四川省德阳市第五高级中学2022-2023学年高三下学期开学考试数学（文）试题（Word版含答案）

德阳市第五高级中学2022-2023学年高三下学期开学考试
数 学（文史类）
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3． 本试卷满分150分，考试时间120分钟． 考试结束后，请将答题卡交回。
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．
A． B． C． D．
2．已知集合，，则
A． B． C． D．
3．在一个文艺比赛中，名专业人士和名观众代表各组成一个评判小组，给参赛选手打分．根据两个评判小组对同一名选手的打分绘制了下面的折线图．
根据以上折线图，下列结论错误的是
A．A小组打分分值的最高分为分，最低分为分
B．A小组打分分值的标准差小于B小组打分分值的标准差
C．B小组打分分值的中位数为
D．B小组更像是由专业人士组成的
4．数列中，若，则
A．30 B．40 C．50 D．60
5．若，则
A． B． C． D．
6．函数的图象大致为
A．B．C．D．
7．随着社会的发展，人与人的交流变得便捷，信息的获取、传输和处理变得频繁，这对信息技术的要求越来越高，无线电波的技术也越来越成熟.已知电磁波在空间中自由传播时能损耗公式为，其中D为传输距离单位：，F为载波频率单位：，L为传输损耗单位：若载波频率变为原来的100倍，传输损耗增加了60 dB，则传输距离变为原来的
A．100倍 B．50倍 C．10倍 D．5倍
8．已知圆锥的底面圆周及顶点均在球面上，若圆锥的轴截面为正三角形，则圆锥的体积与球的体积之比为
A． B． C． D．
9．已知正数满足，则的最小值为
A．16 B．12 C．8 D．4
10．已知是抛物线上一点，为抛物线的焦点，点，若，则的面积为
A． B． C． D．
11．已知，函数在上恰有3个零点，则的取值范围为
A． B． C． D．
12．已知，则下列结论正确的是
A．b＞c＞a B．a＞b＞c C．b＞a＞c D．c＞b＞a
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．已知是两个不共线的非零向量，若与共线，则_____________．
14．已知函数，若曲线在处的切线与直线平行，则__________.
15．在几何体中，是正三角形，平面平面，且，，则的外接球的表面积等于__________．
16．已知是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，若，则点P到焦点的距离为_________________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必做题：共60分．
17．（12分）为了满足同学们多元化的需求，某校食堂每周开发一次新菜品，为了了解学生对新菜品的喜爱情况，他们采用给新菜品打分的方式（分数为整数，满分100分），在全校学生中随机选取1200名同学进行打分，发现所给数据均在内，现将这些数据分成6组并绘制出如图所示的样本频率分布直方图.
喜欢 不喜欢 合计
男同学
女同学
合计
(1)请将样本频率分布直方图补充完整，并求出样本的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)从这1200名同学中随机抽取，经统计其中有男同学70人，其中40人打分在，女同学中20人打分在，根据所给数据，完成上面的列联表，并在犯错概率不超过0.100的条件下，能否认为对新菜品的喜爱程度与性别有关（分数在内认为喜欢新菜品）？
附：，.
（） 0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
18．（12分）的内角，，所对的边分别为，，.已知.
（1）求；
（2）若，且的面积为，求.
19．（12分）如图，在三棱锥中，，，，分别为，的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）若，是面积为的等边三角形，求四棱
锥的体积.
20．（12分）设中心在原点O，、为椭圆C的左、右焦点，离心率为，短轴的一个端点和焦点的连线距离为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线与椭圆C交于两点M、N，若直线的斜率存在，线段MN的中点在直线上，求直线的斜率取值范围.
21．（12分）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求实数的取值范围.
（二）选做题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线的参数方程为,（为参数），在以原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.
(1)直接写出直线、曲线的直角坐标方程；
(2)设曲线上的点到与直线的距离为，求的取值范围.
23．（10分）选修4-5：不等式选讲
已知.
（1）求证：；
（2）若对任意实数都成立，求实数的取值范围.
德阳市第五高级中学2022-2023学年高三下学期开学考试
数 学（文史类）参考答案：
1．C 2．C 3．D 4．D 5．C 6．A 7．C 8．D 9．D 10．C 11．D 12．D
13． 14． 15． 16．
17．（1）各组数据频率之和为1，故组频率，所以纵坐标为.样本频率分布直方图如下图.
样本的平均数
（2）
喜欢 不喜欢 合计
男同学 40 30 70
女同学 20 30 50
合计 60 60 120
.
故没有把握在犯错率不过0.1的条件下认为喜爱程度与性别有关.
18．（1）因为，
所以由正弦定理可得，
即，
而，所以，故.
（2）由（1）知，则，
又的面积为，则，.
由余弦定理得，解得.
19．（1），为的中点，，.
，，
又，，.
，平面，平面，
平面，平面平面.
（2），，
又平面平面，平面平面，平面.
是面积为的等边三角形，，可得：.
.
20．（1）由题意得，短轴的一个端点到焦点的距离为，所以，所以，所以椭圆的方程为，
（2）设直线的方程为，，
由，得，由，得，
所以，因为线段MN的中点在直线上，
所以，所以，所以，
代入，得，
化简得，解得或，
即直线的斜率取值范围为.
21．（1）函数的定义域为，.
①当时，由，知函数在内单调递增；
②当时，由，即得；由，即得.
所以，函数在内单调递增，在内单调递减.
因此，当时，在内单调递增；
当时，在内单调递增；在内单调递减；
（2）当时，则函数在上为增函数，函数最多一个零点，不合乎题意，舍去；
当时，由（Ⅰ）知，函数在内单调递增，在内单调递减.
且当时，，当时，，
则，即，解得.
因此，实数的取值范围是.
22．解：（1）直线的直角坐标方程为，
因为，所以，则，
即曲线的直角坐标方程为.
（2）∵曲线的直角坐标方程为，即，
∴曲线上的点的坐标可表示为.
∵，∴，∴的最小值为，的最大值为.∴，即的取值范围为.
23．（1），的最小值为.
（2）由（1）知: 的最大值等于,
,当,“=” 成立,
即当时,取得最小值,当时,,
又因为对任意实数都成立, 所以,的取值范围.