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6.1 平方根
第3课时 平方根
学习目标
1.经历平方根概念的形成过程,理解并掌握平方根的应用.
2.在探索平方根概念的过程中,在大量举例的基础上,归纳出定义,经历由具体到抽象、由特殊到一般的数学思想过程.
3.通过对开方和乘方互为逆运算关系的学习,体现事物之间对立又统一的辩证关系,启发探索数学的兴趣.
自主学习
1.一个数的平方是9,这个数是多少
2.一个数的平方是 0.49 ,这个数是多少
3.填空:
①( )2 = 16; ②( )2 =; ③ ( ) 2 = 0.
4.一个地面面积为36平方米的正方形展厅,问:它的地面边长应是多少
合作探究
合作探究一
1.请分别说出49,,0的平方根
2.探究性质:你能得出正数、零、负数的平方根各有什么性质吗 在研究性质的过程中,我们运用了什么样的数学思想
3.探究开平方的定义以及与平方运算的关系:
(1)我们知道,求一个数平方的运算叫做平方运算,那么求一个数平方根的运算又叫做什么运算呢
(2)我们知道加法与减法互为逆运算,乘法与除法互为逆运算,那么平方与开平方又有什么关系呢
4.探究平方根的表示方法:
加、减、乘、除、乘方都有它们的表示方法,那么平方根用什么符号表示呢
合作探究二
1.下列各数是否有平方根,请说明理由.
① (-3)2 ② 0.2 ③ -0.012
2.下列说法对不对 为什么
①4有一个平方根;②只有正数有平方根;③任何数都有平方根;④若 a>0,a有两个平方根,它们互为相反数.
3.求下列各数的平方根:
(1) 25 (2) (3) 0.016 9
深化探究
1.求下列各数的平方根.
(1) 100 (2) (3)0.25
2.求下列各式的值.
(1) (2)- (3)± (4)
思考:-的值是多少
课堂练习
1.判断正误
(1) 的平方根是±3. ( )
(2) =±. ( )
(3)16的平方根是4.( )
(4)任何数的算术平方根都是正数.( )
(5)是3的算术平方根.( )
(6)若a2=b2,则a=b. ( )
(7)若a=b,则a2=b2. ( )
2.选择题(单选)
(1)在实数运算中,可进行开平方运算的是( )
A.负实数 B.正数和零 C.整数 D.实数
(2)若=5,则x等于( )
A.0 B.10 C.20 D.30
(3)下列各式中无意义的是( )
A.- B. C. D.
(4)下列运算正确的是( )
A.-=13 B. =-6 C.-=-5 D. =±
(5)下列各题运算过程和结果都正确的是( )
A. B. =2×
C. =7+=7 D. =a+b
3.填空
(1)(-3)2的平方根是 ,算术平方根是 .
(2)169的算术平方根的平方根是 .
(3) 的负的平方根是 .
(4)-是 的一个平方根.
(5)当 时, 有意义;当m= 时, 值为0.
(6)当 时,式子有意义.
(7)已知x2=11,则x= .
4.求下列各式中x的值.
(1)4x2-100=0 (2)64(x+1)2-9=0
5.如果+|6y-5|=0,求xy的值.
参考答案
自主学习
1.±3 2.±0.7 3.①±4 ②± ③0 4.地面边长为6米
合作探究
合作探究一
1. (1)∵(±7)2=49,∴±7叫做49的平方根;
(2)∵(±)2= ,∴±叫做的平方根;
(3)∵02 = 0,∴0叫做0的平方根.
2. 平方根的性质:
①一个正数有两个平方根,这两个平方根互为相反数;
②0只有一个平方根,它就是0本身;
③负数没有平方根.
在研究性质的过程中,运用了分情况讨论的思想,在研究有关数的问题中,经常把数分成正数、零、负数三种情况考虑.
3. (1)开平方:求一个数的平方根的运算,叫做开平方.
(2)平方是已知一个数求它的平方,而开平方是已知一个数的平方求这个数,所以它们互为逆运算.
4.
合作探究二
1.解:(-3)2和0.2有平方根,
因为(-3)2和0.2是非负数.
-0.012没有平方根,
因为-0.012是负数.
2.解:只有④对,
因为一个正数有正、负两个平方根,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根.
3.解:(1)∵(±5)2=25,
所以25的平方根±5,
即±=±5;
(2)∵(±)2=,
所以的平方根±,
即±=±;
(3)∵(±0.13)2=0.0169,
所以0.0169的平方根±0.13,
即±=±0.13.
深化探究
1.(1)±10 (2)± (3)±0.5
2.(1)12 (2)-0.9 (3)± (4)56 56
思考:-
课堂练习
1.(1)× (2) × (3) × (4) × (5)√ (6) × (7)√
2.(1)B (2)D (3)D (4)C (5)A
3.(1)±3 3 (2) ± (3)- (4)3，(5)m≥ 3 (6)a≥2,且a≠3
(7) ±
4.解:(1)4x2-100=0,
4x2=100,
x2=25,
x=±5.
(2)64(x+1)2-9=0,
64(x+1)2=9,
(x+1)2=,
x+1=±,
x=-或-.
5.解:∵表示1-3x的算术平方根,
∴≥0.
又∵|6y-5|≥0,
而+|6y-5|=0,
∴=0,|6y-5|=0.
∴x=,y=,xy=.
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6.1 平方根
第六章 实 数
第3课时 平方根
1.什么叫做算术平方根？
2.判断下列各数有没有算术平方根，如果有请
求出它们的算术平方根.
100；1； ; 0; －0.0025; (-3)2 ; －25；
导入新课
回顾与思考
（1）32= ，（－3）2= ；
（2） ， ；
（3）0.82= ，（－0.8）2= .
9
0.64
0.64
3. 填空
9
思考：反过来，如果已知一个数的平方，怎样求这
个数？
问题 如果一个数的平方等于9，这个数是多少？
想一想：3和-3有什么特征？
由于 ，
所以这个数是3或-3.
讲授新课
平方根的定义及性质
3和-3互为相反数，会不会是巧合呢
根据上面的研究过程填表：
如果我们把 分别叫做
的平方根，你能给出平方根的概念吗？
根据上述问题，即要找出一个数，使它的平方等于给定的数.由此我们抽象出下述概念：
如果有一个数x，使得x2=a，那么我们把x叫作a的一个平方根，也叫作二次方根.
如果x是正数a的一个平方根，那么a的平方根有且只有两个：x与-x.即平方根互为相反数.
平方根的性质：
例如： (±1)2=1，1的平方根为±1.
一、平方根的概念
由于02=0，而非零数的平方不等于0，因此零的平方根就是0本身.
由于同号两数相乘得正数，所以任何一个数的平方都不会是负数，因此-9没有平方根，进一步的，所有的负数都没有平方根.
在上面的问题中，我们求平方根的数都是正数.
思考
1.零有平方根吗？如果有，它的平方根是多少？
2.-9有平方根吗？负数有平方根吗
总结归纳
1.一个正数有两个平方根，它们互为相反数；
2.零的平方根是0；
3.负数没有平方根.
判断下列各数是否有平方根，请说明理由.
-4;
0;
0.000001;
100;
练一练:
判断下列说法是否正确，并说明理由．
（1）49的平方根是7；
（2）2是4的平方根；
（3）-5是25的平方根；
（4）64的平方根是±8；
（5）-16的平方根是-4．
做一做
典例精析
例1 一个正数的两个平方根分别是2a＋1和a－4，
求这个数．
解：由于一个正数的两个平方根是2a＋1和a－4，则有2a＋1＋a－4＝0，即3a－3＝0，解得a＝1.所以这个数为(2a＋1)2＝(2＋1)2＝9.
方法归纳：一个正数有两个平方根，它们互为
相反数
+1
-1
+2
-2
+3
-3
1
4
9
平方
已知一个数，求它的平方的运算，叫作平方运算.
回顾平方的概念
+1
-1
+2
-2
+3
-3
1
4
9
？运算
反之，已知一个数的平方，求这个数的运算是什么？
求一个数的平方根的运算叫作开平方.
二、开平方的概念
例2 分别求下列各数的平方根：
36， ，1.21.
解 由于62=36，
因此36的平方根是6与-6.
36是正数
（1）36
有两个平方根
即
典例精析
（2）
解: 由于 2= ，
有两个平方根
因此 的平方根是 与 .
解: 由于1.12=1.21，
有两个平方根
（3）1.21
因此1.21的平方根是1.1与-1.1.
即
即
表示a的正的平方根
表示a的负的平方根
记作
a﹙a≥0﹚的平方根表示为
一个非负数的平方根的表示方法：
(算术平方根)
三、平方根的数学符号表示
说一说
各表示什么意义？
表示7的正的平方根（即算术平方根）
表示7的负的平方根
表示7的平方根
平方根与算术平方根的联系：
（1）具有包含关系:平方根包含算术平方根，算术
平方根是平方根的一种;
（2）存在条件相同:只非负数才有平方根和算术平方根;
（3）0的平方根和算术平方根都是0.
四、平方根与算术平方根
平方根与算术平方根的区别：
（1）定义不同：如果一个数x的平方等于a，那么这个
数x叫做 a的平方根，如果一个正数x的平方等于a,
即x2 =a,那么这个正数x叫做a的算术平方根.
（2）个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正
数的算术平方根只有一个;
（3）表示方法不同：正数a的算术平方根表示为 ，
而正数a的平方根表示为± .
例3 求下列各式的值：
解：（1） ；
（2） ；
（3） .
典例精析
1. 判断下列说法是否正确.
正确.
（4）(-4)2的平方根是-4.
（1） 是 的一个平方根；
（2） 是6的算术平方根；
（3） 的值是±4；
正确.
不正确，是 4.
不正确，是 ±4.
当堂练习
2. 分别求 64， ，6.25的平方根.
64的平方根是8与-8， 的平方根是
与 ，6.25的平方根是2.5与-2.5.
解:
解:（1）
（2）
3.求下列各式的值：
（1）
（2）
（3）
（3）
（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数；
（2）0的平方根就是0 ；
（3）负数没有平方根．
平方根的性质:
被开方数的取值范围：
只有a≥0时有意义，a＜0时无意义.
课堂小结
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
