【新课标版】2014届高三下学期第四次二轮复习综合验收卷 数学理

2013-2014学年度下学期高三二轮复习
数学（理）验收试题（4）【新课标】
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在下列各题的四个选项中，只有一项是最符合题意的）
1. 定义，已知。则 （ ）
A. B. C. D.
2．已知，为虚数单位，且，则的值为 （ ）
A． B． C． D．
3. 设是等差数列的前项和，若，则等于 （ ）
A. B. C. D.
4．已知是实数，则“且”是“”的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．设函数，其中，，则的展开式
中的系数为 （ ）
A． B． C． D．
6. 过原点的直线与圆有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
7．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为 ( )
A． B.
C. D.
8. 执行如图的程序框图，若输出的，则输入整数的最小值是 ( )
A. 15
B. 14
C. 7
D. 8
9．已知，且，
则下列不等式一定成立的是（ ）
A.
B.
C. D.
10．将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，
乙、丙组至少各一人，则不同的分配方案的种数为（　 ）
A．80 B．120 C．140 D．180
11. 中心在原点，焦点在轴上的双曲线的离心率为，直线与双曲线交于两点，线段中点在第一象限，并且在抛物线上，且到抛物线焦点
的距离为，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
12．已知向量,,满足,,.若对每一确定的,的
最大值和最小值分别为，则对任意，的最小值是 ( )
A. B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．函数的图象与函数的图象的公共点个数
是 个。
14．已知满足约束条件，且恒成立，则的取值范围为 。
15. 已知数列的首项，且对任意的都有，
则 。
16. 下列说法正确的是 。
（1）从匀速传递的产品生产流水线上，质检人员每20分钟从中抽取一件产品进行检测，
这样的抽样方法为分层抽样；
（2）两个随机变量相关性越强，相关系数的绝对值越接近1，若或时，
则与的关系完全对应（即有函数关系），在散点图上各个散点均在一条直线上；
（3）在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高；
（4）对于回归直线方程，当每增加一个单位时，平均增加12个单位；
（5）已知随机变量服从正态分布，若，则。
三、解答题（本题共6小题， 17-21题每题12分，选做题10分，共70分）
17.（本小题共12分）
在中，角所对的边分别为，若。
（1）求证；
（2）若的平分线交于，且，求的值。
18.（本小题共12分）
哈尔滨市第一次联考后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，
规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，
得到如下的列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取1人为优秀
的概率为。
优秀
非优秀
合计
甲班
10
乙班
30
合计
110
（1）请完成上面的列联表；
（2）根据列联表的数据，若按99.9%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；
（3）若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号。试求抽到9号或10号的概率。
参考公式与临界值表：。
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
19.（本小题共12分）
如图，在四棱锥中，顶点在底面内的射影恰好落在的中点上，
又，且
（1）求证：；
（2）若，求直线与所成角的余弦值；
（3）若平面与平面所成的角为，求的值。
20.（本小题共12分）
已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点为，点是点关于轴的对称点，
过点的直线交抛物线于两点。
（1）试问在轴上是否存在不同于点的一点，使得与轴所在的直线所成
的锐角相等，若存在，求出定点的坐标，若不存在说明理由。
（2）若的面积为，求向量的夹角；
21. （本小题共12分）
设函数。
（1）求函数的最小值；
（2）设，讨论函数的单调性；
（3）斜率为的直线与曲线交于,两点，
求证：。
请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号。
22. （本小题共10分）
如图所示，已知是圆的直径，是弦，，垂足为，
平分。
（1）求证：直线与圆的相切；
（2）求证：。
23. （本小题共10分）
在平面直角坐标系中，曲线为为参数）。在以为原点，
轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为，射线为，
与的交点为，与除极点外的一个交点为。当时，。
（1）求，的直角坐标方程；
（2）设与轴正半轴交点为，当时，设直线与曲线的另一个交点
为，求。
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式证明选讲
已知函数。
（1）若的解集为，求实数的值。
（2）当且时，解关于的不等式。
参考答案
一、选择题：BCDAD CACDA DB
二、填空题：2个 2 （2）（3）（5）
17解：（1）∵acosB+bcosA=b，由正弦定理可得 sinAcosB+cosAsinB=sinB，
∴sin（A+B）=sinB， --------3分
即sinC=sinB，∴b=c，∴C=B． --------------6分
（2）△BCD中，用正弦定理可得=，由第一问知道C=B，
而BD是角平分线，∴=2cos． ---------8分
由于三角形内角和为180°，设 A=x，B=2α=C，那么4α+x=180°，
故α+=45°．--9分
∵sin=，∴cos=，
∴cosα=cos（45°﹣）=cos45°cos+sin45°sin=．
∴=2cos=2cosα=．---------------12分
18.（1） -------4分
优秀
非优秀
合计
甲班
10
50
60
乙班
20
30
50
合计
30
80
110
（2）根据列联表中的数据，得到K2= ≈7.487＜10.828．因此按99.9%的
可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系” -------8分（3）设“抽到9或10号”为事件A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为（x，y）．所有的基本事件有：（1，1）、（1，2）、（1，3）、…、（6，6）共36个．事件A包含的基本事件有：（3，6）、（4，5）、（5，4）、（6，3）、（5，5）、（4，6）（6，4）共7个．所以P(A)= ，即抽到9号或10号的概率为． -------12分
19 解：因为AB中点O为点P在平面ABCD内的射影，所以PO⊥底面ABCD．以O为坐标原点，AB所在直线为x轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系o﹣xyz（如图）．
（1）设BC=a，OP=h则依题意得：B（a，0，0），A（﹣a，0，0），P（0，0，h），C（a，a，0），D（﹣a，2a，0）．
∴=（2a，a，0），=（﹣a，2a，﹣h），
于是?=﹣2a2+2a2=0，∴PD⊥AC；--------4分
（2）由PO=BC，得h=a，于是P（0，0，a），——5分
∵=（2a， 0，0），=（﹣a，2a，﹣a），
∴?=﹣2a2，cos＜，＞==，
∴直线PD与AB所成的角的余弦值为；-----------8分
（3）设平面PAB的法向量为m，可得m=（0，1，0），
设平面PCD的法向量为n=（x，y，z），
由=（a，a，﹣h），=（﹣a，2a，﹣h），
∴，解得n=（1，2，），∴m?n=2，
cos＜m，n＞=，∵二面角为60°，∴=4，
解得=，即=．----------------12分
20.（1）由题意知：抛物线方程为：且 -------1分
设
设直线代入得
-------- 2分
假设存在满足题意，则
----- ------5分
存在T（1,0）----------------6分
（2）（法一）
----------------7分
设直线OA,OB的倾斜角分别为
，--------9分
设
------11分
----------------------12分
法二：
-----------------------7分
---------9分
-------11分
--------------------12分
21.（1）解：f'（x）=lnx+1（x＞0），令f'（x）=0，得．
∵当时，f'（x）＜0；当时，
f'（x）＞0，
∴当时，．----------------- 4分
（2）F（x）=ax2+lnx+1（x＞0），．
①当a≥0时，恒有F'（x）＞0，F（x）在（0，+∞）上是增函数；
②当a＜0时，
令F'（x）＞0，得2ax2+1＞0，解得；
令F'（x）＜0，得2ax2+1＜0，解得．
综上，当a≥0时，F（x）在（0，+∞）上是增函数；
当a＜0时，F（x）在上单调递增，在上单调递减．------------------------------------8分
（3）证：．
要证，即证，等价于证，令，
则只要证，由t＞1知lnt＞0，
故等价于证lnt＜t﹣1＜tlnt（t＞1）（*）．
①设g（t）=t﹣1﹣lnt（t≥1），则，
故g（t）在[1，+∞）上是增函数，
∴当t＞1时，g（t）=t﹣1﹣lnt＞g（1）=0，即t﹣1＞lnt（t＞1）．
②设h（t）=tlnt﹣（t﹣1）（t≥1），则h'（t）=lnt≥0（t≥1），故h（t）在[1，+∞）上是增函数，
∴当t＞1时，h（t）=tlnt﹣（t﹣1）＞h（1）=0，即t﹣1＜tlnt（t＞1）．
由①②知（*）成立，得证．---------------------------------12分
22. 证明：（Ⅰ）连接，因为,所以. 2分
又因为，所以，
又因为平分，所以， 4分
所以，即，所以是的切线. 5分
（Ⅱ）连接，因为是圆的直径，所以，
因为， 8分
所以△∽△，所以，即.
10分
23.（1）由得，所以的直角坐标方程是--2分
由已知得的直角坐标方程是，
当时射线与曲线交点的直角坐标为，-----------3分
的直角坐标方程是.①-----------5分
（2）联立与得或，不是极点.---6分
又可得， 的参数方程为② -------8分
将②带入①得,设点的参数是，则
-------10分
24解：（Ⅰ）由|x﹣a|≤m得a﹣m≤x≤a+m，
所以解之得为所求．----------------4分
（Ⅱ）当a=2时，f（x）=|x﹣2|，
所以f（x）+t≥f（x+2t）?|x﹣2+2t|﹣|x﹣2|≤t，①
当t=0时，不等式①恒成立，即x∈R；
当t＞0时，不等式
解得x＜2﹣2t或或x∈?，即；
综上，当t=0时，原不等式的解集为R，
当t＞0时，原不等式的解集为．-----------10分