新北师大版七年级数学下《第一章整式的乘除》导学案

第一章 整式的乘除
1.1 同底数幂的乘法
一、学习目标
1．经历探索同底数幂乘法运算性质过程，进一步体会幂的意义．
2．了解同底数幂乘法的运算性质，并能解决一些实际问题
二、学习重点：同底数幂的乘法运算法则的推导过程以及相关计算
三、学习难点：对同底数幂的乘法公式的理解和正确应用
四、学习设计
（一）预习准备
预习书p2-4
（二）学习过程
1.　试试看：(1)下面请同学们根据乘方的意义做下面一组题：
① ②=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿=
③a3．a4=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿=a( )
(2)根据上面的规律，请以幂的形式直接写出下列各题的结果：
= = = ×=
2.　猜一猜：当ｍ，ｎ为正整数时候，
． =．＝＝
即am·an= (m、n都是正整数)
3.　同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘　　　　　　　 　　
运算形式：（同底、乘法） 运算方法：（底不变、指加法）
当三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 用公式表示为
am·an·ap = am+n+p （m、n、p都是正整数）
练习1. 下面的计算是否正确 如果错，请在旁边订正
（1）．a3·a4=a12 　 （2）．m·m4=m4 ( 3）．a2·b3=ab5 （4）．x5+x5=2x10
（5）．3c4·2c2=5c6 　（6）．x2·xn=x2n (7）．2m·2n=2m·n （8）．b4·b4·b4=3b4
2．填空：（1）x5 ·（ ）=　x 8 （2）a ·（ ）=　a6
（3）x · x3（ ）= x7 （4）xm ·（　 ）＝x3m
（5）x5·x( )=x3·x7=x( ) ·x6=x·x( ) （6）an+1·a( )=a2n+1=a·a( )
例1．计算
（1）(x+y)3 · (x+y)4 　　 （2）
（3） 　　　 （4）（m是正整数）
变式训练．计算
（1）　　　　　　（2） （3）.　　　　　
（4）　　 （5）（a-b）(b-a)4 　　　 （6） 　
（ｎ是正整数）
拓展．1、填空
（1） 8 = 2x，则 x =
（2） 8 × 4 = 2x，则 x =
（3） 3×27×9 = 3x，则 x = .
2、 已知am=2，an=3,求的值 　　　　　3、
4、已知的值。 5、已知的值。
回顾小结
1．同底数幂相乘法则要注重理解“同底、相乘、不变、相加”这八个字．
2．解题时要注意a的指数是1．
3．解题时，是什么运算就应用什么法则．同底数幂相乘，就应用同底数幂的乘法法则；整式加减就要合并同类项，不能混淆．
4．-a2的底数a，不是-a．计算-a2·a2的结果是-(a2·a2)=-a4，而不是(-a)2+2=a4．
5．若底数是多项式时，要把底数看成一个整体进行计算
1.2 幂的乘方与积的乘方（1）
一、学习目标：1．能说出幂的乘方与积的乘方的运算法则．
2．能正确地运用幂的乘方与积的乘方法则进行幂的有关运算．
二、学习重点：会进行幂的乘方的运算。
三、学习难点：幂的乘方法则的总结及运用。
四、学习设计：
（一）预习准备
（1）预习书5～6页
（2）回顾：
计算（1）（x+y）2·（x+y）3 （2）x2·x2·x+x4·x
（3）（0.75a）3·（a）4 （4）x3·xn-1－xn-2·x4
（二）学习过程：
1、探索练习：
(62)4表示_________个___________相乘.
a3表示_________个___________相乘.
(a2)3表示_________个___________相乘.
在这个练习中，要引学习生观察，推测(62)4与(a2)3的底数、指数。并用乘方的概念解答问题。
（62）4=________×_________×_______×________
=__________(根据an·am=anm)
=__________
（33）5=_____×_______×_______×________×_______
=__________(根据an·am=anm)
=__________ 64表示_________个___________相乘.
（a2）3=_______×_________×_______
=__________(根据an·am=anm)
=__________
（am）2=________×_________
=__________(根据an·am=anm)
=__________
（am）n=________×________×…×_______×_______
=__________(根据an·am=anm)
=________
即 （am）n =______________(其中m、n都是正整数)
通过上面的探索活动,发现了什么
幂的乘方,底数__________,指数_________
2、例题精讲
类型一 幂的乘方的计算
例1 计算
⑴ (54)3 ⑵－（a2）3 ⑶ ⑷［(a＋b)2］4
随堂练习
（1）（a4）3＋m　； （2）［（－）3］2； ⑶［－(a＋b)4］3
类型二 幂的乘方公式的逆用
例1 已知ax＝2，ay＝3，求a2x＋y； ax＋3y
随堂练习
（1）已知ax＝2，ay＝3，求ax＋3y
（2）如果，求x的值
随堂练习
已知：84×43＝2x，求x
类型三 幂的乘方与同底数幂的乘法的综合应用
例1 计算下列各题
（1） ⑵（－a）2·a7
⑶ x3·x·x4＋（－x2）4＋（－x4）2 （4）（a－b）2（b－a）
3、当堂测评
填空题：
（1）(m2)5＝________；－［(－)3］2＝________；［－(a＋b)2］3＝________．
（2）［-(-x)5］2·(-x2)3＝________；(xm)3·(-x3)2＝________．
（3）(-a)3·(an)5·(a1-n)5＝________； -(x-y)2·(y-x)3＝________．
（4） x12＝（x3）（_______）＝（x6）（_______）．
（5）x2m(m＋1)＝(　)m＋1． 若x2m＝3，则x6m＝________．
（6）已知2x＝m，2y＝n，求8x＋y的值（用m、n表示）．
判断题
（1）a5+a5=2a10 （ ）
（2）（s3）3=x6 （ ）
（3）（－3）2·（－3）4=（－3）6=－36 （ ）
（4）x3+y3=（x+y）3 （ ）
（5）[（m－n）3]4－[（m－n）2]6=0 （ ）
4、拓展：
计算 5（P3）4·（－P2）3+2[（－P）2]4·（－P5）2
若（x2）n=x8，则m=_____________.
若[（x3）m]2=x12，则m=_____________。
若xm·x2m=2，求x9m的值。
若a2n=3，求（a3n）4的值。
6、已知am=2,an=3,求a2m+3n的值.
回顾小结：1．幂的乘方 （am）n＝_________（m、n都是正整数）．
2．语言叙述：
3．幂的乘方的运算及综合运用。
1.2 幂的乘方与积的乘方（2）
一、学习目标：1．能说出幂的乘方与积的乘方的运算法则．
2．能正确地运用幂的乘方与积的乘方法则进行幂的有关运算
二、学习重点：积的乘方的运算。
三、学习难点：正确区别幂的乘方与积的乘方的异同。
四、学习设计：
（一）预习准备
（1）预习书7～8页
（2）回顾：
1、计算下列各式：
（1） （2） （3）
（4）（5）（6）
（7） （8） （9）
（10） （11）
2、下列各式正确的是（ ）
（A） （B） （C）（D）
（二）学习过程：
探索练习：
计算：
计算：
计算：
从上面的计算中，你发现了什么规律？_________________________
4、猜一猜填空：（1） （2）
（3） 你能推出它的结果吗？
结论：
例题精讲
类型一 积的乘方的计算
例1 计算
（1）（2b2）5； （2）（－4xy2）2 （3）－(－ab)2 （4）［－2（a－b）3］5．
随堂练习
（1） （2） （3）(-xy2)2 （4）［－3（n－m）2］3．
类型二 幂的乘方、积的乘方、同底数幂相乘、整式的加减混合运算
例2 计算
（1）［-(-x)5］2·(-x2)3 （2）
（3）（x＋y）3（2x＋2y）2（3x＋3y）2 （4）（－3a3）2·a3＋（－a）2·a7－（5a3）3
随堂练习
（1）(a2n-1)2·(an＋2)3 （2） (-x4)2-2(x2)3·x·x＋(-3x)3·x5
（3）［(a＋b)2］3·［(a＋b)3］4
类型三 逆用积的乘方法则
例1 计算 （1）82004×0.1252004； （2）（－8）2005×0.1252004．
随堂练习
0.2520×240 -32003·()2002＋
类型四 积的乘方在生活中的应用
例1 地球可以近似的看做是球体，如果用V、r分别代表球的体积和半径，那么V＝πr3。地球的半径约为千米，它的体积大约是多少立方千米？
随堂练习
（1）一个正方体棱长是3×102 mm，它的体积是多少mm？
（2）如果太阳也可以看作是球体，它的半径是地球的102倍，那么太阳的体积约是多少立方千米呢？”
当堂测评
一、判断题
　　1．(xy)3＝xy3(　　) 2．(2xy)3＝6x3y3(　　) 3．(-3a3)2＝9a6(　　)
4．(x)3＝x3(　　) 　5．(a4b)4＝a16b(　　)
二、填空题
　　1．-(x2)3＝_________，(-x3)2＝_________．　2．(-xy2)2＝_________．
　　3．81x2y10＝ (　　　)2． 4．(x3)2·x5＝_________． 5．(a3)n＝(an)x(n、x是正整数)，则x＝_________．
6.（－0.25）11×411＝_______． （－0.125）200×8201＝____________
4、拓展：
（1） 已知n为正整数，且x2n＝4．求（3x3n）2－13（x2）2n的值．
已知xn＝5，yn＝3，求（xy）2n的值
若m为正整数，且x2m＝3，求（3x3m）2－13（x2）2m的值．
回顾小结：
1.积的乘方 （ab）n＝ （n为正整数）
2．语言叙述：
3．积的乘方的推广（abc）n＝ （n是正整数）．
1.3 同底数幂的除法
一、学习目标
了解同底数幂的除法的运算性质，并能解决一些实际问题
二、学习重点：会进行同底数幂的除法运算。
三、学习难点：同底数幂的除法法则的总结及运用
（一）预习准备
（1）预习书p9-13
（2）思考：0指数幂和负指数幂有没有限制条件？
（3）预习作业：
1．（1）28×28=　　　 （2）52×53=　　　（3）102×105=　　　 （4）a3·a3=　　　
2．（1）216÷28=　　　（2）55÷53=　　　（3）107÷105=　　　　（4）a6÷a3=　　　
（二）学习过程
上述运算能否发现商与除数、被除数有什么关系？
得出：同底数幂相除，底数　　　　　，指数　　　　　．　
即：am÷an=　　　　　　　（，m，n都是正整数，并且m>n）
练习：
（1） 　（2）　　　（3）＝
（4）=　　　 （5）　　（6）（-ab）5÷（ab）2=　　　
=　　　　　　　　　　　　（8）=　　　　　　　　　　　
提问：在公式中要求 m，n都是正整数，并且m>n，但如果m=n或m计算：32÷32 103÷103 am÷am（a≠0）
　　　　　　　　=　　　 　　　（a≠0）
32÷32=3（　　　）　=3（　　） 　 103÷103=10（　　　）　=10（　　） am÷am=a（　　　）　=a（　　）（a≠0）
于是规定：a0=1（a≠0） 即：任何非0的数的0次幂都等于1
最终结论：同底数幂相除：am÷an=am-n（a≠0，m、n都是正整数，且m≥n）
想一想： 10000=104 ， 　 　　16=24
　　 1000=10（　）， 8=2（　）
　　　100=10 （　） ， 4=2（　）
　　　10=10 （　）， 2=2（　）
猜一猜： 　1=10（　） 1=2（　）
　　　　 0.1=10（　） =2（　）
0.01=10（　） =2（　）
0.001=10（　） =2（　）
负整数指数幂的意义：（，p为正整数）或（，p为正整数）
例1 用小数或分数分别表示下列各数：
练习：
1．下列计算中有无错误，有的请改正
　　　　　　　
　　　　　　　
2．若成立，则满足什么条件？　3．若无意义，求的值
4．若，则等于？　　　　5．若，求的的值
6．用小数或分数表示下列各数：
（1） ＝　　　　 　　（2）＝　　　　 　　（3） ＝　　　　
（4）＝　　　　　　　（5）4.2＝　　　　　（6）＝　　　　　　　　
7．（1）若＝ （2）若
（3）若0.000 000 3＝3×，则 （4）若
拓展：
8.计算：（n为正整数） 9．已知,求整数x的值。
回顾小结：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
1.4整式的乘法（1）
一、学习目标：理解并掌握单项式的乘法法则，能够熟练地进行单项式的乘法计算
二、学习重点：单项式乘法法则及其应用
三、学习难点：理解运算法则及其探索过程
（一）预习准备
（1）预习书p14-15
（2）思考：单项式与单项式相乘可细化为几个步骤？
（3）预习作业：
1．下列单项式各是几次单项式？它们的系数各是什么？
次数：
系数：
2．下列代数式中，哪些是单项式？哪些不是？
3．（1）(－a5)5＝　　　 　　　　　　　　　　　（2） (－a2b)3 ＝　　　
（3）(－2a)2(－3a2)3 ＝　　　　　　 　　　　（4）(－y n)2 y n-1＝　　　　　　
（二）学习过程：
整式包括单项式和多项式，从这节课起我们研究整式的乘法，先学习单项式乘以单项式
例1. 利用乘法交换律、结合律以及前面所学的幂的运算性质，计算下列单项式乘以单项式：
(1) 2x2y·3xy2　　　　　　　　　　　(2) 4a2x5·(-3a3bx)
解：原式=(　　　)(　　　)(　　　)　　　解：原式=(　　　)(　　　)(　　　) (　　　)　　　　
单项式乘以单项式的乘法法则：单项式相乘，把它的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式
注意：法则实际分为三点：
①系数相乘——有理数的乘法；此时应先确定结果的符号，再把系数的绝对值相乘
②相同字母相乘——同底数幂的乘法；（容易将系数相乘与相同字母指数相加混淆）
③只在一个单项式中含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式，不能丢掉这个因式．
(2)不论几个单项式相乘，都可以用这个法则．
(3)单项式相乘的结果仍是单项式．
例1 计算：
(1) (-5a2b3)(-3a)＝　　　　　　　　　　　　　(2) (2x)3(-5x2y)＝　　 　　
（3） =_________ (4) (-3ab)(-a2c)2·6ab(c2)3＝　　
注意：先做乘方，再做单项式相乘．
练习：1. 判断：
单项式乘以单项式，结果一定是单项式 （ ）
两个单项式相乘，积的系数是两个单项式系数的积 （ ）
两个单项式相乘，积的次数是两个单项式次数的积 （ ）
两个单项式相乘，每一个因式所含的字母都在结果里出现（ ）
2. 计算：
　　　　　　
　　　　　
　　　　　　　（6）0.4x2y·（xy）2-（-2x）3·xy3
拓展：
3．已知am=2,an=3,求(a3m+n)2的值　　　　　4．求证：52·32n+1·2n-3n·6n+2能被13整除
5．
回顾小结：单项式与单项式相乘，把他们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式。
1.4 整式的乘法（2）
一、学习目标
经历探索整式的乘法运算法则的过程,会进行简单的整式的乘法运算
二、学习重点：整式的乘法运算
三、学习难点：推测整式乘法的运算法则
（一）预习准备
（1）预习书p16-17
（2）思考：单项式与多项式相乘最容易出错的是哪点？
（3）预习作业：
（1）＝　　　　　　 　　　　　　（2）＝　　　　　
（3）2(ab－3) ＝　　　　　　　　　　　　　（4）(2xy2) ·3yx＝　　　　　　　
（5）(―2a3b) (―6ab6c) ＝　　　　　 　　（6）－3(ab2c+2bc－c) ＝　　　　　　　　　　
（二）学习过程：
1．我们本单元学习整式的乘法，整式包括什么？
2．什么是多项式？怎么理解多项式的项数和次数？
整式乘法除了我们上节课学习的单项式乘以单项式外，还应该有单项式乘以多项式，今天将学习单项式与多项式相乘
做一做：
如图所示，公园中有一块长mx米、宽y米的空地，根据需要在两边各留下宽为a米、b米的两条小路，其余部分种植花草，求种植花草部分的面积.
你是怎样列式表示种植花草部分的面积的 是否有不同的表示方法？其中包含了什么运算
方法一：可以先表示出种植花草部分的长与宽，由此得到种植花草部分面积为　　　　　　　　
方法二：可以用总面积减去两条小路的面积，得到种植花草部分面积为　　　　　　　　
由上面的探索，我们得到了　　　　　　　　　　　　　　　　
上面等式从左到右运用了乘法分配律，将单项式乘以多项式转化为单项式乘以单项式
单项式与多项式相乘：就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项再把所得的积相加
例1 计算：
（1） 　（2）
练习：1．判断题：
(1) 3a3·5a3=15a3 　　　　 （ ）
(2) 　　　　 ( )
(3) ( )
(4) －x2(2y2－xy)=－2xy2－x3y ( )
2．计算题：
(1) 　 (2) 　　　　　　(3)
(4) －3x(－y－xyz)　　　　　(5) 3x2(－y－xy2＋x2) (6) 2ab(a2b－c)
(7) （x3）2―2x3[x3―x（2x2―1）] 　 (8) xn（2xn+2－3xn-1+1）
拓展：
3．已知有理数a、b、c满足 |a―b―3|+（b+1）2+|c－1|=0，求（－3ab）·（a2c－6b2c）的值。
4．已知：2x·（xn+2）=2xn+1－4，求x的值。
5．若a3（3an－2am+4ak）=3a9－2a6+4a4，求－3k2（n3mk+2km2）的值。
回顾小结：单项式和多项式相乘，就是根据分配律用单项式去多乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
1.4 整式的乘法（3）
一、学习目标
1．理解多项式乘法的法则，并会进行多项式乘法的运算
二、学习重点：多项式乘法的运算
三、学习难点：探索多项式乘法的法则，注意多项式乘法的运算中“漏项”、“符号”的问题
（一）预习准备
（1）预习书p18-19
（2）思考：如何避免“漏项”？
（3）预习作业：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
（9） （10）
（二）学习过程：
如图，计算此长方形的面积有几种方法？如何计算？
方法1：S＝　　　　　　　　　　　　　　　　
方法2：S＝　　　　　　　　　　　　　　　　
方法3：S＝　　　　　　　　　　　　　　　　
方法4：S＝　　　　　　　　　　　　　　　　
由此得到： (m+b)(a+n) =　　　　　　　　　　　　＝　　　　　　　　　　　　
运用乘法分配律进行解释，请将其中的一个多项式看作一个整体，再运用单项式与多项式相乘的方法进行计算
（把(a+n)看作一个整体）
(m+b)(a+n)＝
多项式与多项式相乘：先用一个　　　　　　　乘以另一个多项式的　　　，再把所得的积　　
例1 计算：　　　　　　　　
　　　　　　　　
注意：（1）用一个多项式的每一项依次去乘另一个多项式的每一项，不要漏乘，在没有合并同类项之前，两个多项式相乘展开后的项数应是原来两个多项式项数之积。
（2）多项式里的每一项都包含前面的符号，两项相乘时先判断积的符号，再写成代数和形式。
（3）展开后若有同类项必须合并，化成最简形式。
例2 计算：
　　　　　　　　(2)
练习：
（1） 　（2） 　（3）
（4） （5）　　　（6）
拓展
1． 则m=_____ ， n=________
2．若 ，则k的值为（ ）
（A） a+b （B） －a－b （C）a－b （D）b－a
3．已知 则a=______ b=______
4．在与的积中不含与项，求P、q的值
回顾小结：多项式和多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
1.5 平方差公式（1）
一、学习目标
会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算
二、学习重点：掌握平方差公式的特点，能熟练运用公式
三、学习难点：理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式
四、学习设计
（一）、预习准备
1、预习书p20-21
2、思考：能运用平方差公式的多项式相乘有什么特点？
3、预习作业：
（1） 　　（2）（m+3）（m-3） 　　　　　　 （3）（-x+y）（-x-y）
（4） （5）　　　　　　　（6）（2x+1）（2x-1）
（二）、学习过程
以上习题都是求两数和与两数差的积，大家应该不难发现它们的规律．用公式可以表示为：
　 － 　 　　我们称它为平方差公式
平方差公式的推导
（a＋b）（a－b）＝　　　　　　　（多项式乘法法则）＝　　　 　　（合并同类项）
即：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差
平方差公式结构特征：
左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
右边是乘式中两项的平方差。即用相同项的平方减去相反项的平方
例1计算：
（1）　　 （2） 　　 （3）
变式训练：1、用平方差公式计算：
（1）； （2）；
2．（2008·金华）如果，那么代数式的值为____________
注意：（1）公式的字母可以表示数，也可以表示单项式、多项式；
（2）要符合公式的结构特征才能运用平方差公式
例2．下列各式都能用平方差公式吗
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
（7） （8）
（9） （10）
（11）
能否用平方差公式，最好的判断方法是：两个多项式中：两项相等，两项互为相反数
在平方差这个结果中谁作被减数,谁作减数,你还有什么办法确定
相等数的平方减去相反数的平方
变式训练：1、判断
（1） 　（ ） （2） （ ）
（3） （ ）　（4） （ ）
（5） 　 （ ） （6） （ ）
2、填空：
（1） （2）
（3） 　（4）
拓展：
1、计算：（1）　（2）
2．先化简再求值的值，其中
3．（1）若=
（2）已知，则____________
回顾小结：熟记平方差公式，会用平方差公式进行运算。
1.5 平方差公式（2）
一、学习目标
1．进一步使学生掌握平方差公式，让学生理解公式数学表达式与文字表达式在应用上的差异
二、学习重点：公式的应用及推广
三、学习难点：公式的应用及推广
四、学习设计
（一）预习准备
（二）预习书p21-22
（三）思考：如何确定平方差公式中哪个是多项式中的和哪个是多项式的差？
（四）预习作业：
你能用简便方法计算下列各题吗？
（1）　　　　　　　　（2）　　　　　　 （3）
（4）　　　　　　　　　 （5）
学习设计：
1、做一做：如图，边长为的大正方形中有一个边长为b的小正方形。
（1）请表示图中阴影部分的面积：
（2）小颖将阴影部分拼成了一个长方形，这个长方形的长和宽分别是多少？
你能表示出它的面积吗？
长＝　　　　　　宽＝　　　　　 　　　
（3）比较1，2的结果，你能验证平方差公式吗
∴ 　　　　　　　＝　　　　　　　　　
进一步利用几何图形的面积相等验证了平方差公式
平方差公式中的可以是单项式，也可以是多项式，在平方时，应把单项式或多项式加括号；学会灵活运用平方差公式。有些式子表面上不能应用公式，但通过适当变形实质上能应用公式．如：中相等的项有　　　和　　　；相反的项有　　　　　，因此
形如这类的多项式相乘仍然能用平方差公式
例1．计算
（1）　　　　　　　　　　 （2）
（1）题中可利用整体思想，把看作一个整体，则此题中相同项是，相反项是和；
（2）题中的每个因式都可利用加法结合律改变形式，则是相同项，相反项是和
变式训练：计算：
（1）；（2）
方法小结 我们在做恒等变形时，一定要仔细观察：一是观察式子的结构特征，二是观察数量特征，看是否符合公式或是满足某种规律，同时逆用公式可使运算简便。
2、知识回顾：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号
例2 1．在等号右边的括号内填上适当的项：
（1）（ ） （2）（ ）
（3）（ ） （4）（ ）
2．下列哪些多项式相乘可以用平方差公式？若可以，请用平方差公式解出
（1） 　　　　 （2）
（3）　　　　　　　　 （4）
变式训练：
1、 2、
3、观察下列各式：
根据前面的规律可得：
________________
回顾小结：1．什么是平方差公式？一般两个二项式相乘的积应是几项式？
2．平方差公式中字母可以是那些形式？
3．怎样判断一个多项式的乘法问题是否可以用平方差公式？
1.6 完全平方公式（1）
一、学习目标
1．会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算
2．了解完全平方公式的几何背景
二、学习重点：会用完全平方公式进行运算
三、学习难点：理解完全平方公式的结构特征并能灵活应用公式进行计算
四、学习设计
（一）预习准备
（1）预习书p23-26
（2）思考：和的平方等于平方的和吗？
（3）预习作业：
（1）　　　　　 （2）＝　　　　　　　
（3）　　　 　 （4）　　　　　　 　　
（5）　　　　　 （6）　　　　　　　 　　　
（7）　 　　　　　 （8）　 　　　　　　　　 　
（二）学习过程
观察预习作业中（3）（4）题，结果中都有两个数的平方和，而，
恰好是两个数乘积的二倍．（3）、（4）与（5）、（6）比较只有一次项有符号之差，（7）、（8）更具有一般性，我认为它可以做公式用．
因此我们得到完全平方公式：
两数和（或差）的平方，等于它们的　　　　　，加（或减）它们的积的　　　倍．
公式表示为：　　　　 　　 　　　　 　　
口诀：首平方，尾平方，两倍乘积放中央（加减看前方，同号加异号减）
例1．应用完全平方公式计算：
（1） 　　 （2） （3） 　（4）
变式训练：
1．纠错练习.指出下列各式中的错误，并加以改正：
（1） （2） （3）
2．下列各式中哪些可以运用完全平方公式计算 ，把它计算出来
（1） （2）
（3） （4）
分析：完全平方公式和平方差公式不同：
形式不同：　　　　　
结果不同：完全平方公式的结果是三项，平方差公式的结果是两项
3．计算：
（1） （2）
（3） 　　　 （4）　　　　　
例2.计算：
（1）； （2）；
（3）.
方法小结 （1）当两个因式相同时写成完全平方的形式；（2）先逆用积的乘方法则，再用乘法公式进行计算；（3）把相同的结合在一起，互为相反数的结合在一起，可构成平方差公式。
变式议练2.计算：
（1）； （2）
（3）。
拓展：1.已知，则________________
2.（2008·成都）已知，那么的值是________________
3、已知是完全平方公式，则=
4、若=
回顾小结：
1.完全平方公式和平方差公式不同：
形式不同．
结果不同：完全平方公式的结果是三项，即 （a b）2＝a2 2ab+b2;
平方差公式的结果是两项， 即（a+b）（a b）＝a2 b2.
2. 解题过程中要准确确定a和b，对照公式原形的两边, 做到不丢项、
不弄错符号、2ab时不少乘2。
3. 口诀：首平方，尾平方，两倍乘积放中央，加减看前方，同加异减。
1.6完全平方公式（2）
一、学习目标
1．会运用完全平方公式进行一些数的简便运算
二、学习重点：运用完全平方公式进行一些数的简便运算
三、学习难点：灵活运用平方差和完全平方公式进行整式的简便运算
四、学习设计
（一）预习准备
（1）预习书p26-27
（2）思考:如何更简单迅捷地进行各种乘法公式的运算
（3）预习作业： 1．利用完全平方公式计算
（1） （2） 　 （3） （4）
2．计算：
（1）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（2）
（二）学习过程
平方差公式和完全平方公式的逆运用
由　　　　反之　　　　
　　　　　反之　　
1、填空：
（1）（2）（3）
（4）（5）
（6）
（7）若 ，则k =
（8）若是完全平方式，则k =
例1 计算：1.　　　　　　　　　2．
现在我们从几何角度去解释完全平方公式：
从图（1）中可以看出大正方形的边长是a+b，
它是由两个小正方形和两个矩形组成，所以
大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．
则S＝　　　　　　＝　　　　　　　　　　　
即：　　　　　　　　　　　　　　
如图（2）中，大正方形的边长是a，它的面积是　　　；矩形DCGE与矩形BCHF是全等图形，长都是　　，宽都是　　，所以它们的面积都是　　　；正方形HCGM的边长是b，其面积就是　　；正方形AFME的边长是　　　　，所以它的面积是　　　　．从图中可以看出正方形AEMF的面积等于正方形ABCD的面积减去两个矩形DCGE和BCHF的面积再加上正方形HCGM的面积．也就是：（a-b）2=　　　　　　　．这也正好符合完全平方公式．
例2．计算:
（1） 　　　　　　　　　　 （2）
变式训练：
（1）　　　　　　　　　　 　（2）
（3） 　　　　　　　　 （4）（x+5）2–（x-2）（x-3）
（5）（x-2）（x+2）-（x+1）（x-3）　　　　　　 （6）（2x-y）2-4（x-y）（x+2y）
拓展：1、（1）已知，则=
（2）已知，求________，________
（3）不论为任意有理数，的值总是（ ）
A.负数 B.零 C.正数 D.不小于2
2、（1）已知，求和的值。
（2）已知，求的值。
（3）.已知，求的值
回顾小结
1. 完全平方公式的使用：在做题过程中一定要注意符号问题和正确认识a、b表示的意义，它们可以是数、也可以是单项式，还可以是多项式，所以要记得添括号。
2. 解题技巧：在解题之前应注意观察思考，选择不同的方法会有不同的效果，要学会优化选择。
1.7 整式的除法（1）
一、学习目标：1.经历探索整式除法法则的过程，会进行简单的整式除法运算（只要求单项式除以单项式，多项式除以单项式，并且结果都是整式）.
2.理解整式除法运算的算理，发展有条理的思考及表达能力.
二、学习重点：可以通过单项式与单项式的乘法来理解单项式的除法，要确实弄清单项式除法的含义，会进行单项式除法运算。 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )三、学习难点：确实弄清单项式除法的含义，会进行单项式除法运算。
四、学习设计：
（一）预习准备
（1）预习书28～29页
（2）回顾： 1、 2、 3、
2、（1） （2） (3) (4)
3、（1） （2） （3）
（二）学习过程：
1、探索练习，计算下列各题，并说明你的理由。
（1） （2） （3）
2、例题精讲
类型一 单项式除以单项式的计算
例1 计算：
（1）（-x2y3）÷(3x2y)； (2)(10a4b3c2)÷(5a3bc).
变式练习：
（1）（2a6b3）÷(a3b2)； (2)(x3y2)÷(x2y).
类型二 单项式除以单项式的综合应用
例2 计算：
（1）（2x2y）3·(-7xy2)÷(14x4y3)； (2)(2a+b)4÷(2a+b)2.
变式练习：
（1）(x2y2n)÷(x2)·x3； (2)3a(a+5)4÷〔a(a+5)3〕·(a+5)-1
类型三 单项式除以单项式在实际生活中的应用
例3 月球距离地球大约3.84×105千米，一架飞机的速度约为8×102千米／时
如果乘坐此飞机飞行这么远的距离，大约需要多少时间？
3、当堂测评
填空：（1）6xy÷(-12x)= .
(2)-12x6y5÷ =4x3y2.
(3)12(m-n)5÷4(n-m)3=
(4)已知(-3x4y3)3÷（-xny2)=-mx8y7,则m= ,n= .
计算：
(1) (x2y)(3x3y4)÷(9x4y5). (2)(3xn)3÷(2xn)2(4x2)2.
4、拓展：
（1）已知实数a,b,c满足|a-1|+|b+3|+|3c-1|=0,求(abc)125÷(a9b3c2)的值。
（2）若ax3my12÷(3x3y2n)=4x6y8,求(2m+n-a)-n的值。
回顾小结：单项式相除，其实质就是系数相除，除式和被除式都含有的字母的幂按同底数
幂的除法去做，只在被除式中含有的字母及其指数作为单独因式直接写在商中，不要漏掉.
1.7 整式的除法（2）
一、学习目标：1、熟练地掌握多项式除以单项式的法则，并能准确地进行运算．
2、理解整式除法运算的算理，发展有条理的思考及表达能力.
二、学习重点：多项式除以单项式的法则是本节的重点．
三、学习难点：整式除法运算的算理及综合运用。
四、学习设计：
（一）预习准备
预习书30--31页
（二）学习过程：
1、探索：对照整式乘法的学习顺序，下面我们应该研究整式除法的什么内容？
引例：(8x3-12x2+4x)÷4x=
法则：
2、例题精讲
类型一 多项式除以单项式的计算
例1 计算：
（1）(6ab+8b)÷2b； (2)(27a3-15a2+6a)÷3a；
练习：
计算：（1）（6a3+5a2）÷(-a2)； (2)(9x2y-6xy2-3xy)÷(-3xy)；
(3)(8a2b2-5a2b+4ab)÷4ab.
类型二 多项式除以单项式的综合应用
例2 (1)计算：〔(2x+y)2-y(y+4x)-8x〕÷(2x)
（2）化简求值：〔(3x+2y)(3x-2y)-(x+2y)(5x-2y)〕÷(4x) 其中x=2,y=1
练习：（1）计算：〔（-2a2b）2(3b3)-2a2(3ab2)3〕÷(6a4b5).
（2）如果2x-y=10,求〔(x2+y2)-(x-y)2+2y(x-y)〕÷(4y)的值
3、当堂测评
填空:(1)(a2-a)÷a= ；
(2)(35a3+28a2+7a)÷(7a)= ；
(3)( —3x6y3—6x3y5—27x2y4)÷(xy3)= .
选择：〔(a2)4+a3a-(ab)2〕÷a = （ )
A.a9+a5-a3b2 B.a7+a3-ab2
C.a9+a4-a2b2 D.a9+a2-a2b2
计算:
(1)(3x3y-18x2y2+x2y)÷(-6x2y)； (2)〔(xy+2)(xy-2)-2x2y2+4〕÷(xy).
4、拓展：
（1）化简 ； （2）若m2-n2=mn,求的值.
回顾小结：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。
第一章《整式的运算》复习教案（1）
复习目标：
掌握整式的加减、乘除，幂的运算；并能运用乘法公式进行运算。
一、知识梳理：
1、幂的运算性质：
（1）同底数幂的乘法：am﹒an=am+n（同底，幂乘，指加）
逆用： am+n =am﹒an（指加，幂乘，同底）
（2）同底数幂的除法：am÷an=am-n（a≠0）。（同底，幂除，指减）
逆用：am-n = am÷an（a≠0）（指减，幂除，同底）
（3）幂的乘方：（am）n =amn（底数不变，指数相乘）
逆用：amn =（am）n
（4）积的乘方：（ab）n=anbn 推广：
逆用， anbn =（ab）n（当ab=1或-1时常逆用）
（5）零指数幂：a0=1（注意考底数范围a≠0）。
（6）负指数幂：(底倒，指反)
2、整式的乘除法：
（1）、单项式乘以单项式：
法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，作为积的因式。
（2）、单项式乘以多项式：m(a+b+c)=ma+mb+mc。
法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
（3）、多项式乘以多项式：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb。
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
（4）、单项式除以单项式：
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
（5）、多项式除以单项式：
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。
3、整式乘法公式：
（1）、平方差公式： 平方差，平方差，两数和，乘，两数差。
公式特点：（有一项完全相同，另一项只有符号不同，结果=
（2）、完全平方公式： 首平方，尾平方，2倍首尾放中央。
逆用：
完全平方公式变形（知二求一）：
4.常用变形：
二、根据知识结构框架图，复习相应概念法则：
1、幂的运算法则：
① （m、n都是正整数）
② （m、n都是正整数）
③ （n是正整数）
④ （a≠0，m、n都是正整数，且m>n）
⑤ （a≠0）
⑥ （a≠0，p是正整数）
练习1、计算，并指出运用什么运算法则
① ② ③
④ ⑤
2、整式的乘法：
单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式
平方差公式：
完全平方公式： ，
练习2：计算
① ②
③ ④ ⑤
3、整式的除法
单项式除以单项式，多项式除以单项式
练习3：① ②
第一章《整式的运算》复习教案（2）
复习目标：
1、掌握幂的运算法则，并会逆向运用；熟练运用乘法公式。
2、掌握整式的运算在实际问题中的应用。
一、知识应用练习
1、计算
①　 ② ③
④
二、例题选讲：
例1、已知，求的值。
例2、已知，，求（1）；（2）.
三、巩固练习：
1.已知，求的值。
2.已知
3.已知，，求的值。
四、课堂练习：
1、计算：
（1） （2）
（3） （4）
（5）
2、A与的差为，求A.
3、若，求的值。
4.常用变形：
二、根据知识结构框架图，复习相应概念法则：
1、幂的运算法则：
① （m、n都是正整数）
② （m、n都是正整数）
③ （n是正整数）
④ （a≠0，m、n都是正整数，且m>n）
⑤ （a≠0）
⑥ （a≠0，p是正整数）
练习3、计算，并指出运用什么运算法则
① ② ③
④ ⑤
2、整式的乘法：
单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式
平方差公式：
完全平方公式： ，
练习4：计算
① ②
③ ④ ⑤
3、整式的除法
单项式除以单项式，多项式除以单项式
练习5：① ②
a
b
y
mx
PAGE