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6.1 平方根
第1课时 算术平方根
学习目标
1.能表述数的算术平方根的概念,领会其性质,会用符号(根号)表示一个数的算术平方根.
2.在算术平方根概念的形成过程以及用之进行运算的过程中,体会知识的来源与发展以及它与平方运算的互逆关系,发展双向思维,并在概念的探索过程中,激发学习数学的兴趣.
合作探究
合作探究一
问题1:用含根号的式子表示下列各数的算术平方根.(多媒体出示)
(1)16 (2)25 (3)7 (4)14
【例题】 求下列各数的算术平方根.(多媒体出示)
(1)1 (2)900 (3)106 (4) (5)10
合作探究二
思考:通过上面的例题,大家思考一下,我们在求算术平方根时是借助于哪一种运算来求的 (多媒体出示)
问题2:仿照“例题”,请同学们自己编写两道类似的题目,供其他同学解答.
问题3:有意义吗 为什么
深化探究
1.填空:
(1)的算术平方根是 .
(2)1的算术平方根是 .
(3)的算术平方根是 .
2.若一个正方形的边长为3,当面积扩大至原来的4倍后,其大正方形的边长b变为原来的多少倍
3.请同学们写出一些数的算术平方根,使它们分别是整数、分数、无限不循环小数.
课堂练习
1.一个数的算术平方根等于它本身,这个数是 .
2.若a=25,则a2的算术平方根是 .
3.的算术平方根等于 .
4.若|a-9|+=0,则的算术平方根是 .
5.的算术平方根是 .
6.求下列各数的算术平方根:
(1)121 (2)0.25 (3) (4)(-3)2
参考答案
合作探究
合作探究一
问题1:(1) (2) (3) (4)
【例题】(1)∵12=1,
∴1的算术平方根是1 .
即 =1.
(2)∵302=900,
∴900的算术平方根是30.
即=30.
(3)∵(103)2=106,
∴106的算术平方根是103.
即=103.
(4)∵,
∴的算术平方根是.
即.
(5)∵()2=10,
∴10的算术平方根是.
合作探究二
思考:平方运算.
问题2:略
问题3:无意义,
因为任何数的平方都是非负数,
即a2≥0,
故无意义.
深化探究
1.(1) (2) (3)3
2.解:∵b2 = 4×32 =36,∴b==6.
即大正方形的边长是原来边长的2倍.
3.略
课堂练习
1.0或1
2.25
3.
4.6
5.
6.(1)11 (2)0.5 (3) (4)3
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6.1 平方根
第六章 实 数
第1课时 算术平方根
在我校举行的绘画比赛中，欢欢同学准备了一些正方形的画布，你能计算出它们的面积吗？
导入新课
情境引入
已知一个正数，求这个正数的平方,这是平方运算.
正方形的边长 1 2 0.5
正方形的面积
1
讲授新课
算术平方根
一
填表：
表1
思考：你能从表1发现什么共同点吗？
4
0. 25
正方形的面积 1 4 0.36
49
正方形的边长
已知一个正数的平方，求这个正数.
表2
表一和表二中的两种运算有什么关系？
1
2
0.6
7
思考：你能从表2发现什么共同点吗？
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a,那么这个正数x叫做 a的算术平方根.
练一练
1.因为22=4 ，所以4的算术平方根是＿＿；
2
2.下列说法正确的是 .
①5是25的算术平方根.
② 0.01是0.1的算术平方根.
①
一、算术平方根的概念
a的算术平方根
互为
逆运算
平方根号
被开方数
读作：根号a
（a≥0)
怎么用符号来表示一个数的算术平方根？
(x≥0)
二、数学符号表示
1.一个正数的算术平方根有几个？
0的算术平方根是0.
2.0的算术平方有几个？
负数没有算术平方根.
3.-1有算术平方根吗？负数有算术平方根
一个正数的算术平方根有1个
合作与交流：
三、算术平方根的性质
例1 分别求下列各数的算术平方根：
（1）100， （2） ， （3） .
解:（1）由于102=100，
因此 ；
典例精析
（2）由于 2= ，
因此 ；
（3）由于0.72=0.49，
因此 .
不难看出：被开方数越大，对应的算术平方根也越大.这个结论对所有正数都成立.
例2 计算：
（1） ； （2） .
解：(1)原式=7+3-1=9；
(2)原式=2+3-4=1.
算术平方根具有双重非负性
a的算术平方根
非负数
非负数
算术平方根的双重非负性
二
解： 无意义，因为被开方数不是非负数．
下列各式中哪些有意义？哪些无意义？为什么？
注意：被开方数为非负数.
练一练
例3 若|m-1| + =0,求m+n的值.
解: 因为|m-1| ≥0， ≥0，又|m-1| + =0,
所以 |m-1| =0， =0，所以m=1,n=-3,
所以m+n=1+(-3)=-2.
典例精析
几个非负数的和为0，则每个数均为0，现阶段学过
的非负数有绝对值、一个数的平方及算术平方根.
归纳
1.填空：（看谁算得又对又快）
(1) 一个数的算术平方根是3，则这个数是 .
(2) 一个自然数的算术平方根为a，则这个自然数
是___；和这个自然数相邻的下一个自然数是
.
(3) 的算术平方根为 .
(4) 2的算术平方根为____.
3
9
a2
a2+1
当堂练习
2.求下列各数的算术平方根:
（1）169； (2) ； (3) 0.0001.
解：(1)因为132 =169,所以169的算术平方根是13，
即
(2)因为 ,所以 的算术平方根是 ，
即
(3)因为0.012 =0.0001,所以0.0001的算术平方根
是0.01，即
3.下列式子表示什么意义？你能求出它们的值吗？
拓展提升
解：（1）16 ； （2）3.
（1）已知 ，求 的值；
（2）3x－4为25的算术平方根，求x的值.
（1）本节课你学习了哪些知识？
（2）在探索知识的过程中，你积累了哪些经验？
这节课主要学习了算术平方根的概念和表示方法,知道了求一个正数的算术平方根与求一个正数的二次幂正好是互逆的过程，因此，求正数的算术平方根实际上可以转化为求一个数的二次幂运算. 只不过，只有正数和0才有算术平方根.
思维方法：求一个正数的算术平方根运算和开平方求一个正数的二次幂运算互为逆运算.
探究策略：由特殊到一般，再由一般到特殊，是发现问题和解决 问题的基本方法和途径.
课堂小结
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