四川省德阳市第五高级中学2022-2023学年高二下学期开学测试数学（理）试题（Word版含答案）

德阳市第五高级中学2022-2023学年高二下学期开学测试
理科数学
本试卷共4页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．命题：的否定是
A． B．
C． D．
2．设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．若不等式的解集为，则不等式的解集为
A． B．
C． D．
4．某城市在创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文明城市”的满意程度，组织居民给活动打分（分数为整数，满分100分），从中随机抽取一个容量为100的样本，发现数据均在内.现将这些分数分成6组并画出样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示观察图形，则下列说法错误的是
A．频率分布直方图中第三组的频数为15人 B．根据频率分布直方图估计样本的众数为75分
C．根据频率分布直方图估计样本的中位数为75分 D．根据频率分布直方图估计样本的平均数为75分
5．若x，y满足不等式组则的最大值为
A．6 B．8 C．12 D．16
6．在下列函数中，当x取正数时，最小值为2的是
A．y＝x B．y＝lgx C．y D．y＝x2﹣2x+3
7．执行如图的程序框图，输出的S的值为
A． B．0 C．1 D．2
8．圆与圆的位置关系是
A．相切 B．内含 C．相离 D．相交
9．已知,,直线过定点,且与线段相交,则直线的斜率的取值范围是
A． B． C． D．或
10．已知是抛物线上一动点，则点到直线和轴的距离之和的最小值是
A． B． C． D．2
11．当曲线与直线有两个相异的交点时，实数k的取值范围是
A． B． C． D．
12．如图，F1，F2是双曲线C：的左、右两个焦点，若直线y＝x与双曲线C交于P，Q两点，且四边形为矩形，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，是互斥事件的序号为___________．
（1）至少有1个白球；都是白球；
（2）至少有1个白球；至少有1个红球；
（3）恰有1个白球；恰有2个白球；
（4）至少有1个白球；都是红球
14．若直线l：ax－y＋2－a＝0与圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝9相交于A，B两点，且∠ACB＝90°，则实数a的值为________.
15．已知四面体中和是等边三角形，二面角为直二面角．若，则四面体外接球的体积为_______．
16．已知A，B为椭圆上两个不同的点，F为右焦点，，若线段AB的垂直平分线交x轴于点T，则__________．
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）命题：设实数满足，命题：实数满足
(1)若且为真，求实数的取值范围；
(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
18．（12分）如表是某位同学连续5次周考的历史、政治的成绩，结果如下：
周次 1 2 3 4 5
历史(x分) 79 81 83 85 87
政治(y分) 77 79 79 82 83
参考公式：，，表示样本均值．
(1)求该生5次月考历史成绩的平均分和政治成绩的方差；
(2)一般来说，学生的历史成绩与政治成绩有较强的线性相关关系，根据上表提供的数据，求两个变量的线性回归方程．
19．（12分）已知直线经过点．
(1)若直线与直线垂直，求直线的方程；
(2)若的方程是，直线与相切，求直线的方程．
20．（12分）已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，且抛物线上有一点到焦点的距离为6.
(1)求抛物线的方程；
(2)若不过原点的直线与抛物线交于A、B两点，且，求证：直线过定点并求出定点坐标.
21．（12分）如图所示在四棱锥中，下底面为正方形，平面平面，为以为斜边的等腰直角三角形，，若点是线段上的中点.
（1）证明平面.
（2）求二面角的平面角的余弦值.
22．（12分）已知椭圆的离心率为，焦点分别为，点P是椭圆C上的点，面积的最大值是2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线与椭圆C交于M，N两点，点D是椭圆C上的点，O是坐标原点，若，判定四边形的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是，请说明理由．
德阳市第五高级中学2022-2023学年高二下学期开学测试
理科数学参考答案：
1．A 2．B 3．C 4.D 5．C 6．D 7．A 8．D 9．D 10．C 11．C 12．D
13．（3）（4） 14．1或7 15． 16．
17．(1)当时，由解得，
由解得 ，
因为为真，所以都为真，
则由可得，即实数的取值范围；
(2)
由解得，
因为是的充分不必要条件，所以真包含，
则，解得，即实数的取值范围.
18．解：(1)历史成绩的平均数.
,
政治成绩的方差，
(2)，,
,
,
.
所以两个变量的线性回归方程是.
19（1）解：由题意得：
因为直线l与直线垂直，故设直线l的方程为
因为直线l过点，所以，解得．所以直线l的方程为．
（2）的方程化为标准形式是，圆心，半径，
当直线l的斜率不存在时，此时直线l的方程为，
圆心C到直线l的距离为2，所以直线l与相切，符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程是，即，
由直线l与相切，得，解得，
所以直线l的方程是，即．综上所述，直线l的方程是或．
20．(1)解：抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，且抛物线上有一点，
设抛物线的方程为，
到焦点的距离为6，即有点到准线的距离为6，
即 解得，即抛物线的标准方程为；
(2)证明:由题意知直线不能与轴平行，故直线方程可设为,
与抛物线联立得 ，消去得,
设，则,则，,
由，可得，所以，即，
亦即 ，又，解得，所以直线方程为，易得直线过定点.
21．（1）连结、相交于点，连结、，
为的中点，为的中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面.
（2）取中点，中点，连结，，，，因为平面平面，所以平面，
即，，两两垂直.
以，，为，，轴建立空间直角坐标系如图所示：
，，，，，，
设平面的法向量为，则，即，
令z1=1，，
，，设平面的法向量为，
则，即，令z2=1，
所以.二面角的平面角的余弦值为.
22．解：（Ⅰ）由解得 得椭圆的方程为.
（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，直线的方程为或，此时四边形的面积为．
当直线的斜率存在时，设直线方程是，联立椭圆方程
，
点到直线的距离是
由得
因为点在曲线上，所以有整理得
由题意四边形为平行四边形，所以四边形的面积为
由得, 故四边形的面积是定值，其定值为．