四川省德阳市第五高级中学2022-2023学年高二下学期开学测试数学（文）试题（Word版含答案）

德阳市第五高级中学2022-2023学年高二下学期开学测试
文科数学
本试卷共4页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．命题：的否定是
A． B．
C． D．
2．设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．若不等式的解集为，则不等式的解集为
A． B．
C． D．
4．某城市在创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文明城市”的满意程度，组织居民给活动打分（分数为整数，满分100分），从中随机抽取一个容量为100的样本，发现数据均在内.现将这些分数分成6组并画出样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示观察图形，则下列说法错误的是
A.频率分布直方图中第三组的频数为15人
B．根据频率分布直方图估计样本的众数为75分
C．根据频率分布直方图估计样本的中位数为75分
D．根据频率分布直方图估计样本的平均数为75分
5．若x，y满足不等式组则的最大值为
A．6 B．8 C．12 D．16
6．在下列函数中，当x取正数时，最小值为2的是
A．y＝x B．y＝lgx C．y D．y＝x2﹣2x+3
7．执行如图的程序框图，输出的S的值为
A． B．0 C．1 D．2
8．圆与圆的位置关系是
A．相切 B．内含 C．相离 D．相交
9．已知,,直线过定点,且与线段相交,则直线的斜率的取值范围是
A． B． C． D．或
10．已知是抛物线上一动点，则点到直线和轴的距离之和的最小值是
A． B． C． D．2
11．当曲线与直线有两个相异的交点时，实数k的取值范围是
A． B． C． D．
12．如图，F1，F2是双曲线C：的左、右两个焦点，若直线y＝x与双曲线C交于P，Q两点，且四边形为矩形，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题：“今有北乡八千一百人，西乡久千人，南乡五千四百人，凡三乡，发役五百人.”意思是用分层抽样从这三个乡中抽出了500人服役，则南乡应该抽出__________人．
14．若中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆经过点，离心率为 ，则椭圆的标准方程为_____.
15．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，是互斥事件的序号为___________．
（1）至少有1个白球；都是白球；
（2）至少有1个白球；至少有1个红球；
（3）恰有1个白球；恰有2个白球；
（4）至少有1个白球；都是红球
16．已知四面体中和是等边三角形，二面角为直二面角．若，则四面体外接球的体积为_______．
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）命题：设实数满足，命题：实数满足
(1)若且为真，求实数的取值范围；
(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
18．（12分）如表是某位同学连续5次周考的历史、政治的成绩，结果如下：
周次 1 2 3 4 5
历史(x分) 79 81 83 85 87
政治(y分) 77 79 79 82 83
参考公式：，，表示样本均值．
(1)求该生5次月考历史成绩的平均分和政治成绩的方差；
(2)一般来说，学生的历史成绩与政治成绩有较强的线性相关关系，根据上表提供的数据，求两个变量的线性回归方程．
19．（12分）已知直线经过点．
(1)若直线与直线垂直，求直线的方程；
(2)若的方程是，直线与相切，求直线的方程．
20．（12分）在如图所示的几何体中，四边形是正方形，平面,分别是线段的中点，.
(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积.
21．（12分）已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，且抛物线上有一点到焦点的距离为6.
(1)求抛物线的方程；
(2)若不过原点的直线与抛物线交于A、B两点，且，求证：直线过定点并求出定点坐标.
22．（12分）已知椭圆的离心率为，右焦点与抛物线的焦点重合，左顶点为，过的直线交椭圆于两点，直线与直线交于两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)试计算是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由.
德阳市第五高级中学2022-2023学年高二下学期开学测试
文科数学参考答案：
1．A 2．B 3．C 4．D 5．C 6．D 7．A 8．D 9．D 10．C 11．C 12．D
13．120 14．或. 15．（3）（4） 16．
17．(1)当时，由解得，
由解得 ，
因为为真，所以都为真，
则由可得，即实数的取值范围；
(2)由解得，
因为是的充分不必要条件，所以，
则，解得，即实数的取值范围.
18．(1)历史成绩的平均数.,
政治成绩的方差，
(2)，,
,,
.
所以两个变量的线性回归方程是.
19．（1）解：由题意得：
因为直线l与直线垂直，故设直线l的方程为
因为直线l过点，所以，解得．
所以直线l的方程为．
（2）的方程化为标准形式是，
圆心，半径，
当直线l的斜率不存在时，此时直线l的方程为，
圆心C到直线l的距离为2，所以直线l与相切，符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程是，即，
由直线l与相切，得，解得，
所以直线l的方程是，即．
综上所述，直线l的方程是或．
20．解：（1）证明：取的中点为，连接,
∵四边形是正方形,分别是线段 的中点, ,
,∴,
∴四边形为平行四边形，∴，
平面，平面，∴
（2）解：由题意知,
∵,
∴到平面的距离等于到平面距离，连接，
∵，
∴,
∵，
∴，
∴，
∴
,
∴且，
∴.
21．(1)解：抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，且抛物线上有一点，
设抛物线的方程为，
到焦点的距离为6，即有点到准线的距离为6，
即 解得，即抛物线的标准方程为；
(2)证明:由题意知直线不能与轴平行，故直线方程可设为,
与抛物线联立得 ，消去得,
设，则,则，,
由，可得，所以，即，
亦即 ，又，解得，
所以直线方程为，易得直线过定点.
22．解：（1）解：由题意知，右焦点即，且，解得
，所以椭圆方程为
（2）解：由（1）知，当直线的斜率不存在时，即直线的方程为，
易知，所以直线
令，可知：,此时.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
设，直线直线
令，可知，
联立，消去整理得，∴
此时
综上所述，