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6.3 实数
第2课时 实数的性质及运算
学习目标
1.了解实数的相反数、倒数、绝对值的意义.
2.了解在有理数范围内的运算法则、运算律、运算公式、运算顺序在实数范围内仍然适用,并会进行实数的一些运算.
3.会比较两个实数的大小,会进行实数的简单运算.
合作探究
合作探究一
探究活动1:
(1)回忆我们上节课所学的格点三角形中,边长为1的正方形的对角线是多少
(2)直径为1的圆的周长是多少
(3)由(1)(2)的结论,你能在数轴上描出表示和π的点吗
(4)数轴上的点是否都表示有理数 它还能表示一些什么数
探究活动2:
在实数范围内相反数、倒数、绝对值的意义与在有理数范围内相反数、倒数、绝对值的意义 .
巩固练习1:
1.的相反数是( ),倒数是( ),绝对值是( );
2.-的相反数是( ),倒数是( ),绝对值是( );
3.π的相反数是( ),倒数是( ),绝对值是( ).
合作探究二
探究活动3:数学运算是数学学习的主要内容,请同学们讨论以下几个问题:
(1)我们已学过哪些运算
(2)有哪些规定吗
除法运算中除数不能为 ,而且只有 可以进行开平方运算,任何一个 都可以进行开立方运算.
(3)有理数满足哪些运算律
加法交换律:a+b=b+a 加法结合律: . 乘法交换律: .
乘法结合律: . 分配律: .
巩固练习2:
1.计算:
(1)3+2; (2).
2.近似计算:
(1)+π;(精确到0.01)， (2).(精确到0.1)
深化探究
探究活动4:
(1)利用数轴,我们怎样比较两个有理数的大小 在数轴上表示的数,右边的数总比左边的大.这个结论在实数范围内也成立吗
(2)我们还有什么方法可以比较两个实数的大小吗
正数 零,负数 零,正数 负数.
两个正实数,绝对值较大的数也 .
两个负实数,绝对值大的数反而 ;
巩固练习3:你会比较大小吗
1.(1) 1.4 (2)- - (3)-2
2.试试看:你会比较的大小吗
课堂练习
1.下列命题:①绝对值最小的实数不存在;②无理数在数轴上对应的点不存在;③与本身的平方根相等的实数不存在;④最大的负数不存在.其中错误命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.和数轴上的点一一对应的数是( )
A. 整数 B.有理数 C.无理数 D.实数
3.实数a,b在数轴上的位置如图所示,则化简-a的结果是( )
A.2a+b B.2a C.a D.b
4. 如图,数轴上表示1,的对应点分别为点A、B.若点B关于点A的对称点为点C,则点C所表示的数为( )
A.-1 B.1-C.2- D. -2
5.在数轴上点M与原点距离是,点M所表示的数是 .
6.写出大于-且小于的整数: .
7.求下列各数的相反数、绝对值:
-;3-π-2.
8.已知,求x的值.
9.计算:
(1)-(); (2) (3+2)-(5+5); (3)-4×+2.(结果精确到0.01)
参考答案
合作探究
合作探究一
探究活动1:
解:(1)边长为1的正方形的对角线是,如图所示:
(2)因为圆的周长C=πd,所以直径为1的圆的周长是π.
(3)在数轴上以1个单位长度为边长做一个正方形,再做出它的对角线,以原点为圆心,以对角线长为半径作弧,与数轴在原点右边的交点为,左边的交点为-;在数轴上直径为1个单位长度的圆从原点开始滚动一周,其终点的坐标就是π.如图:
(4)数轴上的点并不是都表示有理数,它还能表示无理数.
探究活动2:
完全一样
巩固练习1:
1.-
2. -
3.-π π
合作探究二
探究活动3:
答:(1)加、减、乘、除、乘方、开方运算
(2)0 非负数 实数
(3)(a+b)+c=a+(b+c) ab=ba (ab)c=a(bc) a(b+c)=ab+ac
巩固练习2:
1.解:(1)3+2=(3+2)=5.
(2)===()2×=2.
2.解:(1)+π≈1.732+3.142=4.874≈4.87.
(2)≈2.24×2.65=5.936≈5.9.
深化探究
探究活动4:
答:(1)仍然成立.因为实数都可以用数轴上的点来表示
(2)大于 小于 大于 大 小
巩固练习3:
1.(1)> (2)> (3)<
2.解:方法一:计算近似值法
用计算器求得≈0.215,≈0.333,
所以.
方法二:求差法
因为<3,
所以-2<1,
所以.
课堂练习
1.D 2.D 3.D 4.D 5.C
6.± 7.0, ±1, ±2, ±3,-4
8.解:-的相反数是的相反数是-,;
3-π的相反数是π-3,=π-3;-2的相反数是2-=2-.
9.解:,x-1=±,x=1+或x=1-.
10.解:(1)=-
(2)(3+2)-(5+5) =3+2-5-5=-2-3.
(3)-4×+2≈-4×1.732+2×1.414=-6.928+2.828=-4.10.
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6.3 实 数
第六章 实 数
第2课时 实数的性质及运算
有理数中的几个重要概念:
只有符号不同的两个数,其中一个是另一个的相反数.
①相反数
导入新课
回顾与思考
②绝对值
数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值,用︱a︱表示.
③倒数
如果两个数的积是1,则这两个数互为倒数 .
思考：无理数也有相反数吗？怎么表示？有绝对值吗？怎么表示？有倒数吗？怎么表示？
有理数中的相反数、绝对值、倒数等概念对实数仍然适用.
只有符号不同的两个数叫互为相反数，零
的相反数是零.
如：
1. 相反数
2. 绝对值
数轴上一个数表示的点离开原点的距离
叫这个数的绝对值.
如：
3. 倒数
如果两个数的积等于1，这两个数叫互为倒数.
其中一个叫另一个的倒数.
实数的性质
一
如： 的倒数是
讲授新课
练一练
1. 的相反数是 ，
的相反数是 ，
的相反数是 .
2. -π的绝对值是 ，
= ，
= .
1.a是一个实数，实数a的相反数为-a.
2.①一个正实数的绝对值是它本身；
②一个负实数的绝对值是它的相反数；
③0的绝对值是0.
总结归纳
例1 写出下列各数的相反数和绝对值：
解: 因为
所以， 的相反数分别为
由绝对值的意义得：
典例精析
例2
（1）求 的相反数，
（2）已知 ＝ ，求a.
解：(1)因为 ，3的相反数是-3，所以
的相反数是-3.
(2)因为 ， 所以a的值是 和 .
当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又增加了非负数的开平方运算，任意实数可以进行开立方运算.进行实数运算时，有理数的运算法则及性质等同样适用.
实数的运算顺序
(1)先算乘方和开方;
(2)再算乘除，最后算加;
(3)如果遇到括号，则先进行括号里的运算.
实数的运算
二
例3 计算下列各式的值：
典例精析
例4 计算（结果保留小数点后两位）：
注意：计算过程中要多保留一位!
1.判断：
(1) （ ）
(2) 的绝对值是 ； （ ）
(3) 的相反数是 . （ ）
×
×
当堂练习
2.下列各数中，互为相反数的是( )
A.3 与 B. 与
C. 与 D. 与
C
5.- 是 的相反数;π-3.14的相反数是 .
3. 的值是( )
A.5 B.-1 C. D.
C
3.14-π
4.比较大小：（1） ;（2） 4.
＞
﹤
6.计算
（1）
（2）
（3）
=4
通过这节课的学习，你有什么收获？你还有什么疑惑的地方？
(2)混合运算中注意两点:一是运算顺序;二是灵活运用运算律简化计算.
(1)实数的加、减、乘、除、乘方和开方运算:特别注意两个转化:
①减法变加法:减去一个数等于加上这个数的相
反数,即:a-b=a+(-b);
②除法变乘法:除以一个不等于0的数等于乘以这
个数的倒数,即a÷b=a×
课堂小结
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