(共18张PPT)
第六章 实数
6.3.1 实数的概念
知识重点
知识点一：无理数的定义
无限 不循环 小数叫做无理数.无理数的常见形式：（1）开方开不尽的数的方根，如－，等；（2）圆周率π以及一些含有π的数，如π，π－1，－等；（3）具有特定结构的数，如0.101 001 000 1…（相邻的两个1之间依次多一个0）等.
不循环
对点范例
1. 下列各数中，不是无理数的是（ A ）
A. B.
C. π D.
A
知识重点
知识点二：实数及其分类
实数
实数还可以按大小分为：正实数，0，负实数.
对点范例
2. 把下列各数填入集合内：－7，0.32，，46，0，，，，－.
（1）有理数集合：；
（2）无理数集合：.
知识重点
知识点三：实数与数轴的关系
（1）实数与数轴上的点是 一一对应 的关系，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.
（2）数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数 大 .
一一对应
大
对点范例
3. 实数a，b，c在数轴上的位置如图6－15－1所示，则最小的数是 b .
图6－15－1
b
典例精析
【例1】下列各数：3.141，－，0.131 131 113…，－π，，－，其中无理数有（ B ）
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
思路点拨：根据无理数的定义及其常见形式进行判断.
B
举一反三
4. 在－，－3.14，0，π，2.161 161 161…，，－1，中，无理数有（ B ）
A. 2个 B. 3个
C. 4个 D. 5个
B
典例精析
【例2】（人教七下P57改编）把下列各数的序号填在相应的横线上：
①－；②；③0.618；④；⑤；⑥；⑦0；⑧0.121 221 222 1…（相邻两个1之间依次多一个2）.
（1）正实数有 ②③④⑤⑧ ；
②③④⑤⑧
（2）负实数有 ①⑥ ；
（3）有理数有 ①③⑤⑥⑦ ；
（4）无理数有 ②④⑧ .
思路点拨：根据实数的分类，逐一判断即可.
①⑥
①③⑤⑥⑦
②④⑧
举一反三
5. 把下列各数的序号分别填在相应的横线上：
① －5；② ；③ 0；④ ；⑤ 0.101 001 000 1…（相邻两个1之间依次多一个0）；⑥＋1.5；
⑦－（－6）；⑧－；⑨1.515 151…；⑩300%.
（1）整数有 ①③⑦⑩ ；
（2）非负分数 ②④⑥⑨ ；
（3）无理数有 ⑤⑧ .
①③⑦⑩
②④⑥⑨
⑤⑧
典例精析
【例3】（创新题）如图6－15－2，已知点A，B在数轴上对应的实数分别为m，n，则m－n ＜ 0.（填“＞”“＜”或“＝”）
图6－15－2
思路点拨：根据在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大即可解答.
＜
举一反三
6. 如图6－15－3，若A是实数a在数轴上对应的点，则关于a，－a，1的大小关系表示正确的是（ A ）
图6－15－3
A. a＜1＜－a B. a＜－a＜1
C. 1＜－a＜a D. －a＜a＜1
A
典例精析
【例4】（人教七下P56改编）如图6－15－4，将数轴上标有字母的各点与下列实数对应起来：－，π，0，，2，－.
图6－15－4
思路点拨：根据数轴上的点与实数一一对应可得答案.
（1）点A表示的数是 － ，点B表示的数是 － ，点O表示的数是 0 ，点C表示的数是 ，点D表示的数是 2 ，点E表示的数是 π ；
（2）把这六个数用“＜”连接起来： －＜－＜0＜＜2＜π ；
－
－
0
2
π
－＜－＜0
＜＜2＜π
（3）在这六个点中，到1的距离小于1个单位长度的有 C （填字母）.
C
举一反三
7. 把下列各数近似地表示在数轴上，并按从小到大的顺序用不等号连接起来：－，0，－π，，.
图6－15－5
解：如答图6－15－1.
答图6－15－1
按从小到大的顺序排列为
－π＜－＜0＜＜.(共21张PPT)
第六章 实数
6.3.2实数的性质和运算
知识重点
知识点一：实数的相反数
实数a的相反数是 －a .
－a
对点范例
1. （1）下面与－互为相反数的是（ B ）
A. － B. C. 2 D. ±
（2）－3的相反数是 3 .
B
3
知识重点
知识点二：实数的绝对值
一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的 相反数 ；0的绝对值是 0 . 即
＝
相反数
0
对点范例
2. （1）实数－2 020的绝对值是（ A ）
A. 2 020 B. －2 020
C. ±2 020 D.
（2）－2的绝对值是 2－ .
A
2－
知识重点
知识点三：实数的大小比较
正实数 大于 0，负实数 小于 0，正实数大于一切负实数，两个负实数比较， 绝对值 大的反而小.
大于
小于
绝对值
对点范例
3. 下列各数中，最小的数是（ A ）
A. －π B. －1
C. － D. 0
A
知识重点
知识点四：实数的运算
实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0还可以进行 开平方 运算，任何一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则、运算性质等同样适用.
开平方
4. 计算：－＋（－1）3＋＝ .
对点范例
典例精析
【例1】2－的相反数是 －2 .
思路点拨：应用相反数的计算方法进行计算即可得出答案.
5. （原创题）－的相反数是 － .
－2
－
典例精析
【例2】实数－的绝对值是（ A ）
A. B. －
C. D. 不确定
思路点拨：根据“一个负实数的绝对值是它的相反数”即可得出答案.
A
举一反三
6. －2的绝对值是（ A ）
A. 2－ B. －2
C. D. 1
A
典例精析
【例3】下列四个数中，最小的数是（ B ）
A. 0 B. －4 C. －π D.
思路点拨：正实数＞0＞负实数，两个负实数比较，绝对值大的反而小.
B
7. 下列四个数中，比－2小的数是（ B ）
A. －1 B. －π C. 0 D. 1
B
举一反三
典例精析
【例4】下列计算正确的是（ B ）
A. 3－2＝1
B. ＝－3
C. ＋＝2－
D. －＝4
思路点拨：有理数的运算法则、运算性质等在实数范围内仍然适用.
B
举一反三
8. 下列等式一定成立的是（ B ）
A. －＝
B. ＝－1
C. ＝±3
D. －＝－6
B
对点范例
【例5】（人教七下P56改编）计算：
思路点拨：有理数的运算法则、运算性质等在实数范围内仍然适用.
（1）－12＋＋2×；
解：原式＝－1－2＋2×5
＝－1－2＋10
＝7.
（2）－＋；
解：原式＝3－－5＋
＝－2.
（3）（－2）2－－－.
解：原式＝4－（2－）－3－2
＝4－2＋－3－2
＝－3.
举一反三
9. 计算：
（1）（－2）3＋－（－3）×5；
解：原式＝－8＋8＋15
＝15.
（2）＋－（－1）2 022；
解：原式＝3＋π－2－1
＝π.
（3）－－＋＋.
解：原式＝－3－0－＋＋
＝－.(共26张PPT)
第六章 实数
平 方 根（二）
知识重点
知识点一：平方根的定义
一般地，如果一个数的 平方 等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根，记作 ± .
平方
±
1. 的平方根是（ B ）
A. B. ± C. D. ±
B
对点范例
知识点二：开平方的定义
求一个数a的 平方根 的运算，叫做开平方.
平方根
知识重点
对点范例
2. 求下列各式的值：
（1）±＝ ±7 ；
（2）±＝ ± .
±7
±
知识重点
知识点三：平方根的性质
正数有 两 个平方根，它们互为相反数；0的平方根是 0 ； 负 数没有平方根.
两
0
负
对点范例
3. 下列语句正确的是（ D ）
A. 10的平方根是100
B. 100的平方根是10
C. －2是－4的平方根
D. 的平方根是±
D
知识重点
知识点四：解方程
先将方程化为x2＝a或（x－b）2＝a的形式，再利用 平方根 的定义和整体思想求解.
平
方根
对点范例
4. 若x2＝9，则x的值是（ C ）
A.x＝3 B.x＝－3
C.x＝±3 D.x＝±4.5
C
知识重点
知识点五：平方根与算术平方根的区别与联系
（1）区别：①定义不同；②结果不同.
（2）联系：①平方根包含算术平方根；②被开方数都是 非负数 ；③ 0的平方根和算术平方根均为 0 .
非负数
0
对点范例
5. 写出下列各数的平方根和算术平方根：
（1）36的平方根是 ±6 ，算术平方根是 6 ；
（2）0.04的平方根是 ±0.2 ，算术平方根是 0.2 .
±6
6
±0.2
0.2
典例精析
【例1】81的平方根是（ D ）
A.81 B.9 C.－9 D.±9
思路点拨：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数.
D
举一反三
6. （－0.7）2的平方根是（ C ）
A. －0.7 B. 0.7
C. ±0.7 D. 0.49
C
典例精析
【例2】（人教七下P45改编）求下列各数的平方根：
（1）121；（2）2；（3）（－13）2；（4）－（－4）3.
思路点拨：根据平方根的定义，平方与开平方互为逆运算，因此我们可以用平方运算来求一个数的平方根.
解：（1）∵（±11）2＝121，
∴121的平方根是±11.
（2）∵2＝，＝，
∴2的平方根是±.
（3）∵（－13）2＝169，（±13）2＝169，
∴（－13）2的平方根是±13.
（4）∵－（－4）3＝64，（±8）2＝64，
∴－（－4）3的平方根是±8.
举一反三
7. 求下列各数的平方根：
（1）100；（2）64；
（3）；（4）1.21.
解：（1）∵（±10）2＝100，
∴100的平方根是±10.
（2）∵（±8）2＝64，
∴64的平方根是±8.
（3）∵＝，
∴的平方根是±.
（4）∵（±1.1）2＝1.21，
∴1.21的平方根是±1.1.
典例精析
【例3】求下列各式的值：
（1）；（2）－；（3）±；（4）±.
思路点拨：根据a（a≥0）的平方根是±求值即可.
解：（1）∵52＝25，
∴＝5.
（2）∵＝，
∴－＝－.
（3）∵0.82＝0.64，
∴±＝±0.8.
（4）∵（－2）2＝4，22＝4，
∴±＝±＝±2.
举一反三
8. 求下列各式的值：
（1） ±；（2） ±；
（3）－；（4）.
解：（1）∵0.92＝0.81，
∴±＝±0.9.
（2）∵2＝，＝，
∴±＝±.
（3）∵122＝144，
∴－＝－12.
（4）＝0.
典例精析
【例4】一个正数x的两个平方根分别是2a－1与－a＋2，求a的值和这个正数x.
思路点拨：利用平方根的性质求出a，进而得出2a－1或－a＋2的值，从而可求出x的值.
解得a＝－1.
∴－a＋2＝－（－1）＋2＝3.
∴x＝32＝9.
解：∵正数x的两个平方根分别是－a＋2与2a－1，
∴－a＋2＋2a－1＝0.
举一反三
9. 已知一个正数x的平方根是2a－3与5－a，求正数x.
解：∵正数x的平方根是2a－3与5－a，
∴2a－3＋5－a＝0.
解得a＝－2.
∴2a－3＝－7.
∴x＝（－7）2＝49.
典例精析
【例5】（人教七下P48改编）求下列各式中x的值：
思路点拨：直接利用平方根的定义解方程.
（1）25x2－36＝0；
解：移项，得25x2＝36.
两边同时除以25，得x2＝.
开平方，得x＝±.
（2）（x＋1）2－2＝.
解：移项、合并同类项，得（x＋1）2＝.
开平方，得x＋1＝±.
∴x＋1＝或x＋1＝－.
∴x＝或x＝－.
举一反三
10. 求下列各式中x的值：
（1）4x2＝121；
解：两边同时除以4，
得x2＝.
开平方，得x＝±.
（2）（x＋2）2＝25.
解：开平方，得x＋2＝±5.
∴x＋2＝5或x＋2＝－5.
∴x＝3或x＝－7.(共22张PPT)
第六章 实数
立 方 根
知识重点
知识点一：立方根的定义
一般地，如果一个数的 立方 等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根，记作 .
立方
对点范例
1. －8的立方根是（ A ）
A. －2 B. 2
C. ±2 D. －512
A
知识重点
知识点二：开立方的定义
求一个数a的 立方根 的运算，叫做开立方. 正数的立方根是 正 数，负数的立方根是 负 数，0的立方根是 0 .
立方根
正
负
0
对点范例
2. 下列等式中，错误的是（ D ）
A. ± ＝±8
B. －＝－0.1
C. ＝－6
D. ＝±5
D
知识重点
知识点三： 用计算器求一个数的立方根
先按 键，再按数字键，后按 键，计算器显示的结果就是该数的立方根（或其近似值）.
对点范例
3. 用计算器计算：≈ 12.63 （结果精确到0.01）
12.63
知识重点
知识点四：小数点位置的移动规律
被开方数的小数点每向右（或向左）移动三位，开立方后的结果往 相同 的方向移动 一 位.
相同
一
4. 已知＝13，则＝ 1.3 ，＝ 0.13 .
1.3
0.13
对点范例
知识重点
知识点五：解方程
先将方程化为x3＝a或（x－b）3＝a的形式，再利用 立方根 的定义和整体思想求解.
立
方根
对点范例
5. 已知x3－27＝0，则x的值为 3 .
3
典例精析
【例1】－的平方的立方根是（ D ）
A. 4 B. C. － D.
思路点拨：先求平方，然后根据立方根的定义计算.
D
举一反三
6. 64的立方根是（ D ）
A. ±8 B. ±4
C. 8 D. 4
D
典例精析
【例2】（人教七下P50改编）求下列各式的值：
（1）±；（2）；（3）；（4）－.
思路点拨：根据平方根和立方根的定义计算即可.
解：（1）原式＝±.
（2）原式＝0.3.
（3）原式＝－1.
（4）原式＝－10.
举一反三
7. 求下列各式的值：
（1）；（2）；
（3）±；（4）.
解：（1）原式＝.
（2）原式＝＝.
（3）原式＝±0.4.
（4）原式＝＝－.
典例精析
【例3】用计算器求下列各数的立方根（结果精确到0.001）：
（1）1 594.5；（2）0.001 237.
思路点拨：熟练掌握计算器的使用方法，并根据题意保留有效值.
解：（1）≈11.683.
（2）≈0.107.
举一反三
8. 利用计算器求下列各式的值（结果保留小数点后三位）：
（1） ；（2） .
解：（1）≈4.362.
（2）≈－5.848.
典例精析
【例4】填空：
（1）已知≈1.442，则≈ 14.42 ；
（2）已知≈0.076 97，则≈ 7.697 .
思路点拨：根据立方根的小数点位置的移动规律求解即可，注意被开方数要三位三位地移动.
14.42
7.697
9. 已知＝4，则＝ 40 ，
＝ 0.4 ，则＝ 0.04 .
40
0.4
0.04
举一反三
典例精析
【例5】（人教七下P52改编）求式中x的值：
（2x＋7）3＝－27.
思路点拨：根据立方根的定义求解即可.
解：开立方，得2x＋7＝－3.
移项、合并同类项，得2x＝－10.
系数化为1，得x＝－5.
举一反三
10. 求式中x的值：125（x－1）3＝－8.
解：两边同除以125，得（x－1）3＝－.
开立方，得x－1＝－.
移项、合并同类项，得x＝.
谢 谢！(共29张PPT)
第六章 实数
第12课时 平 方 根（一）
知识重点
知识点一：算术平方根的定义
一般地，如果一个正数x的 平方 等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的 算术平方根 .a的算术平方根记为 ，读作“根号a”，a叫做 被开方数 .
规定：0的算术平方根是 0 .
平方
算术平方根
被开方数
0
1. 的算术平方根是（ D ）
A. － B. ± C. D.
D
对点范例
知识重点
知识点二：算术平方根的性质
正数有 一 个正的算术平方根； 负 数没有算术平方根；算术平方根是它本身的数只有 0 和 1 .
具有双重非负性：①a≥0；②≥0.
一
负
0
1
2. 若（m＋1）2＋＝0，则mn的值是（ C ）
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
C
对点范例
知识重点
知识点三：估算
通常采用夹逼法：取与被开方数最近的两个 完全平方 数的算术平方根相比较.
完全平
方
3. 小于的最大整数是（ B ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
B
对点范例
知识重点
知识点四：用计算器求一个正数的算术平方根
先按 键，再按数字键，后按 键，计算器显示的结果就是该数的算术平方根（或其近似值）.
对点范例
4. 用计算器计算：≈ 44.97 ，≈ 0.42 （结果均精确到0.01）.
44.97
0.42
知识重点
知识点五：含有算术平方根的大小比较方法
（1） 平方 法；（2）作差法；（3）借助 计算器 求出近似值后进行比较；（4）利用估算.
平方
计算
器
对点范例
5. 比较大小：4 ＜ （用“＞”“＜”或“＝”填空）.
＜
知识重点
知识点六：小数点位置的移动规律
被开方数的小数点每向右（或向左）移动两位，其算术平方根的小数点必须往 相同 的方向移动 一 位.
相同
一
6. 已知≈4.496，≈14.216，则≈ 44.96 （结果保留小数点后两位）.
44.96
对点范例
典例精析
【例1】（人教七下P40改编）求下列各数的算术平方根：
（1）169；（2）；（3）0.09；（4）（－3）2.
思路点拨：根据算术平方根的定义，求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，可以借助平方运算来寻找一个非负数的算术平方根.
解：（1）∵132＝169，
∴169的算术平方根是13，即＝13.
（2）∵＝，
∴的算术平方根是，即＝.
（3）∵0.32＝0.09，
∴0.09的算术平方根是0.3，即＝0.3.
（4）∵（－3）2＝9，32＝9，
∴（－3）2的算术平方根是3，即＝3.
举一反三
7. 求下列各数的算术平方根：
（1）81；
（2）0.002 5；
（3）（－4）2.
解：（1）∵92＝81，
∴81的算术平方根是9，即＝9.
（2）∵0.052＝0.002 5，
∴0.002 5的算术平方根是0.05，
即＝0.05.
（3）∵（－4）2＝16，42＝16，
∴（－4）2的算术平方根是4，
即＝4.
典例精析
【例2】（人教七下P41改编） 求下列各式的值：
（1）；（2）；（3）.
思路点拨：（1） （2）根据算术平方根的定义计算即可；（3）先求出被开方数的值，再根据算术平方根的定义进行计算.
解：（1）∵1.22＝1.44，
∴＝1.2.
（2）∵＝，
∴＝.
（3）∵1＋＝，＝，
∴＝.
举一反三
8. 求下列各式的值：
（1）； （2）； （3）.
解：（1）∵12＝1，∴＝1.
（2）∵＝，∴＝.
（3）＝2.
典例精析
【例3】的整数部分是（ B ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 84
思路点拨：与84.1相近的完全平方数有81和100，81＜84.1＜100，＝9，＝10，所以9＜＜10，由此即可得出的整数部分.
B
9. 与50的算术平方根最接近的整数是（ B ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
B
举一反三
典例精析
【例4】如图6－12－1，用教材中的计算器依次按键，显示的结果在数轴上对应点的位置介于 之间.（ A ）
图6－12－1
A. B与C B. C与D
C. E与F D. A与B
思路点拨：掌握计算器上常用按键的功能和使用顺序.
A
举一反三
10. 在计算器上按键 3 6 ，显示的结果是（ A ）
A. 6 B. －6 C. 3 D.
A
典例精析
【例5】比较和4的大小.
思路点拨：先将各数平方，再比较大小.
解：∵（）2＝12，42＝16，12＜16，
∴＜4.
举一反三
11. 比较1.5与的大小.
解：∵1.52＝2.25，（）2＝3，2.25＜3，
∴1.5＜.
典例精析
【例6】已知≈1.435，求下列各数的算术平方根：
（1）≈ 0.143 5 ；
（2）≈ 143.5 .
思路点拨：根据被开方数的小数点向左或向右每移动两位，算术平方根的小数点就相应向左或向右移动一位作答.
0.143 5
143.5
举一反三
12. 已知＝2.793，求下列各数的算术平方根：
（1）＝ 279.3 ；
（2）＝ 27.93 ；
（3）＝ 0.279 3 ；
（4）＝ 0.027 93 .
279.3
27.93
0.279 3
0.027 93
