4.3.2等比数列的前n项和公式（2） 课件（共20张PPT）

4.5等比数列的前n项和公式(2)
na1
公式解析
等比数列的前n项和公式
复习引入
例10. 如图，正方形ABCD 的边长为5cm ，取正方形ABCD 各边的中点
E,F,G,H, 作第2个正方形 EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I,J,K,L，
作第3个正方形IJKL ，依此方法一直继续下去.
(1) 求从正方形ABCD 开始，连续10个正方形的面积之和；
(2) 如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的
面积之和将趋近于多少？
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探究新知
分析：可以利用数列表示各正方形的面积，根据条件可知，这是一个等比数列。
新知探究
解：设正方形的面积为????1，后续各正方形的面积依次为????2, ????3,?…,????????,…，
则????1=25,
由于第????+1个正方形的顶点分别是第????个正方形各边的中点，
所以????????+1=12????????,
因此{????????}，是以25为首项，12为公比的等比数列.
设{????????}的前项和为????????
（1）????10=25×1?1210?1??12=50×1?1210=25575512
所以，前10个正方形的面积之和为25575512c????2.
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新知探究
(2)当无限增大时，无限趋近于所有正方形的面积和
????1+????2+????3+…+????????+…，
而
????????=25×1?12?????1??12=50×1?12????,
随着????的无限增大，12????将趋近于0，????????将趋近于50.
所以，所有这些正方形的面积之和将趋近于50.
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新知探究
典例解析
例11. 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.为了确定处理生活垃圾的预算，请你测算一下从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）.
分析：由题意可知，每年生活垃圾的总量构成等比数列，而每年以环保方式处理
的垃圾量构成等差数列。因此，可以利用等差数列、等比数列的知识进行计算。
新知探究
解：设从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列{????????} ，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列{????????} ， ????年内通过填埋方式处理的垃圾总量为 ???????? （单位：万吨），则????????=20(1+5%)????, ????????=6+1.5 ?????,
????????=????1?????1+????2?????2+…+?????????????????
=????1+????2+…+?????????????1+????2+…+????????
=20×1.05+20×1.052+…+20×1.05?????(7.5+9+…6+1.5????)
=(20×1.05)×(1?1.05????)?1??1.05?????2(7.5+6+1.5????)
=420×1.05?????34????2?274?????420
当????=5时，????5 ≈63.5
所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为 63.5万吨.
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归纳总结
解决数列应用题时
一是：明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列还是等比数列问题，还是含有递推关系的数列问题；
二是：明确是求an，还是求Sn.细胞繁殖、利率、增长率等问题一般为等比数列问题．
新知探究
例12. 某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8% ，且在每年年底卖出100头牛。设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为????1,????2,????3,…
（1）写出一个递推公式，表示????????+1与????????之间的关系；
（2）将（1）中的递推公式表示成????????+1 ?????=????(?????????????)的形式，其中????, ????为常数；
（3）求????10=????1+????2+????3+…+????10的值（精确到1）.
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分析：（1）可以利用“每年存栏数的增长率为8%”和“每年年底卖出100头”建立????????+1与????????的关系；（2）这是待定系数法的应用，可以将它还原为（1）中的递推公式形式，通过比较系数，得到方程组；（3）利用（2）的结论可得出解答。
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典例解析
新知探究
解（1）由题意，得????1=1200,并且
????????+1=1.08?????????100. ①
（2）将????????+1 ?????=??(?????????????)化成
????????+1=?????????????????????+????. ②
比较①②的系数，可得
????=1.08,?????????????=?100.
解这个方程组，得
????=1.08,????=1250.
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新知探究
典例解析
所以（1）中的递推公式可以化为
（3）由（2）可知，数列{????????-1250}是以-50为首项，1.08为公比的等比数列，则
(????1?1250)+(????2?1250)+(????3?1250)+…+ (?????????1250)
=?50×1?1.08101??1.08≈?724.8.
所以
????10=????1+????2+????3+…+????10≈1250×10?724.8=11775.7≈11776.
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典例解析
练习巩固
题型一 等比数列前n项和的性质
例1(1)在等比数列{an}中,若S2=7,S6=91,则S4=　　　　.?
(2)已知等比数列{an}共有2n项,其和为-240,
且(a1+a3+…+a2n-1)-(a2+a4+…+a2n)=80,则公比q=　　　　.?
(3)若数列{an}是等比数列,且其前n项和为Sn=3n+1-2k,则实数k等于　　　.?

典例解析
练习巩固
解析 (1)∵数列{an}是等比数列,且易知公比q≠-1,
∴S2,S4-S2,S6-S4也构成等比数列,
即7,S4-7,91-S4构成等比数列,
∴(S4-7)2=7(91-S4),解得S4=28或S4=-21.
又S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2
=(a1+a2)(1+q2)=S2(1+q2)>0,∴S4=28.
典例解析
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方法技巧等比数列前n项和的性质
(1)若数列{an}为非常数列的等比数列,且其前n项和为Sn=A·qn+B(A≠0,B≠0,q≠0,q≠1),则必有A+B=0;反之,若某一非常数列的前n项和为Sn=A·qn-A(A≠0,q≠0,q≠1),则该数列必为等比数列.
(2)若等比数列{an}的前n项和为Sn,则(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n).特别地,如果公比q≠-1或虽q=-1但n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n构成等比数列.
(3)当等比数列{an}的项数为偶数时,偶数项的和与奇数项的和之比等于
典例解析
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(2)已知等比数列{an}共有32项,其公比q=3,且奇数项之和比偶数项之和少60,
则数列{an}的所有项之和是(　　)
A.30 B.60 C.90 D.120
典例解析
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答案 (1)B　(2)D
解析 (1)设S2=k,S4=3k,由数列{an}为等比数列(易知数列{an}的公比q≠-1),得S2,S4-S2,S6-S4为等比数列.又S2=k,S4-S2=2k,
∴S6-S4=4k.

(2)设等比数列{an}的奇数项之和为S1,偶数项之和为S2,
则S1=a1+a3+a5+…+a31,
S2=a2+a4+a6+…+a32=q(a1+a3+a5+…+a31)=3S1.
又S1+60=S2,则S1+60=3S1,解得S1=30,S2=90,
故数列{an}的所有项之和是30+90=120.
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题型二 等差数列与等比数列的综合问题
例2已知Sn是无穷等比数列{an}的前n项和,且公比q≠1,1是 S2和 S3的等差中项,6是2S2和3S3的等比中项.
(1)求S2和S3;
(2)求数列{an}的前n项和;
(3)求数列{Sn}的前n项和.

典例解析
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典例解析
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反思感悟 数列综合问题的关注点
(1)等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点,特别是等差与等比数列的通项公式、前n项和公式,以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点.
(2)利用等比数列前n项和公式时应注意公比q的取值,熟悉两种数列的性质,知道它们的推导过程,利用好性质,可降低题目的难度,解题时有时还需利用条件联立方程组求解.
典例解析
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变2 已知等差数列{an}和各项均为正数的等比数列{bn}满足a1=b1=1,a2+a4=10,b3=a5.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列{bn}的前n项和.
解 (1)设等差数列{an}公差为d,等比数列{bn}公比为q,q>0,
因为a1=b1=1,a2+a4=10,b3=a5,
所以1+d+1+3d=10,q2=1+4d,∴d=2,q=3.
因此an=1+(n-1)×2=2n-1,bn=1×3n-1=3n-1.
(2)数列{bn}的前n项和