四川省德阳市第五高级中学2022-2023学年高三下学期开学考试数学（理）试题（Word版含答案）

德阳市第五高级中学2022-2023学年高三下学期开学考试
数 学（理工类）
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3． 本试卷满分150分，考试时间120分钟． 考试结束后，请将答题卡交回。
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．
A． B． C． D．
2．已知集合，，则
A． B． C． D．
3．函数的图象大致为
A． B．
C． D．
4．随着社会的发展，人与人的交流变得便捷，信息的获取、传输和处理变得频繁，这对信息技术的要求越来越高，无线电波的技术也越来越成熟.已知电磁波在空间中自由传播时能损耗公式为，其中D为传输距离单位：，F为载波频率单位：，L为传输损耗单位：若载波频率变为原来的100倍，传输损耗增加了60 dB，则传输距离变为原来的
A．100倍 B．50倍 C．10倍 D．5倍
5．的展开式中的系数为
A．160 B． C．148 D．
6．“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦．”太极和八卦组合成了太极八卦图（如图1）．某太极八卦图的平面图如图2所示，其中正八边形的中心与圆心重合，O是正八边形的中心，MN是圆O的一条直径，且正八边形ABCDEFGH内切圆的半径为，．若点P是正八边形ABCDEFGH边上的一点，则的取值范围是
A． B． C． D．
7．一个宿舍的6名同学被邀请参加一个节目，要求必须有人去，但去几个人自行决定．其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，则该宿舍同学的去法共有
A．15种 B．28种 C．31种 D．63种
8．已知正数满足，则的最小值为
A．16 B．12 C．8 D．4
9．已知圆锥的底面圆周及顶点均在球面上，若圆锥的轴截面为正三角形，则圆锥的体积与球的体积之比为
A． B． C． D．
10．已知是抛物线上一点，为抛物线的焦点，点，若，则的面积为
A． B． C． D．
11．设双曲线：的左 右焦点分别为，，若为右支上的一点，且，则
A． B． C．2 D．
12．已知，则下列结论正确的是
A．b＞c＞a B．a＞b＞c
C．b＞a＞c D．c＞b＞a
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．已知是两个不共线的非零向量，若与共线，则_____________．
14．已知函数，若曲线在处的切线与直线平行，则__________.
15．在几何体中，是正三角形，平面平面，且，，则的外接球的表面积等于__________．
16．已知是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，若，则点P到焦点的距离为_________________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必做题：共60分．
17．（12分）的内角，，所对的边分别为，，.已知.
（1）求；
（2）若，且的面积为，求.
18．（12分）移动支付（支付宝及微信支付）已经渐渐成为人们购物消费的一种支付方式，为调查曲靖市民使用移动支付的年龄结构，随机对100位市民做问卷调查得到列联表如下：
35岁以下（含35岁） 35岁以上 合计
使用移动支付 40 50
不使用移动支付 40
合计 100
（1）将上列联表补充完整，并请说明在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为支付方式与年龄是否有关？
（2）在使用移动支付的人群中采用分层抽样的方式抽取10人做进一步的问卷调查，从这10人随机中选出3人颁发参与奖励，设年龄都低于35岁（含35岁）的人数为，求的分布列及期望.
0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（参考公式：）（其中）
19．（12分）如图所示，平面平面，四边形是边长为4的正方形，，，分别是，的中点.
（1）求证：平面；
（2）若直线与平面所成角等于，求二面角的余弦值.
20．（12分）已知，椭圆：的离心率为，直线与交于，两点，长度的最大值为4.
（1）求的方程；
（2）直线与轴的交点为，当直线变化（不与轴重合）时，若，求点的坐标.
21．（12分）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，若存在两个极值点，，求的最小值.
（二）选做题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线的参数方程为,（为参数），在以原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.
(1)直接写出直线、曲线的直角坐标方程；
(2)设曲线上的点到与直线的距离为，求的取值范围.
23．（10分）选修4-5：不等式选讲
已知.
（1）求证：；
（2）若对任意实数都成立，求实数的取值范围.
德阳市第五高级中学2022-2023学年高三下学期开学考试
数 学（理工类）参考答案：
1．C 2．C 3．A 4．C 5．C 6．D 7．C 8．D 9．D 10．C 11．A 12．D
13． 14． 15． 16．
17．（1）因为，
所以由正弦定理可得，
即，
而，所以，故.
（2）由（1）知，则，
又的面积为，则，.
由余弦定理得，解得.
18．(1)根据题意及列联表可得完整的列联表如下:
35岁以下(含35岁) 35岁以上 合计
使用移动支付 40 10 50
不使用移动支付 10 40 50
合计 50 50 100
根据公式可得，
所以在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为支付方式与年龄有关.
(2)根据分层抽样，可知35岁以下(含35岁)的人数为人，35岁以上的有2人，
所以获得奖励的35岁以下(含35岁)的人数为，则的可能为1，2，3，且
，
其分布列为
1 2 3
.
19．（1）取线段中点，连结，，因为，分别是、的中点，所以
且，
正方形中，是的中点.所以且，
所以且，
故四边形为平行四边形，
从而，
又因为平面，平面，所以平面.
（2）过作于，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又平面，从而为直线在平面内的射影，
故为直线与平面所成角，所以.
如图，以为坐标原点，分别以过点且平行于的直线、，所在的直线
为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，.
设，分别为平面和的法向量，则，即，
令得，
，即，令得，
，所以二面角的余弦值为.
20．（1）由题意弦长AB长度的最大值为4,可得2a=4即得a=2,由离心率,
且联立解得=4, =3,所以椭圆的方程为.
（2）设，，的方程为，代入椭圆方程并整理得
，由，
解得，，.
因为即，由角平分定理或正弦定理，即可得到
，即，所以，即，
又，所以，
即，
所以，因为为变量，所以，所以点的坐标为.
21．解：（1），
因为，由得或，
①若，则，由得；得或，
所以，若，则在递增，在递减，在递增；
②若，则，，在定义域递增；
③若，则，由得；得或，
所以，若，则在递增，在递减，在递增.
（2）由得，
由（1）知，有两个极值点时，且，不妨设，，
，，
所以，
设，
则，，
由得，在内单调递减，
由得，在内单调递增.
所以，时，.
所以，当且时，的最小值为.
22．解：（1）直线的直角坐标方程为，
因为，所以，则，
即曲线的直角坐标方程为.
（2）∵曲线的直角坐标方程为，即，
∴曲线上的点的坐标可表示为.
∵，∴，∴的最小值为，的最大值为.∴，
即的取值范围为.
23．（1），的最小值为.
（2）由（1）知: 的最大值等于,
,
当,“=” 成立,
即当时,取得最小值,当时,,
又因为对任意实数都成立, 所以,的取值范围.