17.3《一元二次方程根的判别式》的应用

《17.3一元二次方程根的判别式》的应用
一、教学目标
（一）知识教学点：
1.巩固、深化一元二次方程根的判别式。
2.了解一元二次方程根的判别式的广泛应用，为高中数学学习做好铺垫。
（二）能力训练点：
1.提高学生观察、分析、化归的能力。
2.训练学生思维的广阔性，深刻性，灵活性、创新性。
（三）德育渗透点：
1.通过揭示知识之间的内在联系，培养学生的探索精神。
2.渗透转化和分类的数学思想方法。
二、教学重难点：灵活运用根的判别式解决有关问题。
三、教学过程：
1．旧知回顾，突出要点：
一元二次方程根的情况：
2．讲练结合，拓展知识：
应用一：不解一元二次方程，判断根的情况。
例1．不解方程，判断下列方程根的情况：
2x2+3x-4=0　
　　 解： 2x2+3x-4=0
　　　　　a=2, b=3, c=-4,
　　　　　∵Δ=b2-4ac=32-4×2×(-4)=41＞0
　∴方程有两个不相等的实数根。
练习1.不解方程，判断方程根的情况： ax2+bx=0(a≠0)
应用二： 根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
例2．已知关于的一元二次方程有两个实数根，求取值范围。
解：∵方程有两个实数根，∴Δ=， 即
又∵，∴。
同时，∴。
∴当且时，原方程有两个实数根。
练习2.关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围。（<1且）
应用三：证明含字母系数的方程有无实数根。
例3．求证：不论m为何实数，方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。
分析：先求出关于x的方程的根的判别式，然后只需说明判别式是一个负数，就证明了该方程没有实数根。
　　证明：∵Δ=(-2m)2-4(m2+1)(m2+4)
　　　=4m2-4(m4+5m2+4)
　 =-4m4-16m2-16=-4(m4+4m2+4)
　 =-4(m2+2)2
　　∵不论m取任何实数(m2+2)2>0,
　　∴ -4(m2+2)2<0, 即Δ<0。
∴关于x的方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。
练习3.求证:不论为何实数，方程总有两个不相等的实数根。
应用四：应用根的判别式判断三角形的形状。
　　例4．已知：a、b、c为ΔABC的三边，当m>0时，关于x的方程c(x2+m)+b(x2-m)-2ax=0有两个相等的实数根。求证ΔABC为RtΔ。
　　证明：整理，得：cx2+cm+bx2-bm-2ax =0， 即(c+b)x2-2ax +cm-bm=0
　　∵方程有两个相等的实数根，
　　∴Δ=(-2a)2-4(c+b)(cm-bm)=0
　　　即4ma2-4(c2m-bcm+bcm-b2m)=0
　　　ma2-c2m+b2m=0
　　∴Δ=m(a2+b2-c2)=0
∵ m>0,　　∴a2+b2-c2=0　　即a2+b2=c2　　又∵a，b，c为ΔABC的三边，∴ΔABC为RtΔ。
练习4.已知、、为三角形的三边长，且方程有两个相等的实数根，判断这个三角形的形状。（直角三角形）
应用五：判断当字母为何值时，二次三项是完全平方式
例5、若关于a的二次三项式16a2+ka+25是一个完全平方式，求k的值。
分析：若二次三项16a2+ka+25是完全平方式，则对应的方程16a2+ka+25=0有两个相等的实数根，即Δ=0。
解：令16a2+ka+25=0
　　　∵二次三项16a2+ka+25是完全平方式
∴方程16a2+ka+25=0有两个相等的实数根，
即Δ=k2-4×16×25=0， ∴k=±40
练习5.若关于a的二次三项式ka2+4a+1是一个完全平方式，求k的值。
解：令ka2+4a+1=0
　　　∵方程有两个相等的实数根，∴Δ=16-4k=0 ∴k=4
应用六：可以判断抛物线与直线交点的个数
例6：判断直线与抛物线的交点个数。
分析：直线与抛物线的交点个数，可转化为方程组解的个数；进而转化为考查方程的“△”取值情况。
解：依题意，联立方程得，所以，即，此时△=＞0，所以方程组有两组不同的解，即直线与抛物线有两个交点。
练习6.若直线与抛物线有两个不同的交点，求b的取值范围。
分析：直线与抛物线有两个不同的交点，即方程组有两个不同的解，故方程中的判别式“△”应大于零。
解：由得，即，依题意知，△=＞0，∴b＞-1。即当b＞-1时，直线与抛物线有两个不同的交点。
3．课堂小结，深化知识：
一元二次方程的根的判别式不仅能用于判断根的情况，而且在二次三项式、二次不等式、二次函数、代数式变形、几何等方面都有着重要应用，在高中数学中也有广泛应用，它常常是将一些表面上看起来不是一元二次方程的问题，转化为一元二次方程，然后再利用判别式来求解。
4．思考题：
1.求自然数，使为完全平方数。
2.若，、为实数，求、的值（不用配方法）。
3.、为实数，且满足求的最大值和最小值。