填写如图所示的加法表，然后把所有填有10的格子涂黑，看看你能发现什么 ( http: / / www.21cnjy.com )（2）如果把这些涂黑的格子横向的加数用x表示，纵向的加数用y表示，试写出y与x的函数关系式． （3）当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是多少？当纵向的加数为6时，横向的加数是多少？横向的加数为3时，纵向的加数是7，纵向的加数为6时，横向的加数是4． 思考自议通过探究活动理解函数自变量的取值范围，特别注意实际问题中自变量的取值范围． 了解函数的三种表示方法及其特点．培养学生通过表格获取信息的能力，体会一种量随另一种量变化而变化．
讲授新课 二、提炼概念 一般地，在一个变化过程中，有两个变量，例如x和y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与其对应，我们就说x是自变量，y是因变量，此时也称y是x的函数.三、典例精讲例1 试写出等腰三角形中顶角的度数y与底角的度数x之间的函数关系式．师：三角形内角和定理的内容是什么？根据三角形的内角和定理你能得到y与x的函数关系式吗？等腰三角形的底角可以是直角或钝角吗？由此你能得到自变量x的取值范围吗？ 解：根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可知：，．由于等腰三角形的底角只能是锐角．所以0°＜x＜90 °．例2 如图，等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10 cm，AC与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A点与N点重合．（1）试写出重叠部分面积y cm2与MA长度x cm之间的函数关系式．（2）当点A向右移动1 cm时，重叠部分的面积是多少？师：重叠部分是什么图形？重叠部分的面积怎么求？这里自变量x的取值范围是什么？解 y与x的函数关系式：．当x＝1时，所以当MA＝1 cm时，重叠部分的面积是2．1世纪 通过例题的解决培养学生根据实际问题列代数式的能力． 认识变量之间的一一对应和唯一性，有简单的函数思想.
课堂练习 四、巩固训练1.下列说法中，不正确的是（ ）A、函数不是数，而是 一种关系B、多边形的内角和是边数的函数C、一天中时间是温度的函数D、一天中温度是时间的函数C2.汽车开始行驶时，油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内剩余油量Q升与行驶时间t小时的关系是 。 .Q＝40－5t 3.三角形的三边长分别为3cm、5cm、xcm，则三角形的周长y(cm)与x(cm)之间的函数关系式是 ，自变量x的取值范围是 ． .y＝x＋8 ，2＜x＜8 4.下列变化中，哪些y是x的函数？哪些不是？说明理由. xy=2 x2+y2=10 x+y=5 |y|=3x+1 是，不是，是，是5.分别写出下列各问题中的函数关系式及自变量的取值范围：(1).某市民用电费标准为每度0.50元，求电费y（元）关于用电度数x的函数关系式；(2).已知等腰三角形的面积为20cm2，设它的底边长为x（cm），求底边上的高y（cm）关于x的函数关系式；(3).在一个半径为10 cm的圆形纸片中剪去一个半径为r（cm）的同心圆，得到一个圆环.设圆环的面积为S（cm2），求S关于r的函数关系式.6.某市自来水公司为限制单位用水，每月只给某单位计划内用水3000吨，计划内用水每吨收费1.8元，超计划部分每吨按2.0元收费. （1）写出该单位水费y（元）与每月用水量x（吨）之间的函数关系式；（2）5月该单位用水3200吨，6月用水2800吨，分别求出该单位5月，6月的水费分别是多少元？解：（1）单位水费y（元）和每月用水量x（吨），
当x≤3000吨时；y=1.8x．
当x＞3000吨时：y=3000×1.8+2.0（x-3000）=2x-600．（2）单位用水3200吨，水费是：y=2×3200-600=5800（元）；
用水2800吨，水费：y=1.8×2800=3240（元）．
课堂小结 课堂小结学习小结 (1)内容总结 函数 自变量取值范围的限制条件21世纪教育网版权所 函数值的求法 (2)方法归纳 求函数自变量的取值范围,常常首先依据函数关系式的结构特点或依据实际构 建不等式或不等式组,通过解不等式(组)达到解决问题的目的. 在给定一个函数解析式的条件下 ( http: / / www.21cnjy.com ),已知自变量的一个固定值,可以利用求代数式 的值的方法求出函数的对应值;已知函数的一个固定值,可以首先构建方程,通过解 方程求出自变量的对应值.
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