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6.2 立方根
第六章 实 数
如图，一个体积是64cm3的正方体的棱长是多少？
导入新课
？
观察与思考
由于43=64,因此体积为64cm3的正方体，它的棱长是4cm.
这是已知一个数的立方，求这个数的问题
通过上节课的学习，我们知道：
你能类比以上思路给立方根下个定义么？
即：若x3=a，则x是a的一个立方根（三次方根）.
一般地，如果有一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根，也叫作二次方根.
平方根的概念
即：若x2=a，则x是a的一个平方根（二次方根）
一般地，如果有一个数的立方等于a，那么这个数叫作a的立方根，也叫作三次方根.
立方根的概念
讲授新课
立方根
一
一、立方根的概念
类似于平方根，一个数a的立方根，用符号“ ”表示，读作：“三次根号a ”,其中a叫做被开方数，3叫做 .
根指数
请观赏动画
3
三次根号
根指数
被开方数
表示：a的立方根
不能省略
读作：三次根号a
二、立方根的数学符号表示
类似开平方运算，求一个数的立方根的运算叫作“开立方”.
注：“开立方”与“立方”互为逆运算
三、开立方的概念
4.因为(－2)3=－8,所以－8的立方根是_____.
2.因为0.53=0.125,所以0.125的立方根________.
1.因为23=8,所以8的立方根是_______.
根据立方根的意义填空
6.因为( )3= ,所以 的立方根是______.
你能归纳出立方根有什么性质吗？
5.因为(－0.5)3=－0.125,所以－0.125的立方根是_____.
3.因为( )3= ,所以 的立方根是_______.
练一练
2
0.5
-2
-0.5
1.正数的立方根是________,
2.负数的立方根是________,
3.0的立方根________.
正数
负数
0
还有其他发现吗？(提示:观察练一练1和4,2和5,3和6)
互为相反数的两个数的立方根互为相反数，即
观察上面练一练1 3，回答1；4 6，回答2：
~
~
四、立方根的性质
平方根 立方根
性
质 正数
0
负数
表示方法
被开方数的范围
两个，互为相反数
一个，为正数
0
0
没有平方根
一个，为负数
平方根与立方根的区别和联系
可以为任何数
非负数
(3) =10.
典例精析
例2 分别求下列各数的立方根：
(1) ; (2) ; (3) .
解：(1) = -7;
(2) = ;
例3 计算： .
解：原式=3+2-(-1) =5+1=6.
例1 的算术平方根是 .
2
例2 用计算器求下列各数的立方根：343，-1.331.
解：依次按键：
显示：7
所以，
2ndF
4
3
3
=
依次按键：
显示：-1.1
所以，
2ndF
1
(-)
.
3
1
3
=
用计算器求立方根
二
由于一个数的立方根可能是无限不循环小数,所以我们可以利用计算器求一个数的立方根或它的近似值.
例3 用计算器求 的近似值（精确到0.001）.
解 依次按键：
显示：1.259 921 05
所以，
2ndF
=
2
观察下面的运算，请你找出其中的规律
规律是：
①被开方数每扩大 倍，其结果就扩大 倍；
②被开方数每缩小 倍，其结果就缩小 倍.
反之也成立.
1
10
0.1
1000
10
1.1
110
60
0.6
1000
10
五、开立方的性质
错误
正确
当堂练习
0.5
-3
10
1
1.判断正误.
3.求下列式中x的值.
(1)x3=0.008; (2)(x-1)3=27.
答案：（1）x=0.2；（2）x=4；
课堂小结
立方根
立方根的概念及性质
开立方及相关运算
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6．2 立方根
第2课时 用计算器求立方根
学习目标
1.进一步理解立方根的概念,并能熟练地进行求一个数的立方根的运算;
2.能用有理数估计一个无理数的大致范围,形成估算意识,培养估算能力;
3.经历运用计算器探求数学规律的过程,发展合情推理能力,激发探索数学的兴趣.
自主学习
探究1
1.表示什么含义 它的值是多少 表示什么含义 它的值是多少
2. 和有什么关系
3. 表示什么含义 它的值是多少 表示什么含义 它的值是多少
4. 有什么关系
探究2:
1.利用计算器计算,并将计算结果填在表中,你发现了什么规律
… …
2.用计算器计算(结果精确到0.001).并利用你发现的规律说出的近似值.
合作探究
合作探究一
练习1:请同学再试试看可以怎样解
【例题】 求下列各式的值:
(1); (2); (3); (4);
(5)±; (6); (7).
合作探究二
练习2:判断题
(1)64的立方根是±=±( )
(2)-是-的立方根( )
(3)=-( )
(4)立方根等于它本身的数是0和1( )
练习3:用计算器求下列各数的立方根:
(1)1 331;(2)-343;(3)9.263(精确到0.01).
深化探究
1.求下列各数的立方根:
(1)512; (2)-0.027; (3)-.
2.下列说法对不对
(1)-4没有立方根;
(2)1的立方根是±1;
(3)的立方根是;
(4)-5的立方根是-;
(5)64的算术平方根是8.
课堂练习
1.一个数的平方根是它本身,则这个数的立方根是( )
A.1 B.0 C.-1 D.1,-1或0
2.-8的立方根与4的平方根之和是( )
A. 0 B.4 C.0或4 D.0或-4
3.如果一个数的平方根与立方根是同一个数,那么这个数是( )
A.8 B.4 C.0 D.16
4.的值是 ( )
A.正数 B.负数 C.零 D.以上都可能
5.)2
6.-(-2)3×
7.若互为相反数,试求x的值.
8. 一个正方体的体积变为原来的8倍,它的棱长变为原来的多少倍 体积变为原来的27倍,它的棱长变为原来的多少倍 体积变为原来的1 000倍,它的棱长变为原来的多少倍 体积变为原来的n倍呢
9. 某企业要制作一个容积是1 800 cm3的正方体形的过滤水槽,准备用钢板焊制,试求至少要用多少平方厘米的钢板 (注意: 此水槽无盖,结果精确到0.01 cm2).
参考答案
自主学习
探究1
1.-8的立方根 =-2 8的立方根 =2
2.=-
3.27的立方根 =3 -27的立方根 =-3
4.=-
合作探究
合作探究一
练习1:-3 -
【例题】(1)4 (2)-3 (3) (4)- (5)±8
(6)8 (7)-
合作探究二
练习2:(1)× (2)× (3)√ (4)×
练习3:
解:(1)在计算器上依次键入
1331=
显示结果为11,
所以=11.
(2)在计算器上依次键入
-343=
显示结果为-7,
所以= -7.
(3)在计算器上依次键入
9.263=
显示结果为2.10,
所以=2.10.
深化探究
1.解:(1)因为83=512,所以512的立方根是8,即=8;
(2)因为(-0.3)3=-0.027,所以-0.027的立方根是-0.3,即=-0.3;
(3)因为(-)3=-,所以-的立方根是-,即=-.
2.(1)不对,因为负数没有平方根,但它有立方根.
(2)不对,因为1只有一个立方根,任何实数的立方根都只有一个.
(3)不对,因为()3≠.
(4)对,因为-.
(5)对.
课堂练习
1.B 2.D 3.C 4.D
5.原式==-.
6.原式=-2+-(-8)×0.4=0.8-2+0.1-(-3.2)=0.8-2+0.1+3.2=2.1.
7.∵互为相反数,
∴3x-7和3x+4互为相反数,
∴3x-7+3x+4=0,
6x-3=0,x=.
8.一个正方体的体积变为原来的8倍,它的棱长变为原来的2倍;体积变为原来的27倍,它的棱长变为原来的3倍;体积变为原来的1000倍,它的棱长变为原来的10倍;体积变为原来的n倍,它的棱长变为原来的倍.
9.解:∵正方体的棱长为cm,
∴无盖正方体的表面积为5()2=5×147.972≈739.86(cm2).
答:至少要用739.86cm2的钢板.
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6.2 立方根(第1课时)
学习目标
1.了解立方根的概念;会表示一个数的立方根.
2.掌握开立方运算;了解立方根与开立方互为逆运算.
3.通过对开立方与立方互为逆运算关系的学习,体现事物之间对立又统一的辩证关系,激发探索数学的兴趣.通过立方根符号的引入体验数学的简洁美.
自主学习
若正方体的棱长为a,体积为8,根据正方体体积的公式得a3=8,那a叫8的什么呢 本节课请大家根据上节课的内容自己类推得出结论,若x3=a,则x叫a的什么呢
合作探究
合作探究一
1.探究立方根的定义及表示法
(1)在平方根定义的基础上,若x3=a,则x叫a的什么根呢 x4=a时,x叫a的什么根呢
(2)下面大家能不能再根据平方根的写法来类推立方根的写法呢
2.探究开立方的定义
请大家先回忆开平方的定义,再类推开立方的定义.开立方与立方运算又有什么关系 并举例说明.
合作探究二
3.探究立方根的性质
(1)2的立方等于多少 是否有其他的数,它的立方也是8
(2)-3的立方等于多少 是否有其他的数,它的立方也是-27
(3)0的立方等于多少 0有几个立方根
(4)从(1)~(3)中,同学们总结一下正数有几个立方根 0有几个立方根 负数有几个立方根 多举几个例子试一试.
4.探究平方根与立方根的区别与联系.
我们虽然通过类比平方根学习了立方根,但是立方根与平方根同中有异,你能总结它们的区别与联系吗
深化探究
【例1】 求下列各数的立方根:
(1) -;(2)-216;(3)-0.064.
【例2】 (1)求下列各数的平方根:;1;0;
(2)求下列各数的立方根;
,-3,1,0,-1,-343,-0.729.
课堂练习
1.正数有 个立方根, 0有 个立方根,负数有 个立方根,立方根也叫做 .
2.一个正方体的棱长扩大3倍,则它的体积扩大 .
3.若一个数的立方根等于这个数的算术平方根,则这个数是 .
4.0的立方根是 .(-1)2 015的立方根是 .18的立方根是 .
5. = .
参考答案
合作探究
合作探究一
1.(1)因为x2=a,x叫a的平方根,所以当x的立方等于a时,x叫a的立方根.当x的4次方等于a时,x叫a的4次方根.
(2)若一个数的立方等于a,那么这个数就叫做a的立方根(cube root;也叫三次方根),记为x=,读作x等于三次根号a.如:2是8的立方根.
2.求一个数a的平方根的运算,叫做开平方,则求一个数a的立方根的运算,叫做开立方,其中a叫做被开方数.
注意:正如开平方与平方互为逆运算一样,开立方与立方也互为逆运算.
合作探究二
3.(1)2的立方等于8,(-2)3=-8,所以没有其他的数的立方等于8.
(2)-3的立方等于-27,33=27,所以没有其他的数的立方等于-27.
(3)0的立方等于0,0有1个立方根是0.
(4)正数有一个立方根,0有一个立方根是0,负数有一个立方根.
通过上面的数学活动得出:正数有一个正的立方根,负数有一个负的立方根,0的立方根是0.
4.联系:
(1)0的平方根、立方根都有一个是0.
(2)平方根、立方根都是开方的结果.
区别:
(1)定义不同:“如果一个数的平方等于a,这个数就叫做a的平方根”;“如果一个数的立方等于a,这个数就叫做a的立方根.”
(2)个数不同:一个正数有两个平方根,一个正数有一个立方根;一个负数没有平方根,一个负数有一个立方根.
(3)表示法不同
正数a的平方根表示为±,a的立方根表示为.
(4)被开方数的取值范围不同,开平方中的被开方数应为非负数,而开立方中被开方数可以为正数、负数和0.
深化探究
【例1】解:(1)因为(-)3=-,所以-的立方根是-,即=-;
(2)因为(-6)3=-216,所以-216的立方根是-6,即=-6;
(3)因为(-0.4)3=-0.064,所以-0.064的立方根是-0.4,即=-0.4.
【例2】解:(1)± ±1 0
(2) - 1 0 -1 -7 -0.9
课堂练习
1.1 1 1 三次方根 2.27倍 3.1或0 4.0 -1 5.-
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