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17.2 勾股定理的逆定理
第十七章 勾股定理
第1课时 勾股定理的逆定理
B
C
A
1.勾股定理的内容是什么
如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.
b
c
a
2.求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长：
① a＝3，b＝4
② a＝2.5，b＝6
③ a＝4，b＝7.5
c=5
c=6.5
c=8.5
3.分别以上述a、b、c为边的三角形的形状会是什么样的呢？
创设情境 温故探新
勾股定理的逆定理
一
具体做法：把一根绳子打上等距离的13个结，然后把第1个结和第13个结用木桩钉在一起，再分别用木桩把第４个结和第８个结钉牢（拉直绳子）。这时构成了一个三角形，其中有一个角是直角.
动手验证
合作交流探究新知
画图验证
（特别说明，上面画出的三角形都是用几何画板按比例画的，结果也都是直角三角形）.
发现结论
2.52+62=6.52
42+7.52=8.52
最长边6.5所对的角是直角
最长边8.5所对的角是直角
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（13）
（12）
（11）
（10）
（9）
古埃及人和我国古代大禹治水时也就是用这种类似方法确定直角.
如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
猜 想:
△ABC≌ △ A′B′C′
？
∠C是直角
△ABC是直角三角形
A
B
C
a
b
c
已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．
求证：△ABC是直角三角形．
构造两直角边分别为a,b的Rt△A′B′C′
验证:
证明：作Rt△A′B′C′，
使∠C′=900，A′C′=b，B′C′=a
∴△ABC≌ △A′B′C′(SSS)
∴∠C= ∠C′=900 即△ABC是直角三角形.
则
A
C
a
B
b
c
勾股定理的逆定理
归纳总结
如果三角形的三边长a 、b 、c满足
a2+b2=c2
那么这个三角形是直角三角形.
A
C
B
a
b
c
勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对角为直角.
特别说明：
例1 下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？
(1) a=25 b=20 c=15;
解：因为152+202=625，252=625，所以152+202=252，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且∠A是直角.
(2) a=13 b=14 c=15;
解：因为132+142=365，152=225，所以132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，所以这个三角形不是直角三角形.
范例研讨运用新知
(3) a=1 b=2 c= ;
(4) a:b: c=3:4:5;
解：设a=3k,b=4k,c=5k,因为
(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2,
所以(3k)2+(4k)2=(5k)2,根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，∠C是直角.
根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.
归纳
勾股数：
像15，20，25这样，能成为直角三角形三条边长的正整数，称为勾股数.
常见勾股数：
奇数类：3，4，5；5，12，13；7，24，25；
9，40，41；等等
偶数类：4，3，5；6，8，10；8，15，17；
10，24，26；等等
勾股数拓展性质：
一组勾股数，都扩大相同倍数k，得到一组新数，这组数同样是勾股数.
勾股数
二
填一填：
勾股定理 勾股定理的逆定理
内容
作用
关系
如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.
如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2
那么这个三角形是直角三角形.
是解决直角三角形中的有关计算和证明的主要依据.
是由三边数量关系判定一个三角形是否是直角三角形的依据.
互为逆命题，更是互逆定理.
1.小颖要求△ABC最长边上的高，测得AB=8,AC=6,BC=10,则可知最长边上的高是（ ）
A. 5 B. 0.48 C. 4.8 D.48
C
2.在△ABC中，∠A, ∠B, ∠C的对边分别a,b,c.
①若∠C- ∠B= ∠A,则△ABC是直角三角形；
②若c2=b2-a2,则△ABC是直角三角形,且∠C=900；
③若(c+a)(c-a)=b2,则△ABC是直角三角形;
④若∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形.
以上命题中的假命题个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
A
反馈练习巩固新知
3. 一根24m的绳子，折成三边长为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为 ，此三角形的形状为
.
6m,8cm,10cm
直角三角形
4. 命题：对顶角相等，其逆命题是： .
相等的角是对顶角
5.如图，AB=5,AC=3,BC边上的中线AD=2,求△ABC的面积.
解：延长AD并在截取DE=AD,
即△ABC的面积是6.
E
勾股定理
的逆定理
内容
作用
从三边数量关系判定一个三角形是
否是直角形三角形.
如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
注意
最长边不一定是c， ∠C也不一定是直角.
勾股数一定是正整数
课堂小结
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2 勾股定理的逆定理导学案
学习目标
1、了解勾股定理的逆定理的证明方法和过程；
2、理解互逆命题、互逆定理、勾股数的概念及互逆命题之间的关系；
3、能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形.
重点：勾股定理的逆定理.
难点：勾股定理的逆定理的证明.
学习过程
一、自学导航
1、勾股定理：直角三角形的两条_________的平方____等于______的_______，即___________.
2、填空题
（1）在Rt△ABC，∠C=90°，8， （第1题）
15，则 .
（2）在Rt△ABC，∠B=90°，3，4，则 .（如图）
3、直角三角形的性质
（1）有一个角是 ；（2）两个锐角 ，
（3）两直角边的平方和等于斜边的平方：
（4）在含30°角的直角三角形中，30°的角所对的 边是 边的一半．
二、合作交流
1、怎样判定一个三角形是直角三角形？
2、下面的三组数分别是一个三角形的三边长a.b.c
5、12、13 7、24、25 8、15、17
（1）这三组数满足吗？
（2）分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
猜想命题2：如果三角形的三边长、、，满足，那么这个三角形是 三角形
问题二：命题1：
命题2：
命题1和命题2的 和 正好相反，把像这样的两个命题叫做 命题，如果把其中一个叫做 ，那么另一个叫做
由此得到
勾股定理逆定理：
命题2：如果三角形的三边长、、满足，那么这个三角形是直角三角形.
已知：在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，且
求证：∠C=90°
思路：构造法——构造一个直角三角形，使它与原三角形全等，
利用对应角相等来证明．
证明：
三、展示提升
1、判断由线段、、组成的三角形是不是直角三角形：
（1）； （2）．
2、说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题成立吗
（1）两条直线平行，内错角相等．
（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等．
（3）全等三角形的对应角相等．
（4）在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
四、达标测试
1.木工师傅做一个长方形课桌，测得课桌的长为60cm，宽为32cm，对角线为68cm，这个课桌______（填“合格”或“不合格”）.
2.A、B、C三地的两两距离如图1-2-3所示，A地在B地的正西方向，则C地在B地的________方向.
3.如果线段a、b、c满足a2=（c+b）（c-b），则这三条线段组成的三角形是（ ）.
A.直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定
4.一个三角形的三边分别为15,20,25，那么它的最长边上的高为（ ）.
A.9 B.12 C.12.5 D.不能确定
5.如图1-2-4，正方形网格中的△ABC，若小方格的边长为1，则△ABC是（ ）.
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上答案都不对
6.如1-2-5图，明明散步从A到B走了41米，从B到C走了40米，从A到C走了9米，则△ABC是（ ）.
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定
7.断一断：设三角形的三边分别等于下列各组数：①7，8，10 ②7，24，25 ③12，35，37 ④13，11，10
（1）请判断哪组数所代表的三角形是直角三角形，为什么？
（2）把你判断是直角三角形的哪组数，作出它所表示的三角形，并用量角器来进行验证.
8.在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？
参考答案
合格 2.正北 3.A 4.B 5.A 6.B
7.解：（1）②③，理由是：②因为72+242=252，所以②是直角三角形；③因为122+352=372，所以③是直角三角形；
（2）
经测量验证，②③都是直角三角
8.解：甲船航行的距离为BM=8×2=16（海里），乙船航行的距离为BP=15×2=30（海里）.因为162+302=1156，MP2=342=1156，所以BM2+BP2=MP2，所以△MBP为直角三角形，所以∠MBP=90°，所以乙船是沿南偏东30°方向航行的.
A
B
C
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