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2022一2023学年第一学期期末学业水平检测
高二理科数学试题（必修3、选修2-1)
2023年01月
本试题卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（填空题和解答题两部分）.考生作答时，
将第I卷的选择题答案填涂在答题卷的答题卡上（答题注意事项见答题卡），将第Ⅱ卷的
填空题和解答题答在答题卷上，考试结束后，将答题卷交回。
第I卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的，
1.下列四个命题为真命题的是
A.“若a+b=0,则a,b互为相反数”的逆命题
B.“全等三角形的面积相等”的否命题
C.“若C≤1，则x2+2X+c=0无实根”的逆否命题
D.“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题
2.己知x,y∈R,则“lnx=lny”是“x=y”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.焦点在×轴上的椭圆父+上=1的焦距为4，则m的值等于
m 4
高二理科数学第1页共8页
A.5
B.8
C.5或3
D.5或8
4.执行右图所示的程序框图，若输入的x为一4，则输出y的值为
开始
A.0.5
输入x
x=x-3
B.1
<≤3
否
是
y=2
C.2
输出y
D.4
结束
5.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=4x的焦点为F,点P(m,一4)在
抛物线上，则PF的长为
A.2
B.3
C.4
D.5
6.十二律为我国古代汉族的乐律学名词，是古代的定音方法，分为“黄钟、
太簇、姑洗、蕤宾、夷则、无射”六种阳律以及“大吕、夹钟、中吕、林
钟、南吕、应钟”六种阴律.现从“太簇、蕤宾、夷则、大吕、中吕、应钟”
六种音律中任选两种，则至少有一种来自阴律的概率为
B.2
15
5
.5
D11
15
x2 V
7.已知圆C:X+y-10y+21=0与双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线相
切，则该双曲线的离心率是
A.2
5
B.
3
C.
5-2
D.√5
高二理科数学第2页共8页
8.如图，在三棱锥O-ABC中，D是BC的中点，若OA=a,OB=b
OC=c,则AD等于
1.1
A.-a+b+c
B.-a+b+c
D.-a-
.1
C.-a+b-c
2
9.某小组做“用频率估计概率”的试验时，绘出的某一结果出现的频率折线
图，则符合这一结果的试验可能是
十频率
0.4
0.3
0.2
0.1
0
100200
300次数
A.抛一枚硬币，出现正面朝上
B.掷一个正方体的骰子，出现3点朝上
C.一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
D.从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球
10.我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1,2，，9
填入3×3的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15（如图）.
一般地，将连续的正整数1,2,3，，n2填入n×n的方格内，使得每行、
每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方.记阶幻方
的一条对角线上数的和为Nn(如：在3阶幻方中，N3=15),则N1。=
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2022—2023 学年第一学期期末学业水平检测
高二理科数学试题参考答案及评分标准 （必修 3、选修 2-1）
2023 年 01月
一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A A B C D C C B D B C A
二、填空题：本大题共 4个小题，每小题 5分，共 20分.
2 3 √
13． 60 ; 14. 4 ; 15. m ; 16． .
3
三、解答题: 本大题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分 10 分)
2025 年内蒙古赤峰市将实行新高考 “ 3 1 2 ”模式，即语文、数学、英
语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二 .共选六科参
加高考 .其中偏理方向是二选一时选物理，偏文方向是二选一时选历史，对
后四科选择没有限定 .
（Ⅰ）学生甲随机选课，求他选择偏理方向及生物学科的概率；
高二理科数学 第 1 页 共 8 页
（Ⅱ）学生甲、学生乙同时随机选课，约定选择偏理方向及生物学科，
求他们选课相同的概率 .
解: （Ⅰ）由题意知,选六科参加高考有偏理方向：（物,政,地）、（物,政,化）、（物,
政,生）、（物,地,化）、（物,地,生）、（物,化,生）六种选择；------------------ 2分
偏文方向有：（史,政,地）、（史,政,化）、（史,政,生）、（史,地,化）、（史,地,生）、（史,
化,生）六种选择. ------------------------------------------------ 4分
由以上可知共有 12 种选课模式.
3 1
学生甲选择偏理方向又选择生物的概率为P . ------------------ 5分
12 4
（Ⅱ）学生甲选择偏理且有生物学科的可能有：（物,政,生）、（物,地,生）、（物,化,
生）三种选择, --------------------------------------- 6分
同样学生乙也是三种选择；（物,政,生）、（物,地,生）、（物,化,生）----- 7分
两人选课模式有：
[（物,政,生）,（物,政,生）]、[（物,政,生）,（物,地,生）]、[（物,政,生）,（物,化,生）]、
[（物,地,生）,（物,政,生）]、[（物,地,生）,（物,地,生）]、[（物,地,生）,（物,化,生）]、
[（物,化,生）,（物,政,生）]、[（物,化, 生）,（物,地,生）]、[（物,化,生）,（物,化,生）].
由以上可知共有 9 种选课法,两人选课相同有三种, ------------------ 9分
3 1
所以两人选课相同的概率P . ------------------------------ 10分
9 3
18. (本小题满分 12 分)
命题 p：曲线 x2 y2 2mx 2my 8 0表示一个圆；命题 q：指数函数
f (x) (2m 1)x在定义域内为单调递增函数．
高二理科数学 第 2 页 共 8 页
（Ⅰ）若 p 为假命题，求实数 m 的取值范围；
（Ⅱ）若 p q 为真， p q 为假，求实数 m 的取值范围 .
解：（Ⅰ）方程 x2 y2 2mx 2my 8 0
即为 (x m)2 (y m)2 2m2 8 -----------------------------2 分
由 p 为假命题，知 p 为真命题，则 2m2 8 0 ， ---------------3 分
解得m 2或m 2 ， -----------------------------4 分
则 m 的取值范围是 ( , 2) (2， )．------------------------- 5 分
（Ⅱ） 由（Ⅰ）可知，p 为真命题是 m 范围为：m 2或m 2 ，
当 q 为真命题时， 2m 1 1，解得m 1， ------------------------6 分
由 p q 为真， p q 为假，则 p，q 中有且仅有一个为真命题． ------7 分
当 p 为真，q 为假时 m 的范围为：m 2 ， -----------------------9 分
当 p 为假，q 为真时 m 的范围为：1 m 2 ，----------------------11 分
综上：m 的取值范围是 ( , 2) (1,2]． ------------------------12 分
19. (本小题满分 12 分)
如图所示，已知直三棱柱 ABC A1B1C1，CA CB 1，AC CB，AA1 2，M 、
N 分别是所在棱上的中点．
（Ⅰ）求证： A1B C1M ；
高二理科数学 第 3 页 共 8 页
（Ⅱ）求异面直线 BN 、CB1 所成的角的余弦值 .
解：（Ⅰ）如图，以点 C 作为坐标原点 O，CA，CB，CC1所在直线分别为 x 轴，
y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系. -------------1 分
1 1
由题意得 C1(0，0，2)，M ( , , 2)， -------2分
2 2
→ → 1 1
∴ 1 ＝(－1，1，－2)， 1 ＝ ( , ,0) ----4分
2 2
→ → 1 1
∴ 1 · 1 ＝－ ＋ ＋0＝0， -------5分2 2
即 A1B C1M -------------------6分
（Ⅱ）由题意得 B(0，1，0)， N 1,0,1 ，-----7分
→
∴ 1 ＝(0，1，2)，BN 1, 1,1 -------9分
1 2 15
∴ cos BN ,CB1 ，-------------------11分
5 3 15
15
故所求异面直线BN 、CB1 所成的角的余弦值 . -------12分
15
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20. (本小题满分 12 分)
给出下列条件：①焦点在 x 轴上；②焦点在 y 轴上；③抛物线上横坐标
为 1的点 A 到其焦点 F 的距离等于 2 ；④抛物线的准线方程是 x 2．
（Ⅰ）对于顶点在原点 O的抛物线 C ：从以上四个条件中选出两个适当
的条件，使得抛物线 C 的方程是 y2 4x ，并说明理由；
（Ⅱ）过点 (4,0)的任意一条直线 l 与 C : y2 4x 交于 A ， B 不同两点，试
探究是否总有 OA OB？请说明理由．
解：（Ⅰ）因为抛物线C : y2 4x 的焦点F(1,0)在 x 轴上，
所以条件①适合，条件②不适合．----------------------------2 分
2
又因为抛物线C : y 4x 的准线方程为 x 1，
所以条件④不适合题意．------------------------------------4 分
当选择条件③时， | AF | x ，此时适合题意．-----5 分 A 1 1 1 2
2
故选择条件①③时，可得抛物线C 的方程是 y 4x ．----------6 分
（Ⅱ）假设总有OA OB，由题意得直线 l 的斜率不为0 ，
设直线 l 的方程为 x ty 4，-------------------------------7 分
设 A(x , x )，1 1 B(x2, x ) ， 2
y2 4x
联立方程组 ，
x ty 4
2
消去 x ，整理得 y 4ty 16 0，--------------------------8 分
高二理科数学 第 5 页 共 8 页
所以 Δ 0 恒成立， y y 4t ， y y 16，-------------9 分 1 2 1 2
2 2 2
则 x1x2 (ty1 4)(ty2 4) t y1y2 4t(y1 y2 ) 16 16t 16t 16 16 ，
--------------------------10 分
所以OA OB x1x2 y1y2 16 16 0 ，
所以OA OB， -----------------------------------------11 分
综上所述，无论 l 如何变化，总有OA OB． ------------------12 分
21. (本小题满分 12 分)
如图，四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形，SD⊥平面 ABCD，SD＝2，AD＝ 2 ，点 E
是线段 SD 上的点，且 DE＝a（ 0 a≤ 2 ）.
（Ⅰ）求证：对任意的 0 a≤ 2 ，都有 AC BE ；
（Ⅱ）设二面角 C-AE-D 的大小为 ，直线 BE 与平面 ACE 所成角为 ，当 a 1时，
cos
求 的值．
sin
证明：（Ⅰ）连接 BD，由 ABCD 是正方形，可得 AC BD，---------- 1 分
又 SD 平面 ABCD．则 AC SD，又 SD BD D ，---------- 3 分
所以 AC 面 SBD，又 BE 在面 SBD 内， ----------------------- 4 分
高二理科数学 第 6 页 共 8 页
所以 AC BE ． ------------------------------------------- 5 分
（Ⅱ） 以 D 为原点，DA ，DC ，DS 的方向为正方向建立空间直角坐标系 D-xyz，
则 D（0，0，0），E(0，0，1)，A（ 2 ，0，0），C（0， 2 ，0），B（ 2， 2，0）
--------------------- 6 分
则CA ( 2， 2，0) ，CE (0， 2，1)
----------- 7 分
设面 CAE 的法向量为 m=（x，y，z），
2x 2y 0，
则
2y z 0，
设 x 1，y 1，z 2 ，取 m (1，1， 2) ，
--------------------- 8 分
又由CD 平面 ADE ，
所以 DC (0， 2，0)可作为面 ADE 的一个法向量，
2 1
所以， cos ． -------------------------------------- 10 分
2 2 2
面 CAE 的法向量 m (1，1， 2) ， EB ( 2， 2， 1)．
2 10
sin ， -------------------------------------- 11 分
2 5 10
cos 10
则 ． --------------------------------- 12 分
sin 2
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22.(本小题满分 12分)
2 2
x y
如图，在平面直角坐标系 xoy 中，已知椭圆 C ： 1 (a b 0) 的
2 2
a b
1
离心率 e , 左顶点为 A(-2,0)，过点 A 作斜率为 k(k≠0)的直线 l 交椭圆 C 于
2
点 D ，交 y 轴于点 E .
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）已知 P 为 AD 的中点，是否存在定点 Q ，对于任意的 k(k 0)都
有 OP EQ，若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在说明理由；
+
(Ⅲ )若过 O 点作直线 l 的平行线交椭圆 C 于点 M ，求 的最小
值 .
2 2
x y 1
解（：Ⅰ）因为椭圆 C： 1（a b 0）的离心率e , 左顶点为 A(-2,0)，
2 2
a b 2
所以a 2， --------------------- 1 分
1
又e ，
2
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所以c 1，可得b2 a2 c2 3， ------------------ 2 分
2 2
x y
所以椭圆 C 的标准方程为 1 . ------------------ 3 分
4 3
(Ⅱ)直线 l 的方程为 y k(x 2)，
x2 y2
1
由 4 3
y k(x 2)
消元整理可得： (x 2) (4k 2 3)x 8k
2 6 0 ------------ 4 分
28k 6
所以 x 2， x ， ---------------------- 5 分
1 2 2
4k 3
2 28k 6 8k 6 12k
当 x 时， y k( 2) ，
2 2 2
4k 3 4k 3 4k 3
28k 6 12k
所以 D( , )， --------------------- 6 分
2 2
4k 3 4k 3
28k 6k
因为点 P 为 AD 的中点，所以 P 点坐标为 ( , )，
2 2
4k 3 4k 3
3
则 k (k 0)OP ， ---------------------------- 7 分
4k
直线 l 的方程为 y k(x 2)，令 x 0，得 E 点坐标为 (0,2k) ,
假设存在定点Q(m,n)(m 0)使得OP EQ ，
3 n 2k
则k k 1，即 ( ) 1恒成立，
OP EQ
4k m
所以 (4m 6)k 3n 0， ----------------------------- 8 分
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3
4m 6 0 m
所以 ，即 2 ，
3n 0
n 0
3
所以定点Q的坐标为 ( , 0) . ----------------------- 9 分
2
(Ⅲ ) 因为OM / /l ，所以OM 的方程可设为 y kx ，
2 2
x y
与 1联立
4 3
2 3
可得M 点的横坐标为 x ， ------------------ 10 分
2
4k 3
AD AE x x x x 2
由OM / /l 可得： D A E A
x 2x
D A 4k 9 =
OM x x 2
M M 3 4k 3
1
2
6
( 4k 3 )≥2 2 ---- 11 分
2
3 4k 3
6 3
当且仅当 24k 3 ，即k 时取等号，
2
4k 3 2
3 AD AE
所以当k 时， 的最小值为2 2 . ---------- 12 分
2 OM
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