四川省德阳市第五高级中学2022-2023学年高一下学期开学考试数学试题（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 四川省德阳市第五高级中学2022-2023学年高一下学期开学考试数学试题（Word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 452.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-02-16 09:54:23 | ||
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文档简介
德阳市第五高级中学2022-2023学年高一下学期开学考试
数学试题
本试卷共4页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，．则
A． B． C． D．
2．与-2022°终边相同的最小正角是
A．138° B．132° C．58° D．42°
3．命题“,”的否定是
A．, B．,
C．, D．,
4．方程的解所在区间是
A． B． C． D．
5．函数的图象大致是
A． B．
C． D．
6．我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段．已知这种新药在注射停止后的血药含量c（t）（单位：mg/L）随着时间t（单位：h）的变化用指数模型描述，假定某药物的消除速率常数（单位：），刚注射这种新药后的初始血药含量，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg/L时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为（ ）（参考数据：）
A．5.32h B．6.23h C．6.93h D．7.52h
7．若函数在上的最大值为4，则的取值范围为
A． B． C． D．
8．已知函数，若（其中．），则的最小值为
A． B． C．2 D．4
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列函数中，最小正周期为，且为偶函数的有
A． B．
C． D．
10．对，成立的充分不必要条件可以是
A． B． C． D．
11．《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆．过点作的垂线交半圆于，连接，，，过点作的垂线，垂足为．则该图形可以完成的所有的无字证明为
A． B．
C． D．
12．已知奇函数，恒成立，且当时，，设，则
A． B．函数为周期函数
C．函数在区间上单调递减 D．函数的图像既有对称轴又有对称中心
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知幂函数的图象过点______．
14．已知函数若，则的值为______．
15．如果方程x2＋(m－1)x＋m2－2＝0的两个实根一个小于－1，另一个大于1，那么实数m的取值范围是________．
16．已知定义在上的奇函数，满足，当时，，若函数，在区间上有2018个零点，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知集合
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
18．（12分）（1）计算：
（2）已知，计算的值.
19．（12分）已知函数．
（1）求f（x）的定义域及单调区间；
（2）求f（x）的最大值，并求出取得最大值时x的值；
（3）设函数，若不等式f（x）≤g（x）在x∈（0，3）上恒成立，求实数a的取值范围．
20．（12分）一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，每年砍伐且使森林面积每年比上一年减少的百分比相同，当砍伐到原面积的一半时，所用时间是20年.为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的﹐已知到今年为止，森林剩余面积为.
（1）求每年砍伐面积的百分比；
（2）该森林今后最多还能砍伐多少年？
21．（12分）已知函数的周期为，图象的一个对称中心为，若先把函数的图象向左平移个单位长度，然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.
（1）求函数与的解析式；
（2）设函数，试判断在内的零点个数.
22．（12分）定义在上的函数满足：对于任意实数都有恒成立，且当时，．
（Ⅰ）判定函数的单调性，并加以证明；
（Ⅱ）设，若函数有三个零点从小到大分别为，求的取值范围．
德阳市第五高级中学2022-2023学年高一下学期开学考试
数学试题参考答案：
1．A 2．A 3．D 4．C 5．B 6．C 7．C 8．B
9．BD 10．AC 11．AC 12．BCD
13．3 14．4 15．(0,1) 16．
17．解：（1）当时，中不等式为，即，
∴则
（2）∵，∴，
①当时，，即，此时；
②当时，，即，此时. 综上的取值范围为.
18．解：（1）原式.
（2）原式
，
又，解得，所以原式.
19．解：（1）令2x＋3﹣x2＞0，
解得：x∈（﹣1，3），即f（x）的定义域为（﹣1，3），
令t＝2x＋3﹣x2，则，∵为增函数，
x∈（﹣1，1]时，t＝2x＋3﹣x2为增函数；
x∈[1，3）时，t＝2x＋3﹣x2为减函数；
故f（x）的单调增区间为（﹣1，1]；f（x）的单调减区间为[1，3）
（2）由（1）知当x＝1时，t＝2x＋3﹣x2取最大值4，此时函数f（x）取最大值1；
（3）若不等式f（x）≤g（x）在x∈（0，3）上恒成立，
则2x＋3﹣x2≤（a＋2）x＋4在x∈（0，3）上恒成立，
即x2＋ax＋1≥0在x∈（0，3）上恒成立，即a≥﹣（x＋）在x∈（0，3）上恒成立，
当x∈（0，3）时，x＋≥2，则﹣（x＋）≤﹣2，故a≥﹣2．
20．解：（1）设每年砍伐面积的百分比为
则即，
解得：.
（2）设从今年开始，最多可以砍年，
依题意得
即，
可得，，解得
今后最多还能砍30年.
21．解：（1）因为的周期为2，所以，
，又因为的图象的一个对称中心为，
所以，因为，所以，
所以，
所以.
（2）由（1）可知，，
设，因为，所以，则，
设，，则，
①当或时，在内有唯一零点，
这时，函数在内有两个零点.
②当时，在内有两个不等零点，
这时，函数在内有四个零点.
③当时，，由，得或，
这时，函数在内有三个零点.
④当时，，由，得或（舍），
这时，函数在内有两个零点.
综上可得，当或时，在内有两个零点；
当时，在内有三个零点；当时，在内有四个零点.
22．解：（Ⅰ）在上为增函数，
证明：设，则，
则，
∵，当时，．
∴，即，即，所以在上为增函数；
（Ⅱ）由得，
又∵，∴，即，
∴，由（1）知在上单调递增，
∴，
所以题意等价于与的图象有三个不同的交点（如下图），则，
且，，，
∴，
令，
设，
则
，
∵，
∴，，，
∴，
即在上单调递增，
∴，即，
综上：的取值范围是
数学试题
本试卷共4页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，．则
A． B． C． D．
2．与-2022°终边相同的最小正角是
A．138° B．132° C．58° D．42°
3．命题“,”的否定是
A．, B．,
C．, D．,
4．方程的解所在区间是
A． B． C． D．
5．函数的图象大致是
A． B．
C． D．
6．我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段．已知这种新药在注射停止后的血药含量c（t）（单位：mg/L）随着时间t（单位：h）的变化用指数模型描述，假定某药物的消除速率常数（单位：），刚注射这种新药后的初始血药含量，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg/L时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为（ ）（参考数据：）
A．5.32h B．6.23h C．6.93h D．7.52h
7．若函数在上的最大值为4，则的取值范围为
A． B． C． D．
8．已知函数，若（其中．），则的最小值为
A． B． C．2 D．4
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列函数中，最小正周期为，且为偶函数的有
A． B．
C． D．
10．对，成立的充分不必要条件可以是
A． B． C． D．
11．《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆．过点作的垂线交半圆于，连接，，，过点作的垂线，垂足为．则该图形可以完成的所有的无字证明为
A． B．
C． D．
12．已知奇函数，恒成立，且当时，，设，则
A． B．函数为周期函数
C．函数在区间上单调递减 D．函数的图像既有对称轴又有对称中心
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知幂函数的图象过点______．
14．已知函数若，则的值为______．
15．如果方程x2＋(m－1)x＋m2－2＝0的两个实根一个小于－1，另一个大于1，那么实数m的取值范围是________．
16．已知定义在上的奇函数，满足，当时，，若函数，在区间上有2018个零点，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知集合
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
18．（12分）（1）计算：
（2）已知，计算的值.
19．（12分）已知函数．
（1）求f（x）的定义域及单调区间；
（2）求f（x）的最大值，并求出取得最大值时x的值；
（3）设函数，若不等式f（x）≤g（x）在x∈（0，3）上恒成立，求实数a的取值范围．
20．（12分）一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，每年砍伐且使森林面积每年比上一年减少的百分比相同，当砍伐到原面积的一半时，所用时间是20年.为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的﹐已知到今年为止，森林剩余面积为.
（1）求每年砍伐面积的百分比；
（2）该森林今后最多还能砍伐多少年？
21．（12分）已知函数的周期为，图象的一个对称中心为，若先把函数的图象向左平移个单位长度，然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.
（1）求函数与的解析式；
（2）设函数，试判断在内的零点个数.
22．（12分）定义在上的函数满足：对于任意实数都有恒成立，且当时，．
（Ⅰ）判定函数的单调性，并加以证明；
（Ⅱ）设，若函数有三个零点从小到大分别为，求的取值范围．
德阳市第五高级中学2022-2023学年高一下学期开学考试
数学试题参考答案：
1．A 2．A 3．D 4．C 5．B 6．C 7．C 8．B
9．BD 10．AC 11．AC 12．BCD
13．3 14．4 15．(0,1) 16．
17．解：（1）当时，中不等式为，即，
∴则
（2）∵，∴，
①当时，，即，此时；
②当时，，即，此时. 综上的取值范围为.
18．解：（1）原式.
（2）原式
，
又，解得，所以原式.
19．解：（1）令2x＋3﹣x2＞0，
解得：x∈（﹣1，3），即f（x）的定义域为（﹣1，3），
令t＝2x＋3﹣x2，则，∵为增函数，
x∈（﹣1，1]时，t＝2x＋3﹣x2为增函数；
x∈[1，3）时，t＝2x＋3﹣x2为减函数；
故f（x）的单调增区间为（﹣1，1]；f（x）的单调减区间为[1，3）
（2）由（1）知当x＝1时，t＝2x＋3﹣x2取最大值4，此时函数f（x）取最大值1；
（3）若不等式f（x）≤g（x）在x∈（0，3）上恒成立，
则2x＋3﹣x2≤（a＋2）x＋4在x∈（0，3）上恒成立，
即x2＋ax＋1≥0在x∈（0，3）上恒成立，即a≥﹣（x＋）在x∈（0，3）上恒成立，
当x∈（0，3）时，x＋≥2，则﹣（x＋）≤﹣2，故a≥﹣2．
20．解：（1）设每年砍伐面积的百分比为
则即，
解得：.
（2）设从今年开始，最多可以砍年，
依题意得
即，
可得，，解得
今后最多还能砍30年.
21．解：（1）因为的周期为2，所以，
，又因为的图象的一个对称中心为，
所以，因为，所以，
所以，
所以.
（2）由（1）可知，，
设，因为，所以，则，
设，，则，
①当或时，在内有唯一零点，
这时，函数在内有两个零点.
②当时，在内有两个不等零点，
这时，函数在内有四个零点.
③当时，，由，得或，
这时，函数在内有三个零点.
④当时，，由，得或（舍），
这时，函数在内有两个零点.
综上可得，当或时，在内有两个零点；
当时，在内有三个零点；当时，在内有四个零点.
22．解：（Ⅰ）在上为增函数，
证明：设，则，
则，
∵，当时，．
∴，即，即，所以在上为增函数；
（Ⅱ）由得，
又∵，∴，即，
∴，由（1）知在上单调递增，
∴，
所以题意等价于与的图象有三个不同的交点（如下图），则，
且，，，
∴，
令，
设，
则
，
∵，
∴，，，
∴，
即在上单调递增，
∴，即，
综上：的取值范围是
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