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2022—2023 学年第一学期期末学业水平检测
高一数学试题 （2019 人教 A 版必修 1）
2023 年 01月
本试卷共 8 页，22 小题，满分 150 分.考试用时 120 分钟.
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座
位号填写在答题卡上.用 2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横
贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案
信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区
域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔
和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
2
1.设集合 M={x |x +x=0}， N {x | x 1 0}，则 M N
A. {0} B. { 1} C. {0, 1} D. { 1,0,1}
2
x ， x≤ 0，
2．已知函数 f(x)＝ 2 则下列结论中正确的是
－ x ， x>0，
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A． f(－ 6)＝－ 36 B．若 f(a )＝ 9，则 a＝ ±3
C． f(x)是偶函数 D． f(x)在 R 上单调递减
4 x2
3．函数 y 定义域是
x2 2x 3
A． 2, 1 2,3 B． 2, 1 2,3
C． 2, 1 D． 2, 1
4 . 若命题 p : x R, x2 2x 1 0 , 则命题 p 的否定为
A . x R, x2 2x 1 0 B . x R, x2 2x 1 0
C . x R, x2 2x 1 0 2 D . x R, x 2x 1 0
5．若 a,b,c R，则下列命题正确的是
3 3 2 2
A．若 a>b，则 a >b B．若 a>b，则 ac >bc
1 1
C．若 a>b，则 D．若 a>b， c d ，则 a c>bd
a b
6. 下列命题中，是真命题的是
2
A. x R， x0 0 B. s 0 ， t 1是 s t 0的充分不必要条件 0
k 2 2
C. k N ， 2 k D. a b 0的充要条件是 a b2
7. 十六 十七世纪之交，天文 航海 工程 贸易以及军事快速发展，对大数
的运算提出了更高的要求，改进数字计算方法成了当务之急，英格兰数学
家纳皮尔（ J .Napier，1550-1617）在研究天文学的过程中，经过对运算体系
的多年研究，最终找到了简化大数运算的有效工具，于 1614 年出版了《奇
妙的对数定律说明书》标志着对数的诞生 .对数的思想方法，即把乘法运算
高一数学 第 2 页 共 8 页
转化为加法，在今天仍然具有生命力 .以下几组自变量 x 与函数值 y 的部分
对应关系中，最接近对数函数上述作用的函数是
x 2 4 6 8 x 2 3 6 12
y 1.5 3 4.5 6 y 2.5 4 10 25
A B
x 5 10 15 20 x 5 10 50 100
y 3 4.2 12.9 38.7 y 3 4.3 7.3 8.6
C D
8. 著名数学家华罗庚先生曾说 :“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形
结合百般好，隔裂分家万事休”. 数学的学习和研究中，经常用函数的图象
xsin x
研究函数的性质 . 已知函数 f (x) ，则 f(x )的图象可能为
2 cos x
A B C D
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选
项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错
的得 0 分．
9. 下列说法中，正确的有
2 b a
A. 若 a b 0，则 a b >b B. 若 a b 0，则
a b
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1
C. 若 x ∈ (0, +∞)， x m恒成立，则实数 m 的最大值为 2
x
1 1
D. 若 a 0， b 0， a b 1，则 的最小值为 4
a b
10. 下列说法正确的是
A. “对任意一个无理数 x， x2 也是无理数”是真命题
B. “ xy 0 ”是“ x y 0 ”的充要条件
C. 命题“ x R ， x2 1 0 ”的否定是“ x R ， x2 1 0 ”
D. 若“ 1 x 3”的一个必要不充分条件是“ m 2 x m 2 ”，则实数
m 的取值范围是 [1, 3]
11.下列函数中，既是偶函数又在区间 (0,+ ∞)上单调递增的是
1 2 1
A. y
x
B. y lg |x | C. y x D. y ( )
x 2
12. 如图，摩天轮的半径为 40 米，点 O 距地面的高度为 50 米，摩天轮按
逆时针方向做匀速转动，每 30 分钟转一圈，摩天轮上点 P 的起始位置在最
低点处，下面的有关结论正确的有
A. 经过 15 分钟，点 P 首次到达最高点
B. 从第 10 分钟到第 20 分钟摩天轮上的
点 P 距离地面的高度一直在升高
C. 若摩天轮转速减半，则其旋转一圈所需
1
要的时间变为原来的 倍
2
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D. 在摩天轮转动的一圈内，有 10 分钟的时间点 P 距离地面超过 70 m
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
1 1
13．幂函数 y f (x)的图象经过点（ 2, ），则 f ( )的值为 .
4 4
2
14. 不等式 ax +x+1>0 的解集为（m， 1），则 m+a= .
15. 已知集合 A {1,2}， B {(x, y) | x A, y A, x y A}，则集合 B 中所含元素
的个数为 .
16. 学校食堂一年购买大米 600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万元 /次，一
年的总存储费用为 4x 万元 . 要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则
x 的值是 .
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤．
17. (本小题满分 10 分)
已知集合 A＝ {2﹣ a≤ x≤ 2+a}，B＝ {x≤ 1 或 x≥ 4}，全集合 R．
(Ⅰ )当 a＝ 3 时，求 A∩B；
(Ⅱ )若 a＞ 0，A∩（ RB）＝A，求实数 a 的取值范围．
18. (本小题满分 12 分)
解下列不等式：
2
(Ⅰ ) 2x 5x 3 0 2 (Ⅱ ) 3x 6x 2
x 5 1
（Ⅲ） （Ⅳ）(x-1)(x-2) < x(2x-5) + 3
x 3 2
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19. (本小题满分 12 分)
已知函数 ＝ x＋ xf(x) log 2(4 a·2 ＋ a＋ 1)， x∈R .
(Ⅰ )若 a＝ 1，求方程 f(x)＝ 3 的解集；
(Ⅱ )若方程 f(x )＝ x 有两个不同的实数根，求实数 a 的取值范围．
20. (本小题满分 12 分）
党的二十大大报告明确要求：我们要构建高水平社会主义市场经济体制，
坚持和完善社会主义基本经济制度，毫不动摇巩固和发展公有制经济，毫
不动摇鼓励、支持、引导非公有制经济发展，充分发挥市场在资源配置中
的决定性作用，更好发挥政府作用。这为我们深入推进非公有制企业改革
发展指明了方向，提供了根本遵循。某非公有制企业抓住机遇推进生产改
革，从单一产品转为生产 A、 B 两种产品，根据市场调查与市场预测， A 产
品的利润与投资成正比，其关系如图（ 1）；B 产品的利润与投资的算术平方
根成正比，其关系如图（ 2）（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位
为万元）
图 1 图 2
(Ⅰ)分别求出 A、 B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
(Ⅱ )该企业已筹集到 10 万元资金，并全部投入 A、 B 两种产品的生产，
问：怎样分配这 10 万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？
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21. (本小题满分 12 分)
2
已知函数 f x x 4x a 3， a R .
（Ⅰ）若函数 y f x 的图像与 x轴无交点，求a的取值范围；
f (x) 3
（Ⅱ）若函数 y 在区间 2， 上是增函数，利用函数的单调性定义求实
x
数a的取值范围；
（Ⅲ）设函数 g x bx 5 2b，b R，当 a 0时若对任意的 x1 1,4 ，总
存在 x2 1, 4 ，使得 f x1 g x2 ，求b 的取值范围．
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22.(本小题满分 12分)
我们知道，函数 y＝ f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条
件是函数 y＝ f(x )为奇函数．有同学发现可以将其推广为如下结论：函数 y
＝ f(x )的图象关于点 P(a， b)成中心对称图形的充要条件是函数 y＝ f(x＋ a)
－ b 为奇函数．已知该结论是真命题．
3 2
(Ⅰ )求函数 h (x)＝ x － 6x 图象的对称中心；
(Ⅱ )还有同学提出了如下两个命题：
命题① 已知函数 y＝ f(x )的定义域为 R，如果函数 y＝ f(x＋ 1)为偶函数，
那么函数 y＝ f(x )的图象关于直线 x＝ 1 成轴对称图形；
命题② 已知函数 y＝ f(x)的定义域为 R，如果函数 y＝ f(x )的图象关于
直线 x＝ 1 成轴对称图形，那么函数 y＝ f(x＋ 1)为偶函数；
请你在这两个命题中选择一个，判断它是否是真命题，并给出理由．(若
两个都选，则只对你选的第一个评分 )
高一数学 第 8 页 共 8 页按秘密级事项管理★启用前
2022—2023 学年第一学期期末学业水平检测
高一数学试题参考答案及评分标准（ 2019人教A版必修 1）
2023 年 01月
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A D C D A B D A ACD CD BC AD
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
5
13． 16 ; 14. - ; 15. 1 ; 16. 30 .
2
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. (本小题满分 10 分)
已知集合 A＝ {2﹣ a≤ x≤ 2+a}，B＝ {x≤ 1 或 x≥ 4}，全集合 R．
(Ⅰ )当 a＝ 3 时，求 A∩B；
(Ⅱ )若 a＞ 0，A∩（ RB）＝A，求实数 a 的取值范围．
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解：(Ⅰ )a＝3 时，A＝[﹣1，5]， -------------------------------2分
A∩B＝[﹣1，1]∪[4，5]， ------------------------------4 分
(Ⅱ ) RB＝（1，4）， -------------------------------------5 分
∵A∩（ RB）＝A，
∴A RB --------------------------------------6分
又∵a＞0，
∴A≠ ， --------------------------------- 7分
∴1＜ 2﹣ a≤ 2+a＜ 4， ------------------------------8分
解得，0＜ a ＜ 1， -------------------------------9分
故实数 a 的取值范围为（0，1）．---------------------------10分
18. (本小题满分 12 分)
解下列不等式：
2x2 (Ⅰ ) 5x 3 0
2
(Ⅱ ) 3x 6x 2
x 5 1
（Ⅲ）
x 3 2
（Ⅳ）(x-1)(x-2) < x(2x-5) + 3
解：(Ⅰ)方法一（因式分解法）因为2x2 5x 3 (2x 1)(x 3) ，----------1分
1
所以原不等式可化为 (2x 1)(x 3) 0，解得 3 x ，----------2分
2
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1
所以原不等式的解集为 3, ． -------------------------3分
2
2 5 3
方法二（配方法）原不等式化为 x x 0 ，
2 2
2
2 5 3 5 49 因为 x x x ，
2 2 4 16
2
5 49
所以原不等式可化为 x 0 ， -------------------1分
4 16
2
5 49
即 x ，
4 16
5 7
两边开平方，得 x ， --------------------------2分
4 4
7 5 7 1
即 x ，所以-3 < x < ．
4 4 4 2
1
所以原不等式的解集为 3, ． -----------------------3分
2
2
(Ⅱ ) 原不等式化为 x
2 2x 0 ，
3
2 2 2 1
因为 x 2x (x 1) ，
3 3
2 1
所以原不等式可化为 (x 1) 0 ，-----------------------1分
3
2 1 3
即 (x 1) ．两边开平方，得 | x 1 | , ----------------2分
3 3
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3 3
即 x 1 或 x 1 ．
3 3
3 3
所以原不等式的解集为 ,1 1 , ．---------3分
3 3
x 5 1
（Ⅲ） ∵
x 3 2
+5 _ 1
∴ ≤ 0 -------------------------1分
3 2
2 +10 +3
∴ ≤ 0
2( 3)
+13
∴ ≤ 0 ----------------------------------- 2分
3
∴ x ∈ -------------------------3分 13,3
（Ⅳ） ∵ (x-1)(x-2) < x(2x-5) + 3
2
∴ x -3x+2 < 2 x 2-5x+3 ------------------------1分
∴ x 2-2x+1 > 0 -------------------------2分
∴ x 1 -------------------------3分
19. (本小题满分 12 分)
已知函数 ＝ x xf(x) log 2(4 ＋ a·2 ＋ a＋ 1)， x∈R .
(Ⅰ )若 a＝ 1，求方程 f(x)＝ 3 的解集；
(Ⅱ )若方程 f(x )＝ x 有两个不同的实数根，求实数 a 的取值范围．
x x
解：(Ⅰ)当 a＝ 1 时， f(x )＝ log2 (4 ＋ 2 ＋ 2)， -----------------------1分
x x 3
由 f(x)＝ 3，得 4 ＋ 2 ＋ 2＝ 2 ， -------------------------2分
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x x
所以 4 ＋ 2 － 6＝ 0， -------------------------3分
x x
因此 (2 ＋ 3)(2 － 2)＝ 0，解得 x＝ 1. ------------------------4分
所以方程 f(x )＝ 3 的解集为 {1}． ------------------------5分
(Ⅱ )因为方程 xlog2 (4 ＋
x
a·2 ＋ a＋ 1)＝ x 有两个不同的实数根，
x x x
即 4 ＋ a·2 ＋ a＋ 1＝ 2 有两个不同的实数根． --------------6分
x
设 t＝ 2 ， t>0， -------------------------7分
2
则 t ＋ (a－ 1) t＋ a＋ 1＝ 0 在 (0，＋∞ )上有两个不同的解， ---8分
令 2g( t)＝ t ＋ (a－ 1) t＋ a＋ 1，
g（ 0） >0，
a－ 1
由已知可得 － 2 >0， ----------------10分
Δ 2＝（ a－ 1） － 4（ a＋ 1） >0，
解得－ 1
故实数 a 的取值范围为 (－ 1， 3－ 2 3)． ------------------12分
20. (本小题满分 12 分）
党的二十大大报告明确要求：我们要构建高水平社会主义市场经济体制，
坚持和完善社会主义基本经济制度，毫不动摇巩固和发展公有制经济，毫
不动摇鼓励、支持、引导非公有制经济发展，充分发挥市场在资源配置中
的决定性作用，更好发挥政府作用。这为我们深入推进非公有制企业改革
发展指明了方向，提供了根本遵循。某非公有制企业抓住机遇推进生产改
革，从单一产品转为生产 A、 B 两种产品，根据市场调查与市场预测， A 产
品的利润与投资成正比，其关系如图（ 1）；B 产品的利润与投资的算术平方
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根成正比，其关系如图（ 2）（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位
为万元）
图 1 图 2
(Ⅰ)分别求出 A、 B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
(Ⅱ )该企业已筹集到 10 万元资金，并全部投入 A、 B 两种产品的生产，
问：怎样分配这 10 万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？
解：(Ⅰ)设投资为 x万元， A 产品的利润为 f (x) 万元， B 产品的利润为 g(x)万元
由题设 f (x) k1x， -------------------------1分
g(x) k x ， 2 ------------------------------------2分
1
由图知 f (1) 2，故 k1 ， -------------------------3分
2
又 g(4) 4 ， ∴k2 2 . -------------------------4分
1
从而 f (x) x(x 0)， -------------------------------5分
2
g(x) 2 x(x 0) . ------------------------------------6分
(Ⅱ )设 A 产品投入 x万元，则 B 产品投入10 x万元，--------7分
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设企业利润为 y 万元
1
y f (x) g(10 x) x 2 10 x(0 x 10) -----------9分
2
1 2
令 t 10 x ，则 y (t 2) 7(0 t 10) -----------11分
2
当 t 2时， ymax 7，此时 x 6 . ------------------------12分
21. (本小题满分 12 分)
已知函数 f x x2 4x a 3， a R .
（Ⅰ）若函数 y f x 的图像与 x轴无交点，求a的取值范围；
f (x) 3
（Ⅱ）若函数 y 在区间 2， 上是增函数，利用函数的单调性定义求实
x
数a的取值范围；
（Ⅲ）设函数 g x bx 5 2b，b R，当 a 0时若对任意的 x1 1,4 ，总
存在 x2 1, 4 ，使得 f x1 g x2 ，求b 的取值范围．
解：（Ⅰ）若函数 y f x 的图象与 x轴无关点，
则方程 f x 0的根的判别式 ， ------------------1 分
即16 4 a 3 0，解得 a 1.
故a的取值范围为 a | a 1 . --------------------2 分
a
（Ⅱ）化简得： y x 4 -----------------3 分
x
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由题意,任取 x1, x2 2, ,且 x1 x2
a a
则 f (x2 ) f (x1) x2 4 (x1 4)
x2 x1
x1x2 a
（x2 x1) 0 ---------------5 分
x1x2
∵ x 2-x 1>0, x 2x 1>4
所以a 4 -----------------6 分
所以a的取值范围 , 4 ------------------------7 分.
（Ⅲ）若对任意的 x1 1,4 ，总存在 x2 1, 4 ，使得 f x1 g x2 ，则函数
y f x 在 1,4 上的函数值的取值集合是函数 y g x 在 1,4 上的函数值的取值集
合的子集. ----------------8分
当a 0时，函数 f x x2 4x 3图象的对称轴是直线 x 2，所以 y f x
在 1,4 上的函数值的取值集合为 1,3 . -----------------9 分
①当b 0时， g x 5 ，不符合题意，舍去.
②当b 0时， g x 在 1,4 上的值域为 5 b,5 2b ，
5 b 1
只需 ，解得b 6 . -----------------10 分
5 2b 3
③当b 0时， g x 在 1,4 上的值域为 5 2b,5 b ，
高一数学 第 8 页 共 8 页
5 2b 1
只需 ，解得b 3 . -----------------11 分
5 b 3
综上，b 的取值范围为 b |b 6或 b 3 ----------------------12 分.
22.(本小题满分 12分)
我们知道，函数 y＝ f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条
件是函数 y＝ f(x )为奇函数．有同学发现可以将其推广为如下结论：函数 y
＝ f(x )的图象关于点 P(a， b)成中心对称图形的充要条件是函数 y＝ f(x＋ a)
－ b 为奇函数．已知该结论是真命题．
(Ⅰ )求函数 3 2h (x)＝ x － 6x 图象的对称中心；
(Ⅱ )还有同学提出了如下两个命题：
命题① 已知函数 y＝ f(x )的定义域为 R，如果函数 y＝ f(x＋ 1)为偶函数，
那么函数 y＝ f(x )的图象关于直线 x＝ 1 成轴对称图形；
命题② 已知函数 y＝ f(x)的定义域为 R，如果函数 y＝ f(x )的图象关于
直线 x＝ 1 成轴对称图形，那么函数 y＝ f(x＋ 1)为偶函数；
请你在这两个命题中选择一个，判断它是否是真命题，并给出理由．(若
两个都选，则只对你选的第一个评分 )
解： (Ⅰ )显然 h (x)的定义域为 R ,
3 2
假设函数 h(x)＝ x － 6x 的图像关于点 P(a , b)成中心对称图形，
因为函数 ＝ 3 2h(x) x － 6x 的图像关于点 P(a , b)成中心对称图形的充要
条件是： y= f(x+a)-b 为奇函数，
∴ y=h(x+a )-b 是奇函数， --------------------------2 分
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∴ h(x+a )-b =-[h(-x+a)-b ] ----------------------3 分
∴ h(x+a ) + h(-x+a) - 2 b=0
∴ 3 - 2 - 3 2 (x+a ) 6(x+a) + ( x+a) - 6(- x+a) - 2 b=0
2 3 2
∴ (6 a- 12) x +2 a - 12 a - 2 b=0 , x∈ R 恒成立， ----4 分
∴ a =2， b=-16 ， ------------------------------------5 分
3 2
可以证明函数 h (x)＝ x － 6x 的图像关于点 P(2, -16)成中心对称图形
3 2
函数 h(x )＝ x － 6x 的图像的中心对称中心为点 P(2, -16) . ---6 分
(Ⅱ ) 选择①
命题①是真命题， ---------------------------------------7 分
方法一：
∵ 函数 y= f(x)的定义域为 R, 函数 y= f(x+1)为偶函数，
∴ f(x+1) = f(-x+1)， -----------------------------8 分
设点 P(x， f(x))为函数 y= f(x)的图像上的任意一点，
则点 P 关于直线 x=1 的对称点为点 P'(2-x， f(x )) , --------------9 分
∵ f(2-x) = f(1+1-x) = f[(1-x)+1] = f[-(1-x)+1]= f(x),
∴ (2-x， f(2-x))就是点 P'(2-x， f(x))， -------------------10 分
∵点(2-x， f(2-x))在函数 y= f(x)的图像上，
∴ 点 P'(2-x， f(x ))也在函数 y= f(x)的图像上，---------------11 分
∵点 P(x， f(x ))为函数 y= f(x)的图像上的任意一点，
∴ 函数 y＝ f(x )的图象关于直线 x＝ 1 成轴对称图形 . ------12 分
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方法二：
∵ 函数 y= f(x)的定义域为 R, 函数 y= f(x+1)为偶函数，
∴ f(x+1) = f(-x+1)， -----------------------------8 分
∵ f(x+1) 是函数 y= f(x )的图像上的横坐标为x+1的点M的纵坐标，
f(-x+1) 是函数 y= f(x )的图像上的横坐标为-x+1的点M'的纵坐标,
∴点M和点M'的纵坐标相等，
∴直线x=1和直线 MM' 垂直，--------------------------------9分
∵ ｜(x+1)-1｜ =｜x｜ = ｜(-x+1)-1｜，
∴点M和点M'到直线 x=1 的距离相等，
∴直线x=1是线段 MM' 垂直平分线，
∴点M和点M'关于直线 x=1 对称， --------------------------10分
∵点M是函数 y= f(x)的图像上的任意一点，点M'在函数 y= f(x)的图像
上，
∴函数 y= f(x)的图像上任意一点M关于直线 x=1 对称点M'均在函
数 y= f(x)的图像上， --------------------------------------11分
∴ 函数 y＝ f(x)的图象关于直线 x＝ 1成轴对称图形 . -----12分
选择②
命题②是真命题， ------------------------------7分
已知函数y= f(x)的定义域为R,
设点P(x， f(x))为函数 y= f(x)的图像上的任意一点，
则点 P 关于直线 x=1 的对称点为点 P'(2-x， f(x )) , -------------8 分
∵ 函数 y＝ f(x )的图象关于直线 x＝ 1成轴对称图形，
∴ 点 P'(2-x， f(x ))在函数 y= f(x)的图像上， -----------------9 分
在函数 y= f(x)的图像上的横坐标为2- x的点为P''(2- x, f(2-x)),
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∴ f(x ) = f(2-x ) , -------------10 分
令 x=t+1, 则 t∈ R , 2-x=- t+1
代入 f(x) = f(2-x)得： f( t+1) = f(- t+1) -------------11 分
令 f( t+1) = g( t) , 则 g( t) = g(- t)，
∴函数 y = g ( t)是偶函数，
∴函数 y = f( t+1)是偶函数，
∴函数 y = f(x +1)是偶函数 . -----------------------12 分
【若考生给出其他解答方法，请参考给分。】
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