四川省宜宾市叙州区2022-2023学年高二下学期开学考试数学（理）试题（Word版含答案）

宜宾市叙州区2022-2023学年高二下学期开学考试
理科数学
本试卷共4页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知某单位有职工120人，其中男职工有90人，现采用分层抽样（按男、女分层）抽取一个样本，若已知样本中有9名女职工，则样本的容量为
A．44 B．40 C．36 D．没法确定
2．已知命题，，则为
A．， B．，
C．， D．，
3．准线方程为的抛物线的标准方程为
A． B． C． D．
4．已知变量满足约束条件，则的最大值为
A．2 B．3 C．4 D．5
辗转相除法又叫欧几里得算法，其算法的程序框图如图所示.执行该
程序框图，若输入的，，则输出的的值为
A．2 B．6 C．12 D．24
6．直线被圆所截得的弦长为
A． B．4 C． D．
7．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则甲获胜的概率是
A． B． C． D．
8．已知，是椭圆：的两个焦点，过点且斜率为的直线与交于，两点，则的周长为
A．8 B． C． D．与有关
9．已知圆：，圆：，则圆与圆的位置关系为
A．相离 B．相交 C．外切 D．内切
10．已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为
A． B． C． D．
11．已知，若点是抛物线上任意一点，点是圆上任意一点，则的最小值为
A． B． C． D．
12．已知双曲线C与双曲线有相同的焦点，且其中一条渐近线方程为，则双曲线C的标准方程是
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．若不等式与关于x不等式＜0的解集相同，则＝_____
14．空间四点满足，，，，则_______．
15．已知一圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切，则球与圆锥的表面积之比为______.
16．已知，分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，M为上的三等分点，且满足，若，则该椭圆的离心率e的取值范围是______．
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知命题p：曲线与x轴相交于不同的两点；命题q：椭圆的焦点在y轴上．
判断命题p的否定的真假；
若“p且q”是假命题，“p或q“是真命题，求实数m的取值范围．
18.（12分）某校从高一新生开学摸底测试成绩中随机抽取人的成绩，按成绩分组并得各组频数如下（单位：分）：，；，；，；，；，；，．
成绩分组 频数 频率 频率/组距
合计
（1）列出频率分布表；
（2）画出频率分布直方图；
（3）估计本次考试成绩的中位数（精确到）．
19．（12分）如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，为棱的中点，为边的中点.
(1)求证：平面；
(2)若侧面底面，且，；
①求与平面所成的角；
②在棱上是否存在点，使点到直线的距离为，若存在，求的值；若不存在，说明理由.
20．（12分）甲乙两地相距，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过，已知货车每小时的运输成本（单位：圆）由可变本和固定组成组成，可变成本是速度平方的倍，固定成本为元.
（1）将全程匀速匀速成本（元）表示为速度的函数，并指出这个函数的定义域；
（2）若，为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？
21．（12分）已知抛物线C：过点
求抛物线C的方程；
设F为抛物线C的焦点，直线l：与抛物线C交于A，B两点，求的面积．
22．（12分）已知椭圆，离心率为分别为椭圆的左 右顶点，过焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为3.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)当直线过椭圆的左焦点以及上顶点时，直线与椭圆交于另一点，求此时的弦长.
(3)设直线过点，且与轴垂直，为直线上关于轴对称的两点，直线与椭圆相交于异于的点，直线与轴的交点为，当与的面积之差取得最大值时，求直线的方程.
宜宾市叙州区2022-2023学年高二下学期开学考试
理科数学参考答案：
1．C 2．D 3．B 4．C 5．C 6．A 7．C 8．C 9．C 10．B 11．B 12．D
13． 14．0 15． 16．
17.解（1）由可得显然成立，故命题为真，为假；
（2）由已知得，为真时，，所以为假时，或
因为“且”是假命题，“或“是真命题，由(1)知为真，所以真假，
所以
18．解：（1）由题意列出频率分布表如下：
成绩分组 频数 频率 频率/组距
合计
（2）画出频率分布直方图，如下：
（3）由频率分布直方图得：的频率为，的频率为，
估计本次考试成绩的中位数为．
19解：（1）取线段的中点，连接，在中，分别为的中点.
，且
又底面是菱形，且为的中点，
，且，
，且
四边形为平行四边形，
又平面平面
平面；
（2）①在平面内过点作，由平面底面得平面，
菱形中，则，
以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，是正三角形，则，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，得，所以，
设直线与平面所成的平面角为，且，
则，
故直线与平面所成的角为
②设
即
化简得，故（舍负）综上，存在点，
20．（1）可变成本为，固定成本为元，所用时间为，
所以，即，定义域为.
（2），当且仅当，即时，等号成立，
所以当时，，
答：当货车以的速度行驶，全程运输成本最小.
21．解：（1）因为抛物线：过点，
所以，解得，所以抛物线的方程为．
（2）由抛物线的方程可知，直线与轴交于点，
联立直线与抛物线方程，消去可得，
所以，所以，
所以的面积为．
22．解：（1）由椭圆的离心率为，所以，①又， ②
设过左焦点且垂直于轴的直线为：，代入中，结合②化简得：
，所以过左焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为：， ③
联立①②③解得：，所以椭圆的标准方程为：.
（2）由（1）知所以直线的方程为：，即，代入中消去得：，解得：或，当时，为点，
当时，，所以 ,
所以.
（3）由（1）知，如图所示：
连接，因为直线过点，且与轴垂直，
所以直线方程为：，
由题意得直线的斜率存在且不为0，
设直线的方程为：，
联立得：
点，又为直线上关于轴对称的两点，
所以，联立，消去整理得：
，解得：或，由点异于点，
所以将代入中得：
，即
所以直线的方程为：，
令，，所以，
由图可知：与的面积之差为：，
因为，
当且仅当时取等号，
所以当与的面积之差取得最大值时，直线的方程为：，
即：或.