(共19张PPT)
第二章 相交线与平行线
平行线的性质（二）
温故知新
1. 如图2－20－1，AB∥CD，若∠DEC＝100°，∠C＝50°，则∠B的大小是( )
A． 60° B． 50°
C． 40° D． 30°
（限时3分钟）
D
2. 如图2－20－2，直线AB，CD被直线DE所截，AB∥CD，∠1＝40°，则∠D的度数为( )
A． 20°
B． 40°
C． 50°
D． 140°
B
探究新知
A. 平行线的判定综合运用：
__________________，两直线平行；
__________________，两直线平行；
__________________，两直线平行.
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
对点范例
3. 如图2－20－3，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，下列能判定DE∥AC的条件是( )
A. ∠1＝∠3
B. ∠3＝∠C
C. ∠2＝∠4
D. ∠1＋∠2＝180°
B
探究新知
B. 平行线的性质综合运用：
________________，同位角相等;
__________________，内错角相等;
__________________，同旁内角互补.
两直线平行
两直线平行
两直线平行
对点范例
4. 如图2－20－4，若l1∥l2，l3∥l4，若∠1＝116°，则∠2的度数为( )
A. 64° B. 84°
C. 94° D. 116°
A
课本母题
【例1】（课本P54第4题改编） 如图2－20－5，AC∥ED，∠A＝∠DFC，∠A＝64°，求∠EDF的度数.
知识点1：平行线的判定与性质综合运用
解：因为AC∥ED，
所以∠BED＝∠A＝64°
(两直线平行，同位角相等).
因为∠A＝∠DFC，
所以AB∥FD(同位角相等，两直线平行).
所以∠EDF＝∠BED＝64°(两直线平行，内错角相等).
思路点拨：根据平行线的判定与性质解答即可.
【例2】（课本改编）如图2－20－7，E是AB上一点，F是CD上一点，DE，BF分别交AC于点G，H，∠B＝∠D，∠1＋∠2＝180°，探索∠A与∠C的数量关系，并说明理由.
解：∠A＝∠C.理由如下.
因为∠1＝∠DGC，∠1＋∠2＝180°，
所以∠DGC＋∠2＝180°.
所以BF∥DE(同旁内角互补，两直线平行).
所以∠D＝∠BFC(两直线平行，同位角相等).
因为∠B＝∠D，所以∠B＝∠BFC.
所以AB∥CD(内错角相等，两直线平行).
所以∠A＝∠C(两直线平行，内错角相等).
思路点拨：根据平行线的判定和性质解答即可.
母题变式
5. 如图2－20－6，AC∥EF，∠1＋∠3＝180°．试说明∠FAB＝∠4．
解：因为AC∥EF，
所以∠1＋∠2＝180°
（两直线平行，同旁内角互补）.
又因为∠1＋∠3＝180°，
所以∠2＝∠3.
所以FA∥CD（内错角相等，两直线平行）.
所以∠FAB＝∠4（两直线平行，同位角相等）．
6. 如图2－20－8，∠ENC＋∠CMG＝180°，AB∥CD.
(1)求证：∠2＝∠3.
(2)若∠A＝∠1＋70°，∠ACB＝42°，
求∠B的度数.
图2－20－8
(1)证明：因为∠ENC＋∠CMG＝
180°，∠CMG＝∠FMN，
所以∠ENC＋∠FMN＝180°.
所以FG∥ED(同旁内角互补，两直线平行).
所以∠2＝∠D(两直线平行，同位角相等).
因为AB∥CD，
所以∠3＝∠D(两直线平行，内错角相等).
所以∠2＝∠3.
(2)解：因为AB∥CD，
所以∠A＋∠ACD＝180°(两直线平行，同旁内角互补).
因为∠A＝∠1＋70°，∠ACB＝42°，
所以∠1＋70°＋∠1＋42°＝180°.
所以∠1＝34°.
因为AB∥CD，
所以∠B＝∠1＝34°(两直线平行，内错角相等).
【例3】如图2－20－9，AB∥CD. 求证：∠B＋∠D＝∠BED.
课本母题
知识点2：平行线的拐点问题
证明：如答图2－20－1，
过点E作EF∥AB，则∠1＝∠B
(两直线平行，内错角相等).
又因为AB∥CD，
所以EF∥CD(平行于同一条直线的两条直线平行).所以∠2＝∠D.
所以∠B＋∠D＝∠1＋∠2，即∠B＋∠D＝∠BED.
答图2－20－1
思路点拨：平行线的拐点问题一般过拐点作平行线
来解决.
母题变式
7. 如图2－20－10，已知AB∥CD，试探求∠B，∠D与∠E之间的数量关系，并说明理由.
解：∠B－∠D＝∠E.
理由如下：如答图2－20－2，
过点E作EF∥AB，则∠BEF＝∠B
(两直线平行，内错角相等).
又因为AB∥CD，
所以EF∥CD(平行于同一条直线的两条直线平行).
所以∠DEF＝∠CDE(两直线平行，内错角相等).
又因为∠BEF－∠DEF＝∠BED，
所以∠B－∠CDE＝∠BED.
答图2－20－2
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第二章 相交线与平行线
两条直线的位置关系（二）
温故知新
1. 如图2－16－1，∠1＝50°，则∠2的大小是( )
A. 50° B. 60°
C. 130° D. 150°
（限时3分钟）
C
2. 如图2－16－2，直线AB，CD相交于点O，若∠AOD减少30°，则∠BOC( )
A. 增大30°
B. 增大150°
C. 不变
D. 减少30°
D
探究新知
A. 两条直线相交成四个角，如果有一个角是________，那么称这两条直线互相________，其中的一条直线叫做另一条直线的________，它们的交点叫做________.通常用符号“________”表示两条直线互相垂直.
直角
垂直
垂线
垂足
⊥
对点范例
3. 如图2－16－3，直线AB与CD相交于点O. 下列说法不正确的是( )
A. 若∠AOC＝90°，则AB⊥CD
B. 若AB⊥CD，垂足为O，则∠BOD＝90°
C. 当∠COB＝90°，称AB与CD互相垂直
D. AB与CD相交于点O，点O为垂足
D
图2－16－3
探究新知
B. （1）平面内，过一点有且只有________与已知直线垂直；
（2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，________最短.
一条直线
垂线段
对点范例
4. 如图2－16－4，现要从学校A修建一条连接公路PQ的小路，过点A作AH⊥PQ于点H，此时小路AH最短，理由是( )
A. 垂线段最短
B. 两点之间，线段最短
C. 过一点可以作无数条直线
D. 两点确定一条直线
A
图2－16－4
探究新知
C. 如图2－16－5，过点A作直线l的垂线，垂足为B，________的长度叫做点A到直线l的距离．
线段AB
对点范例
5. 下列图形中，线段PQ的长表示点P到直线MN的距离是( )
A
课本母题
【例1】（课本P43随堂练习第2题）分别找出图2－16－6中互相垂直的线段.
知识点1：垂直的定义和垂线的画法
解：①OA⊥OC，OB⊥OD；
②AC⊥BC，AC⊥CE，
AC⊥BE，CD⊥BC，CD⊥CE，
CD⊥BE，AD⊥BC，AD⊥CE，AD⊥BE.
【例2】如图2－16－8，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB.
(1)若∠1＝40°，求∠BOD的度数；
(2)如果∠1＝∠2，那么ON与CD互相
垂直吗？请说明理由.
解：(1)因为OM⊥AB，所以∠AOM＝90°.
所以∠1＋∠AOC＝90°.因为∠1＝40°，
所以∠AOC＝90°－∠1＝50°.
由对顶角相等，得∠BOD＝∠AOC＝50°.
(2)ON⊥CD.理由如下：
由(1)知∠1＋∠AOC＝90°.
因为∠1＝∠2，
所以∠2＋∠AOC＝90°，
即∠CON＝90°.所以ON⊥CD.
母题变式
6. 在如图2－16－7所示的各图中，用三角板分别过点C画线段AB的垂线．
解：如答图2－16－2．
答图2－16－2
7. 如图2－16－9，直线AB交CD相交于点O，OE⊥AB.
(1)若∠EOD＝28°，求∠AOC的度数；
(2)若∠AOC ∶∠BOC＝1∶2，
求∠EOD的度数.
解：(1)因为OE⊥AB，所以∠AOE＝90°.
因为∠EOD＝28°，
所以∠AOC＝180°－∠AOE－∠EOD＝62°.
(2)设∠AOC＝x°，则∠BOC＝2x°.
因为∠AOC＋∠BOC＝180°，
所以x°＋2x°＝180°.
解得x＝60.
所以∠AOC＝60°.
所以∠EOD＝180°－∠AOE－∠AOC＝30°.
【例3】如图2－16－10，已知OA⊥m，OB⊥m，所以OA与OB重合，其理由是( )
A. 过两点只有一条直线
B. 过一点只能作一条垂线
C. 平面内，过一点只有一条直线垂
直于已知直线
D. 垂线段最短
课本母题
知识点2：平面内，过一点有且只有一条直线与 已知直线垂直
C
母题变式
8. 如图2－16－11，建筑工人常在一根细绳上拴上一个重物，做成一个“铅锤”，挂铅锤的线总垂直于地面内的任何直线，当这条线贴近墙壁时，说明墙与地面垂直，请说出它的根据是
______________________________
______________________________．
平面内，过一点有且只有一条直
线与已知直线垂直
【例4】如图2－16－12,想在河堤两岸搭建一座桥，图中搭建方式中，最短的是________，理由是____________.
课本母题
知识点3：直线外一点与直线上各点连接的所有 线段中，垂线段最短
PN
垂线段最短
母题变式
9. 如图2－16－13，修一条路将A，B两村庄与公路MN连起来，怎样修才能使所修的公路最短？画出线路图，并说明理由．
解：如答图2－16－3，连接AB，
作BC⊥MN，垂足为C，则线段AB
和BC就是符合题意的线路图．
理由如下：
因为从A到B，线段AB最短，
从B到MN，垂线段BC最短，
所以AB＋BC最短．
答图2－16－3
【例5】如图2－16－14，P为直线l外一点，A，B，C在l上，且PB⊥l．下列说法中，正确的个数是( )
①PA，PB，PC三条线段中，PB最短；
②线段PB的长叫做点P到直线l的距离；
③线段AB是点A到PB的距离；
④线段AC的长是点A到PC的距离．
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
课本母题
知识点4：点到直线的距离
B
图2－16－14
10. 如图2－16－15，点A在直线l1上，点B，C在直线l2上，AB⊥l2，AC⊥l1，AB＝4，BC＝3，则下列说法正确的是( )
A． 点A到直线l2的距离等于4
B． 点C到直线l1的距离等于4
C． 点C到AB的距离等于4
D． 点B到AC的距离等于3
母题变式
A
图2－16－15
【例6】如图2－16－16，OA⊥OB，引射线OC(点C在∠AOB外)，若∠BOC＝α(0°＜α＜90°)，OD平分∠BOC，OE平分∠AOD.
(1)若α＝40°，请依题意补全图形，
并求∠BOE的度数；
(2)请根据∠BOC＝α，求出∠BOE
的度数(用含α的表示).
课本母题
知识点5：创新题
图2－16－16
解：(1)补全图形如答图2－16－1.
因为OD是∠BOC的平分线，
所以∠BOD＝∠BOC＝
20°.因为OA⊥OB,所以∠AOB＝90°.
所以∠AOD＝∠BOD＋∠AOB＝
20°＋90°＝110°.又因为OE是∠AOD的平分线，
所以∠DOE＝∠AOD＝55°.
所以∠BOE＝∠DOE－∠BOD＝55°－20°＝35°.
答图2－16－1
(2)同(1)可得∠BOD＝∠BOC＝α，
∠AOD＝∠BOD＋∠AOB＝α＋90°.
所以∠DOE＝∠AOD＝(α＋90°)＝
α＋45°.
所以∠BOE＝∠DOE－∠BOD＝α＋45°－α＝45°－α.
11. 如图2－16－17，OC是∠AOB的平分线.
(1)当∠AOB＝60°时，求∠AOC的度数；
(2)在(1)的条件下，过点O作OE⊥OC，求∠AOE的度数；
(3)当∠AOB＝α时，过点O作OE⊥OC，
直接写出∠AOE的度数. (用含α的
式子表示)
母题变式
解：(1)因为OC是∠AOB的平分线，
∠AOB＝60°,
所以∠AOC＝∠AOB＝30°.
(2)如答图2－16－4，因为OE⊥OC，
所以∠EOC＝90°.
又因为∠AOC＝30°，
所以当OE在OA上方时，
∠AOE＝∠EOC＋∠AOC＝120°；
当OE′在OA的下方时，∠AOE′＝∠E′OC－∠AOC＝60°.
综上所述，∠AOE的度数为120°或60°.
答图2－16－4
(3)因为OC是∠AOB的平分线，
所以∠AOC＝∠AOB＝α.
因为OE⊥OC，所以∠EOC＝90°.
同（2）可得∠AOE的度数为90°＋α或 90°－α.
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第二章 相交线与平行线
两条直线的位置关系(一)
温故知新
1. 下列各图表示A，B，C三点的位置关系，其中点C在射线AB上的是( )
（限时3分钟）
D
2. 下列各图中表示射线MN，线段PQ的是( )
B
探究新知
A.两条直线的位置关系
(1)在同一平面内，两条直线的位置关系有________和________两种；
（2）若两条直线________________，我们称这两条直线为相交线;
（3）在同一平面内，________的两条直线叫做平行线.
相交
平行
只有一个公共点
不相交
对点范例
3. 在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是( )
A. 平行 B. 相交
C. 相交或垂直 D. 相交或平行
4. 三条直线a，b，c两两相交，交点的个数是( )
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 1个或3个
D
D
探究新知
B. 对顶角
（1）定义：如图2－15－1，直线AB与CD相交于点O,∠1与∠2有公共顶点O，它们的两边互为反向延长线，具有这种位置关系
的两个角叫做对顶角；
（2）性质：对顶角________.
图2－15－1
相等
对点范例
5. 如图2－15－2，直线AB，CD相交于点O，已知∠AOD＝140°，则∠BOC的大小为( )
A. 140° B. 70°
C. 40° D. 20°
图2－15－2
A
探究新知
C. 余角和补角
（1）定义：如果两个角的和是________，那么称这两个角互为________；类似地，如果两个角的和是________，那么称这两个角互为________.
（2）性质：_________________的补角相等，_______________的余角相等.
180°
补角
90°
余角
同角或等角
同角或等角
对点范例
6. 如图2－15－3，点O在直线AB上，∠COB＝∠EOD＝90°，那么下列说法错误的是( )
A. ∠1与∠2相等
B. ∠AOE与∠2互余
C. ∠AOD与∠1互补
D. ∠AOE与∠COD互余
图2－15－3
D
课本母题
【例1】（课本改编）下列四边形中，AB不平行于CD的是( )
知识点1：两条直线的位置关系
B
母题变式
7. 下列生活实例中:①交通道口的斑马线；②天上的彩虹；③体操的纵队；④百米跑道线；⑤火车的平直铁轨线. 其中属于平行线的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
D
【例2】（课本改编）下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是( )
课本母题
知识点2：对顶角的定义
B
母题变式
8.如图2－15－4，图中的对顶角共有( )
A. 2对
B. 3对
C. 4对
D. 5对
图2－15－4
C
【例3】（课本P40第1题）如图2－15－5，直线a，b相交，∠1＝38°，求∠2，∠3，∠4的度数.
课本母题
知识点3：对顶角的性质
解：因为∠1＝38°，
所以∠2＝∠4＝180°－∠1＝
180°－38°＝142°.
由对顶角相等，得∠3＝∠1＝38°，
∠2＝∠4＝142°.
母题变式
9. 如图2－15－6，直线a，b，c两两相交，∠1＝2∠3，∠2＝86°. 求∠4的度数.
解：由对顶角相等，
得∠1＝∠2＝86°，∠3＝∠4.
因为∠1＝2∠3，
所以∠3＝∠1＝43°.
所以∠4＝∠3＝43°.
【例4】（课本改编）如果∠α＝30°16′，那么∠α的补角的度数是( )
A. 150°16′ B. 149°84′
C. 149°44′ D. 150°44′
课本母题
知识点4：余角与补角的定义
C
母题变式
10. 若∠A的余角是50°，则∠A的补角等于( )
A. 130° B. 140°
C. 120° D. 150°
B
【例5】（课本P40第3题改编）如图2－15－7，在长方形的台球桌面上，∠1＋∠3＝90°，∠2＝∠3.如果∠2＝58°，那么∠1等于多少度？∠3的补角等于多少度
课本母题
知识点5：余角与补角的性质
解：因为∠1＋∠3＝90°，
∠2＝∠3，所以∠1＋∠2＝90°，
∠3＝58°.所以∠1＝90°－
∠2＝90°－58°＝32°.
所以∠3的补角为180°－∠3＝180°－58°＝122°.
母题变式
11. 如图2－15－8，O是直线AB，CD的交点，∠AOE＝∠DOF＝90°, ∠EOF＝32°.
(1)求∠AOC的度数；
(2)求∠AOD的度数.
解：(1)因为∠DOF＝90°，
所以∠COF＝180°－∠DOF＝90°.
所以∠COE＋∠EOF＝90°.
因为∠AOE＝90°,所以∠AOC＋∠COE＝90°.
所以∠AOC＝∠EOF＝32°.
(2)因为∠AOC＝32°，
所以∠AOD＝180°－∠AOC＝148°.
课本母题
【例6】如果一个角的余角是它的补角的，求这个角的度数．
知识点6：列方程计算余(补)角
解：设这个角的度数为α，则它的余角为
90°－α，补角为180°－α．
由题意，得90°－α＝（180°－α）．
解得α＝30°．故这个角的度数为30°．
母题变式
12.设∠α，∠β的度数分别为（2n＋5）°和（65－n）°，且∠α，∠β都是∠γ的补角．
（1）求n的值；
（2）∠α与∠β能否互余，请说明理由.
解：（1）因为∠α，∠β都是∠γ的补角，
所以∠α＝∠β．
所以2n＋5＝65－n．
解得n＝20．
（2）∠α与∠β互余．理由如下：
因为n＝20，
所以∠α＝（2n＋5）°＝45°，∠β＝（65－n）°＝45°．
所以∠α＋∠β＝90°．
所以∠α与∠β互余．
课本母题
【例7】如图2－15－9，已知O为直线AB上一点，过点O向直线AB上方引三条射线OC,OD,OE，已知OC平分∠AOD，3(m－2)＝m，单项式 的系数为n， 且∠BOE＝m∠DOE，∠COE＝n×140°.
(1)求4(m－n)2－5的值；
(2)求∠BOE的度数.
知识点7：创新题
解：(1)解方程3(m－2)＝m，得m＝3.
因为单项式 的系数为，所以n＝.
所以4(m－n)2－5＝4×(3－)2－5＝20.
(2)由（1）知m＝3，n＝，
所以∠BOE＝3∠DOE，∠COE＝12×140°＝70°. 设∠DOE＝x°，则∠BOE＝3x°.
所以∠DOB＝∠DOE＋∠BOE＝4x°.
所以∠AOD＝180°－∠DOB＝180°－4x°.
因为OC平分∠AOD，
所以∠COD＝∠AOD＝90°－2x°.
因为∠COE＝∠DOE＋∠COD，
所以70°＝x°＋90°－2x°.解得x＝20.
所以∠BOE＝3x°＝60°.
母题变式
13. 如图2－15－10，已知∠AOB＝110°，∠AOC＝m∠AOD，∠COE＝n∠BOC，且3(m－2)＋4＝m＋2，单项式的系数为n.
(1)求4(m－n)－(m－n)－5的值；
(2)当∠COD∶∠COE＝3∶2时，
试求∠COD的余角的度数.
解：(1)解方程3(m－2)＋4＝m＋2，得m＝2.
因为单项式的系数为 ,
所以n＝.
所以4(m－n)－(m－n)－5
＝3(m－n)－5.
＝3×(2－)－5
＝－.
(2)由(1)可知m＝2，n＝，
所以∠AOC＝2∠AOD，∠COE＝∠BOC.
所以∠COD＝∠AOC.
所以∠COD＋∠COE＝∠AOC＋∠BOC＝
(∠AOC＋∠BOC)＝∠AOB＝55°.
设∠COD＝3x°,则∠COE＝2x°.
所以3x°＋2x°＝55°.所以x＝11.
所以∠COD＝3x°＝33°.
所以∠COD的余角的度数为90°－∠COD＝57°.
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第二章 相交线与平行线
平行线的性质（一）
温故知新
1. 如图2－19－1，下列条件中不能判定AB∥CD的是( )
A． ∠1＋∠4＝180°
B． ∠4＝∠6
C． ∠5＋∠6＝180°
D． ∠3＝∠5
（限时3分钟）
D
2. 如图2－19－2，能推断AB∥CD的是( )
A． ∠3＝∠4
B． ∠1＝∠5
C． ∠3＝∠4＋∠5
D． ∠3＝∠1＋∠2
D
探究新知
A. 两条平行直线被第三条直线所截，同位角________.
简称为:________________________________.
相等
两直线平行，同位角相等
对点范例
3. 如图2－19－3，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1＝50°，则∠2的度数是( )
A. 40° B. 50°
C. 60° D. 70°
B
探究新知
B. 两条平行直线被第三条直线所截，内错角________.
简称为:_____________________________.
相等
两直线平行，内错角相等
对点范例
4. 如图2－19－4，直线a∥b，∠1＝48°，则∠2等于( )
A. 24° B. 42°
C. 48° D. 132°
C
探究新知
C. 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角________.
简称为:_____________________________.
互补
两直线平行，同旁内角互补
对点范例
5. 如图2－19－5，直线AB∥CD，直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H，若∠2＝35°，则∠1的度数为( )
A．165° B．155°
C．145° D．135°
C
课本母题
【例1】（课本P50）如图2－19－6，一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射，此时∠1＝∠2，∠3＝∠4.
(1)∠1，∠3的大小有什么关系？
∠2与∠4呢？
(2)反射光线BC与EF也平行吗？
为什么？
知识点1：两直线平行，同位角相等
解：(1)因为AB∥DE，
所以∠1＝∠3(两直线平行，同位角相等).
因为∠1＝∠2，∠3＝∠4，
所以∠2＝∠4.
(2)BC与EF平行. 理由如下：
因为∠2＝∠4，
所以BC∥EF(同位角相等，两直线平行).
思路点拨：(1)利用两直线平行，同位角相等即可求得；(2)利用同位角相等，两直线平行即可求得.
母题变式
6. 如图2－19－7，AB∥CD，∠α＝45°，∠D＝∠C，求∠D，∠C的度数.
解：因为AB∥CD，
所以∠α＝∠D(两直线平行，同位角相等).
又因为∠α＝45°，
所以∠D＝45°.
又因为∠D＝∠C，
所以∠C＝45°.
【例2】（课本P51第3题）如图2－19－8，从一艘船上测得一个灯塔的方向是北偏西48°，那么这艘船在这个灯塔的什么方向？
课本母题
知识点2：两直线平行，内错角相等
解：如答图2－19－1，
根据两直线平行，内错角
相等可得这艘船在这个灯
塔的南偏东48°.
答图2－19－1
思路点拨：结合题意和图形可知，灯塔位于这艘船的方向与船位于灯塔的方向正好相反，根据两直线平行，内错角相等可得结论.
母题变式
7. 如图2－19－9，B岛在A岛的南偏西40°方向，C岛在A岛的南偏东15°方向，C岛在B岛的北偏东80°方向，求从C岛看A，B两岛的视角∠ACB的度数.
解：由题意，得BE∥AD，∠BAD＝40°，
∠CAD＝15°，∠EBC＝80°，
所以∠EBA＝∠BAD＝40°(两直线平行，内错角相等).
所以∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝40°＋15°＝55°.
所以∠CBA＝∠EBC－∠EBA＝80°－40°＝40°.
所以∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝180°－55°－40°＝85°.
所以从C岛看A，B两岛的视角∠ACB的度数为85°.
【例3】（课本P51第2题）如图2－19－10，AB∥CD，CD∥EF，∠1＝∠2＝60°，
∠A和∠E各是多少度？它们相等吗？
课本母题
知识点3：两直线平行，同旁内角互补
解：因为AB∥CD，
所以∠A＋∠1＝180°(两直线平行，同旁内角互补).
所以∠A＝180°－∠1＝180°－60°＝120°.
又因为CD∥EF，
所以∠E＋∠2＝180°(两直线平行，同旁内角互补).
所以∠E＝180°－∠2＝180°－60°＝120°.
所以∠A和∠E都是120°，它们相等.
思路点拨：先根据AB∥CD得出∠A的度数，再由CD∥EF求出∠E的度数，进而可得出结论.
母题变式
8. 如图2－19－11，AB∥CD，∠A＝∠C，求证：∠B＝∠D.
证明：因为AB∥CD，
所以∠A＋∠D＝180°，
∠C＋∠B＝180°(两直线平行，
同旁内角互补).
因为∠A＝∠C，
所以∠B＝∠D.
【例4】（2022山西）如图2－19－12，Rt△ABC是一块直角三角尺，其中∠C＝90°，∠BAC＝30°．直尺的一边DE经过顶点A，若DE∥CB，则∠DAB的度数为( )
A． 100° B． 120°
C． 135° D． 150°
课本母题
知识点4：创新题
B
思路点拨：先根据平行线的性质求得∠DAC的度数，再根据角的和差关系求得结果．
9. 如图2－19－13，将四边形纸条ABCD折叠，折痕为EF，已知AD∥BC，折叠后点C，D分别落在点C′，D′处，D′E与BF相交于点G．若∠BGD′＝26°，则∠α的度数是( )
A． 77° B． 64°
C． 26° D． 87°
母题变式
A(共24张PPT)
第二章相交线与平行线
易错点例析
易错典例
【例1】如图D2－1－1，三条直线交于一点，任意找出图中的四对对顶角．
错解:对顶角有：
(1)∠AOC与∠BOD；
(2)∠AOF与∠BOD；
(3)∠COF与∠DOE；
(4)∠AOC与∠BOE．
易错点1：对对顶角的概念理解不透彻
错解分析:错解中把有公共顶点的角误认为是对顶角，导致(2)和(4)错误．如果对对顶角的概念没有真正理解和掌握，在比较复杂的图形识别中会产生错误．对顶角就是一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线．
正解:对顶角有：
(1)∠AOC与∠BOD；
(2)∠BOE与∠AOF；
(3)∠COF与∠DOE；
(4)∠COE 与∠DOF．(答案不唯一：∠AOE 与∠BOF，∠BOC与∠AOD也是对顶角)
过关训练
1. 下列各图中，∠AOB和∠COD是对顶角的是( )
B
【例2】如图D2－1－2，按图中角的位置，判断正确的是( )
A. ∠ 1 与 ∠ 2 是内错角
B. ∠ 1 与 ∠ 4 是内错角
C. ∠ 5 与 ∠ 7 是同旁内角
D. ∠ 4 与 ∠ 8 是同位角
易错典例
易错点2：对“三线八角”理解有误
错解:选A，B，D.
错解分析:本题考查的是当两条直线被第三条直线所截时，如何准确地找到同位角、内错角 、同旁内角．要想准确地解决这类问题，首先要明确三种角的位置特点：在被截直线的内部，截线两旁的角叫做内错角；在被截直线的内部，截线同旁的角叫做同旁内角；在被截直线的上方(或下方)，截线同旁的角叫做同位角．其次要搞清楚被哪条直线所截.
正解:选C．
过关训练
2. 如图D2－1－3，描述同位角，内错角，同旁内角关系不正确的是( )
A. ∠1与∠4是同位角
B. ∠2与∠3是内错角
C. ∠3与∠4是同旁内角
D. ∠2与∠4是同旁内角
D
【例3】 如图D2－1－4，已知直线AB，CD被直线EF，GH所截，∠1＋∠2＝180°，则________∥________．
易错典例
易错点3：对平行线的判定应用不熟练
错解:EF，GH.因为∠1＋∠2＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行，可知EF∥GH．
错解分析:虽然“同旁内角互补，两直线平行”，但∠1与∠2是对直线AB，CD而言的，不能判定EF，GH的关系．
正解:AB，CD.
过关训练
3. 如图D2－1－5，直线AB，CD被直线EF，GH所截，且∠1＝∠2，求证：∠3＋∠4＝180°．
证明：因为∠1＝∠2,∠2＝∠5，
所以∠1＝∠5.
所以AB∥CD.
所以∠3＋∠4＝180°
【例4】如图D2－1－6，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，直线DE过点C，且DE∥AB，若∠ACD＝50°，则∠A＝________，
∠B＝________.
易错典例
易错点4：不能很好地识别几何图形
错解：由两条平行线AB，CD被第三条直线AC或者BC所截，内错角相等，得∠B＝∠ACD＝50°，∠A＝∠BCE＝90°－∠ACD＝40°.
错解分析：对几何图形观察认识不清楚而出错，观察三条直线中，AB，CD被第三条直线AC所截时，∠A与∠ACD是内错角，AB，CD被第三条直线BC所截时，∠B与∠BCE是内错角，∠B与∠ACD不是内错角.
正解：由两直线平行，内错角相等,得∠A＝∠ACD＝50°，∠B＝90°－∠A＝40°.
【例5】 如图D2－1－8，直线AB，CD分别和直线MN相交于点E，F，EG平分∠BEN，FH平分∠DFN．若AB∥CD，你能说明EG
和FH也平行吗
错解：因为EG平分∠BEN，
所以∠BEG＝∠BEN．
同理，因为FH平分∠DFN，
所以∠DFH＝∠DFN．又因为AB∥CD，
所以∠BEN＝∠DFN.从而∠BEG＝∠DFH．
所以EG∥FH．
错解分析：在复杂的图形中正确地找出同位角、内错角或同旁内角，是运用平行线的判定或性质的前提．认清一对同位角、内错角或同旁内角的关键是弄清截线和被截线，截线就是它们的公共边，其余两条边就是被截线．而∠BEG 和∠DFH不是直线EG，FH被某条直线所截得的同位角， 所以由∠BEG＝∠DFH不能判定EG∥FH．
正解：因为EG平分∠BEN，
所以∠BEG＝∠GEN＝∠BEN.
同理，因为FH平分∠DFN，
所以∠DFH＝∠HFN＝∠DFN.
又因为AB∥CD，所以∠BEN ＝∠DFN，
所以∠GEN ＝∠HFN．而∠GEN，∠HFN是直线EG，FH被直线MN所截得的同位角，所以EG∥FH．
4. 如图D2－1－7，直线AD和BC相交于O，AB∥CD，AD⊥BC于点O，∠B＝50°，求∠A和∠C．
过关训练
解：因为AD⊥BC，
所以∠AOB＝90°.
因为∠B＝50°，
所以∠A＝90°－50°＝40°.
因为AB∥CD，
所以∠C＝∠B＝50°．
5. 如图D2－1－9，已知∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B. 试判断直线DE和直线BC的位置关系,并说明理由．
解:DE∥BC.理由如下：
因为∠1＋∠2＝180°，
∠1＝∠4，所以∠2＋∠4＝180°.
所以AB∥EH.所以∠3＋∠BDE＝180°.
因为∠B＝∠3，所以∠B＋∠BDE＝180°.
所以DE∥BC.
6.如图D2－1－10，已知点D，E分别在三角形ABC的边AB，AC上，DE∥BC．
（1）若∠ABC＝80°，∠AED＝40°，
求∠A的度数；
（2）若∠BFD＋∠CEF＝180°，
求证：∠EDF＝∠C．
（1）解：因为DE∥BC，
所以∠C＝∠AED＝40°．
因为∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，
所以∠A＝180°－∠ABC－∠C＝180°－80°－40°＝60°．
（2）证明：因为∠BFD＋∠DFE＝180°，
∠BFD＋∠CEF＝180°，
所以∠DFE＝∠CEF．
所以DF∥AC．
所以∠EDF＝∠AED．
因为DE∥BC，
所以∠AED＝∠C．
所以∠EDF＝∠C．
谢 谢(共18张PPT)
第二章 相交线与平行线
探索直线平行的条件（二）
温故知新
1. 如图2－18－1，将木条a，b与c钉在一起，若∠2＝48°，要使木条a与b平行，则∠1的度数应为( )
A． 132° B． 90°
C． 48° D． 42°
（限时3分钟）
C
2. 在下列图形中，已知∠1＝∠2，一定能推导出l1∥l2的是( )
D
探究新知
A. 两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做________.
如果内错角相等________，那么这两条直线________，简称为：______________________.
内错角
相等
平行
内错角相等，两直线平行
对点范例
3. 如图2－18－2，已知∠1＝50°，要使a∥b，那么∠2等于( )
A. 40° B. 130°
C. 50° D. 120°
C
探究新知
B. 两条直线被第三条直线所截,两个角分别在截线的同旁,且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角,叫做___________.
如果同旁内角________，那么这两条直线_______.简称为__________________________.
同旁内角
互补
平行
同旁内角互补，两直线平行
对点范例
4. 如图2－18－3，直线a，b被第三条直线c所截，下列条件不能判断a∥b的是( )
A. ∠2＋∠4＝180°
B. ∠3＋∠1＝180°
C. ∠2＋∠3＝180°
D. ∠2＝79°，∠3＝101°
A
课本母题
【例1】（课本P49第1题）如图2－18－4，一条街道的两个拐角∠ABC和∠BCD均为150°，街道AB与CD平行吗？为什么？
知识点1：内错角相等，两直线平行
图2－18－4
解：街道AB与CD平行.
理由如下.
因为∠ABC＝∠BCD＝150°，
所以AB∥CD(内错角相等，两直线平行).
思路点拨：根据题意得出∠ABC＝∠BCD＝150°，由内错角相等，两直线平行即可得出结论.
母题变式
5. 如图2－18－5，三块相同的三角尺拼成一个图形，请找出图中的一组平行线，并说明理由.
解：由∠DCE＝∠CEA，
得到CD∥AE，根据内错角相等，
两直线平行；
或由∠BAC＝∠ACE，得到AB∥CE，
根据内错角相等，两直线平行；
或∠ACE＝∠DEC，得到AC∥DE，
根据内错角相等，两直线平行.
【例2】（课本P49第2题）如图2－18－6，∠DAB＋∠CDA＝180°，∠ABC＝∠1，直线
AB与CD平行吗？直线AD与BC呢？为什么？
课本母题
知识点2：同旁内角互补，两直线平行
解：AB∥CD，AD∥BC.理由如下：
因为∠DAB＋∠CDA＝180°，
所以AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行).
因为∠ABC＝∠1，所以AD∥BC（同位角相等，两直线平行）.
思路点拨：根据平行线的判定定理推出即可.
母题变式
6. 如图2－18－7，若∠1＋∠2＝180°，∠1＝∠3，AB与CD平行吗？EF与GH呢？为什么？
解：因为∠1＋∠2＝180°，
所以AB∥CD(同旁内角互补，
两直线平行).
因为∠1＝∠3,
所以∠2＋∠3＝180°.
所以EF∥GH(同旁内角互补，两直线平行).
【例3】（课本P49第4题）利用如图2－18－8所示的方法，可以折出“过已知直线外一点和已知直线平行”的直线. 你能说明其中的道理吗？
课本母题
知识点3：综合应用
解：如答图2－18－1，
由图②的操作可知PE⊥CD，
所以∠PEC＝∠PED＝90°.
由图③的操作可知AB⊥PE，
所以∠APE＝∠BPE＝90°，
所以∠PEC＝∠BPE＝90°.
所以AB∥CD（内错角相等，两直线平行）.
如答图2－18－1
思路点拨：先根据折叠的性质得到折痕都垂直于过已知点的直线，根据平行线的判定方法求解.
母题变式
7. 将长方形纸片，按下列要求折叠：
第1步：将长方形纸片，按图2－18－9①所示的方法折叠；
第2步：按图2－18－9②所示的方法折叠；
第3步：将图形展开，如图2－18－9③，在长方形ABCD中，EF，GD为折叠过程中产生的折痕.
问题：EF与GD
平行吗？请说
明理由.
解：EF∥DG.
理由如下：由翻折可知，∠CDG＝∠ADG＝45°，∠AFE＝45°，
所以∠AFE＝∠ADG＝45°.
所以EF∥DG（同位角相等，两直线平行）.
谢 谢(共19张PPT)
第二章 相交线与平行线
探索直线平行的条件（一）
温故知新
1. 如图2－17－1，量得直线l外一点P到l的距离PB的长为6 cm，若点A是直线l上的一点，那么线段PA的长不可能是( )
A． 5.5 cm
B． 6.2 cm
C． 7.5 cm
D． 8 cm
（限时3分钟）
图2－17－1
A
2. 如图2－17－2，两条直线交于点O，若∠1＋∠2＝80°，则∠3的度数为( )
A． 40°
B． 80°
C． 100
D． 140°
图2－17－2
D
探究新知
A. 两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一方的角，我们把这样的两个角称为________.
同位角
对点范例
3. 如图2－17－3，下列各角中，与∠1是同位角的是( )
A. ∠2 B. ∠3
C. ∠4 D. ∠5
图2－17－3
D
探究新知
B. 两条直线被第三条直线所截，如果同位角________，那么这两条直线________.简称为:________________________________.
相等
平行
同位角相等，两直线平行
对点范例
4. 如图2－17－4，要使DE∥BC，应满足( )
A. ∠A＝∠C
B. ∠C＝∠B
C. ∠B＋∠C＝180°
D. ∠ADE＝∠B
图2－17－4
D
探究新知
C. （1）平行公理：过直线外一点有且只有________直线与这条直线平行；
（2）平行公理推论：平行于同一条直线的两条直线________.
一条
平行
对点范例
5. 如图2－17－5，笔直的公路一旁是电线杆，若其余电线杆都与电线杆①平行，则判断其余电线杆两两平行的根据是( )
A. 内错角相等，两直线平行
B. 同位角相等，两直线平行
C. 同旁内角互补，两直线平行
D. 平行于同一条直线的两条直线平行
图2－17－5
D
课本母题
【例1】下列图形中，∠1和∠2是同位角的是( )
知识点1：同位角的定义
A
母题变式
6. 下列图形中，∠1和∠2不是同位角的是( )
C
【例2】（课本P46随堂练习第2题） 如图2－17－6，∠1＝∠2＝55°，直线AB与CD平行吗？
课本母题
知识点2：同位角相等，两直线平行
图2－17－6
解：AB∥CD. 理由如下.
如答图2－17－1.
因为∠1＝∠3，
∠1＝∠2＝55°，
所以∠2＝∠3.
所以AB∥CD（同位角相等，两直线平行）.
答图2－17－1
母题变式
7. 如图2－17－7，直线AB，CD被直线EF所截，H为CD与EF的交点，GH⊥CD于点H，若∠2＝30°，∠1＝60°．求证：AB∥CD．
图2－17－7
证明：因为GH⊥CD，所以∠CHG＝90°．
因为∠2＝30°，
所以∠3＝∠CHG－∠2＝60°．
所以∠4＝∠3＝60°．
又因为∠1＝60°，所以∠1＝∠4．
所以AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．
【例3】如图2－17－8，直线a，b，c被直线l所截，量得∠1＝∠2＝∠3.
(1)从∠1＝∠2可以得出直线
________∥________，
根据_____________________________；
课本母题
知识点3：平行于同一条直线的两条直线平行
a
b
同位角相等，两直线平行
(2)从∠1＝∠4可以得出直线________∥________，根据_______________
________________；
(3)直线a，b，c互相平行吗？根据是什么？
a
c
同位角相等，
两直线平行
解：(3)因为a∥b，a∥c，所以b∥c，即直线a，b，c互相平行(平行于同一条直线的两直线平行).
母题变式
8. 如图2－17－9，因为∠B＝∠________，
所以AB∥CD(_________________________).
因为∠BGC＝∠________，
所以CD∥EF(__________________________).
因为AB∥CD，CD∥EF，
所以AB∥________(__________
_____++++++________________).
FGC
同位角相等，两直线平行
F
同位角相等，两直线平行
EF
平行于
同一条直线的两条直线平行
9. (创新题)如图2－17－10，直线AB，CD与EF相交于点G，H. 小明认为若∠1＝∠2，根据“同位角相等，两直线平行”可以知道直线AB∥CD，图2－17－10你同意他的说法吗？如果同意，请把你的理由写下来；如果不同意，
再补充一个条件使得AB∥CD，
并说明理由.
图2－17－10
解：不同意. 补充条件：GM平分∠BGE，
HN平分∠DHG.
理由如下：因为GM平分∠BGE，HN平分∠DHG，
所以∠BGE＝2∠2，∠DHG＝2∠1.
又因为∠1＝∠2，所以∠BGE＝∠DHG.
所以AB∥CD（同位角相等，两直线平行）.
谢 谢(共17张PPT)
第二章 相交线与平行线
用尺规作角
温故知新
1. 如图2－21－1，AB∥CD，∠B＝75°，∠D＝48°，则∠E的度数为( )
A． 27°
B． 30°
C． 34°
D． 38°
（限时3分钟）
A
2. 如图2－21－2，AB∥CD，过点B作BE⊥AC于点E．若∠C＝120°，则∠B的度数是( )
A． 20°
B． 30°
C． 40°
D． 50°
B
探究新知
(1)尺规作图的定义:尺规作图是指用__________________________作图；
（2）作一个角等于已知角的作法与示范：
没有刻度的直尺和圆规
作法 示范
①作射线O′A′
作法 示范
②以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D
③以点O′为圆心，以OC长为半径画弧，交O′A′于点C′
作法 示范
④以点C′为圆心，以CD长为半径画弧，交前面的弧于点D′
⑤过点D′作射线O′B′，∠A′O′B′就是所求作的角
对点范例
3. 利用尺规，作一个角等于已知角. 如图2－21－3，已知∠AOB.
求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB.
解：如答图2－21－1，∠A′O′B′
即为所求.
答图2－21－1
课本母题
【例1】(课本P56随堂练习第1题)如图2－21－4，已知∠AOB，利用尺规作∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝2∠AOB. (不写作法，
保留作图痕迹)
知识点1：作一个角等于已知角
解：如答图2－21－2，∠A′O′B′即为所求.
思路点拨：先作一个角等于∠AOB，在这个角的外部再作一个角等于∠AOB，那么图中最大的角就是所求的角.
答图2－21－2
母题变式
4. 如图2－21－5，已知∠AOB，∠DCE，利用尺规作图，比较它们的大小. (不写作法，保留作图痕迹)
解：如答图2－21－5，由图知，
点A′在∠AOB的内部，
所以∠AOB＞∠DCE.
答图2－21－5
【例2】 (课本P57第1题节选)如图2－21－6，已知∠α，∠β，求作一个角，使它等于∠α与∠β的和. (不写作法，保留作图痕迹)
课本母题
知识点2：作角的和差
解：如答图2－21－3，作∠AOB＝∠α，∠BOC＝∠β，则∠AOC即为所求.
答图2－21－3
思路点拨：作∠AOB＝∠α，再在∠AOB的外部作∠BOC＝∠β，则∠AOC即为所求.
母题变式
5. 如图2－21－7，已知∠α，∠β，求作一个角等于2∠α－∠β. (不写作法，保留作图痕迹)
解：如答图2－21－6，
作∠BOC＝2∠α，
∠AOB＝∠β，
则∠AOC即为所求.
答图2－21－6
【例3】如图2－21－8，利用尺规，在三角形ABC的边AC上方作∠CAE＝∠ACB.(不写作法，保留作图痕迹)
课本母题
知识点3：创新题
解：答图2－21－4，∠CAE即为所求.
答图2－21－4
思路点拨：利用基本作图(作一个角等于已知角)作出∠CAE＝∠ACB即可.
母题变式
6. 如图2－21－9，在三角形ABC中，∠ACB＞∠ABC.
用直尺和圆规在∠ACB的内部作射线CM，使∠ACM＝∠ABC.(不写作法，保留作图痕迹)
解：如答图2－21－7，射线CM即为所求.
答图2－21－7
谢谢大家，多提宝贵意见
