四川省泸州市泸县2022-2023学年高三下学期开学考试数学（理）试题（Word版含答案）

泸县2022-2023学年高三下学期开学考试
数 学（理工类）
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3． 本试卷满分150分，考试时间120分钟． 考试结束后，请将答题卡交回。
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数与（为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则
A． B． C． D．
2．设全集为，集合，集合，则集合
A． B．
C． D．
3．如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是
A． B． C． D．
4．不等式组表示的平面区域为，则
A．， B．，
C．， D．，
5．已知是空间中两个不同的平面，是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是
A．若，，且，则 B．若，，且，则
C．若，，且，则 D．若，，且，则
6．在等差数列中，，，则
A． B． C． D．
7．若，则
A． B． C． D．
8．已知，，，则
A． B． C． D．
9．已知无穷等比数列的公比为2，且，则
A． B． C． D．
10．已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两个不同的点，若，则线段的中点到轴的距离为
A．3 B． C．5 D．
11．斜率为1的直线与椭圆相交于A，B两点，则的最大值为
A．2 B． C． D．
12．已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．二项式的展开式中的常数项为______________．
14．设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．
15．已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围为_____．
16．在给出的①；②；③三个不等式中，正确的是______．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必做题：共60分．
17．（12分）已知的三个内角、、所对的边分别为，，，．
（1）求角的大小；
（2）若，边上的中线长为，求的周长．
18．（12分）为考查某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下丢失数据的列联表：
患病 未患病 总计
没服用药 20 30 50
服用药 x y 50
总计 M N 100
设从没服用药的动物中任取2只，未患病数为：从服用药物的动物中任取2只，未患病数为，工作人员曾计算过
(1)求出列联表中数据，y，M，N的值：
(2)求与的均值（期望）并比较大小，请解释所得结论的实际含义：
(3)能够以99%的把握认为药物有效吗？
（参考公式，其中
P（K2≥k） 0.10 0.05 0.010 0.001
k 2.706 3.841 6.635 10.828
19．（12分）在四棱锥中，侧面⊥底面，底面为直角梯形，//，，，，为的中点．
（1）求证：PA//平面BEF；
（2）若PC与AB所成角为，求的长；
（3）在（2）的条件下，求二面角F-BE-A的余弦值．
20．（12分）直线l在x轴上的截距为且交抛物线于A，B两点，点O为抛物线的顶点，过点A，B分别作抛物线对称轴的平行线与直线交于C，D两点．
(1)当时，求的大小；
(2)试探究直线AD与直线BC的交点是否为定点，若是，请求出该定点并证明；若不是，请说明理由；
(3)分别过点A，B作抛物线的切线，求两条切线的交点的轨迹方程．
21．（12分）已知函数．
(1)若曲线在处的切线的方程为，求实数，的值；
(2)若，对任意，不等式恒成立，求的最小值．
（二）选做题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为．
(1)求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；
(2)若直线过点且与直线l平行，直线交曲线C于A，B两点，求的值．
23．（10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若，求的取值范围.
泸县2022-2023学年高三下学期开学考试
数 学（理工类）参考答案：
1．B 2．A 3．A 4．D 5．C 6．B 7．B 8．D 9．A 10．B 11．C 12．D
13．112 14． 15． 16．①②③
17．（1）因为，所以，
根据正弦定理得，
所以，
所以，
所以，
因为、、是的三个内角，
所以，，，
因为，所以．
（2）因为是边上的中线，所以，
所以，所以，
所以，所以①，
又因为，所以，即②，由①②，解得，，，
则，所以，∴，故的周长为6．
18．（1），，
，，，；即，，，；
（2）取值为0、1、2，
，
0 1 2
P
∴
取值为0、1、2，
，，
0 1 2
P
∴
∴，即说明药物有效.
（3）∵，∵4.76<6.635，∴不能够有99%的把握认为药物有效
19解：（1）证明：连接AC交BE于O，并连接EC，FO，
,为中点
AE//BC，且AE=BC四边形ABCE为平行四边形
O为AC中点 又F为AD中点
，
，//平面
（2）由BCDE为正方形可得
由ABCE为平行四边形可得//
为即
，
侧面底面侧面底面平面
，，.
（3）取中点，连，
，，
平面，
的平面角，
又，
， 所以二面角的余弦值为．
20．（1）设直线l的方程为，由，消去x并整理得，
设，，则，，当时，，，
因，，即，所以．
（2）显然，当轴时，直线AB：，四边形是矩形，x，y轴分别为其对称轴，则直线AD与BC交于原点，当直线AB与x轴不垂直时，由（1）知，，且此时，，
，则有，即有，因此点共线，
同理点共线，即直线AD与直线BC交于原点，
所以直线AD与直线BC的交点恒为原点．
（3）由（1）知，，
显然抛物线在点A处切线斜率存在且不为0，设其方程为：，
由消去x并整理得：，解得或，
因此有，解得，则抛物线在点A处切线方程为，即，
同理抛物线在点B处切线方程为，
而，由解得，于是得两条切线的交点在直线上，又，
所以两条切线的交点的轨迹方程为．
21．（1）∵，∴，
∵曲线在处的切线的方程为，
∴，，∴，，∴，．
（2）因为， ，所以，故函数在上单调递增，
不妨设，则，可化为，
设，则．
所以为上的减函数，即在上恒成立，
等价于在上恒成立，即在上恒成立，
又，所以，所以，而函数在上是增函数，
所以（当且仅当，时等号成立）．所以．即的最小值为．
22．（1）因为曲线C的参数方程为，（θ为参数），
所以曲线C的普通方程为．
由，得，即，
因为，，所以直线l的直角坐标方程为．
（2）因为直线l的斜率为，所以l的倾斜角为，
所以过点且与直线l平行的直线的方程可设为（t为参数）．
设点A，B对应的参数分别为，，将代入，可得，整理得，则，，，
所以．
23．解：（1）等价于或解得.
故不等式的解集为.
（2），即，即.
因为，所以等价于，
解得.故的取值范围为.