人教版（2019）高中数学选择性必修第一册3.3抛物线及其标准方程（1）(共34张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教版（2019）高中数学选择性必修第一册3.3抛物线及其标准方程（1）(共34张PPT) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 2.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-02-16 11:06:14 | ||
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文档简介
(共34张PPT)
抛物线
环节一 抛物线及其标准方程（1）
引入新课
通过前面的学习可以发现，如果动点M到定点F的距离与它到定直线l（定直线l不过点F）的距离之比为k．
当0当k>1时，点M的轨迹为双曲线．
当k=1时，即动点M到定点F的距离与它到定直线l的距离相等时，点M的轨迹又会是什么形状？
下面我们就来研究这个问题．
思考
探索抛物线的概念
如何画出平面内任意一点到定点F的距离及其到定直线l（不过定点F）的距离？
答案：取平面内任意一点M，连接MF，过点M作MH垂直于直线l，并交直线l于点H，得到线段MF、MH．
线段MF为点M到定点F的距离，线段MH为点M到定直线l的距离．
问题1
H
l
M
F
探索抛物线的概念
追问1：如何取点M，才能使|MF|＝|MH|？
答案：从“等腰三角形三线合一”这一角度，或者从“到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”这一角度，都可以得到|MF|＝|MH|的结论，即点M应为线段HF垂直平分线上的点．
问题1
操作：利用信息技术作图，并进行动态演示．F是定点，l是不经过点F的定直线，H是直线l上任意一点，过点H作MH⊥l，线段FH的垂直平分线m交MH于点M．拖动点H，点M随之运动．
探索抛物线的概念
问题1
m
l
M
H
F
E
追问2：在演示过程中，随着点M的位置变化，是否存在不变的关系？点M的轨迹是什么形状呢？
答案：MF和MH的大小随着点M的变化而变化，但始终有|MF|=|MH|．点M的轨迹形状与二次函数的图象相似．
我们把平面内与一个定点F和一条定直线l（不过定点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线（parabola）．
其中点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
探索抛物线的概念
问题1
追问3：定义中的需要注意的要点有什么？
答案：定义中的要点有，一是抛物线的几何特征，二是直线l不过点F．
若点F在直线l上，动点的轨迹是过点F且垂直于直线l的一条直线．
探索抛物线的概念
问题1
观察抛物线，我们应如何选择坐标系，可能使所建立的抛物线方程更简单？
探索抛物线的概念
问题2
答案：通过观察抛物线的形状，直观发现抛物线的对称性，确定x轴所在的位置．取过点F且垂直于直线l的所在直线为x轴，垂足为K．
而y轴（原点）所在的位置，可以想到以下三种方案．
抛物线标准方程的建立
问题2
方案（一）
方案（三）
方案（二）
O
x
y
F
(K)O
M
x
y
O
F
K
M
x
y
O(F)
K
M
追问1：我们知道二次函数的图象就是抛物线，我们对二次函数的知识进行迁移．当二次函数的顶点在坐标系什么位置的时候，二次函数的解析式最简单？
我们应该选择以上哪种方案呢？
答案：二次函数的顶点在原点时，二次函数的解析式最简单，因而方案（三）的曲线方程应最简单．
抛物线标准方程的建立
问题2
答案：使得原点与线段KF的中点重合，建立平面坐标系xOy．
抛物线标准方程的建立
问题2
追问1：我们知道二次函数的图象就是抛物线，我们对二次函数的知识进行迁移．当二次函数的顶点在坐标系什么位置的时候，二次函数的解析式最简单？我们应该选择以上哪种方案呢？
设|KF|=p (p>0)，则抛物线的焦点坐标 ，准线 ．
若点M(x，y)是抛物线上任意一点，则点M到准线l的距离为d．
抛物线标准方程的建立
问题2
两边平方并化简，得
追问1：我们知道二次函数的图象就是抛物线，我们对二次函数的知识进行迁移．当二次函数的顶点在坐标系什么位置的时候，二次函数的解析式最简单？
我们应该选择以上哪种方案呢？
所以 ．
因为 ， ，
答案：由抛物线的定义，抛物线是点的集合 ．
追问2：抛物线上的点的坐标与方程y2=2px①的解之间是否是一一对应关系？
答案：从上述过程可看到，抛物线上任意一点的坐标(x，y)都是方程①的解．
抛物线标准方程的建立
问题2
即曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程．
的距离相等，所以以方程①的解为坐标的点都在抛物线上．
抛物线上的点的坐标与方程①的解之间是一一对应的关系．
以方程①的解为坐标的点(x，y) ，到抛物线的焦点 的距离和准线
追问2：抛物线上的点的坐标与方程y2=2px①的解之间是否是一一对应关系？
抛物线标准方程的建立
答案：我们把方程 ①叫做抛物线的标准方程．
问题2
p的几何意义是：焦点到准线的距离．
它表示焦点在x轴正半轴上，焦点是 ，准线是 的抛物线．
在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选择不同的坐标系，我们得到了不同形式的标准方程．抛物线的标准方程还会有哪些形式呢？请探究并完成表格．
抛物线标准方程的建立
问题3
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
x
y
O
F
x
y
O
F
x
y
O
F
x
y
O
F
x
y
O
F
x
y
O
F
x
y
O
F
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选择不同的坐标系，我们得到了不同形式的标准方程．抛物线的标准方程还会有哪些形式呢？请探究并完成表格．
抛物线标准方程的建立
问题3
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
x
y
O
F
x
y
O
F
x
y
O
F
x
y
O
F
x
y
O
F
x
y
O
F
x
y
O
F
图形
y22px (p>0)
y22px (p>0)
x22py (p>0)
x22py (p>0)
标准方程
焦点坐标
准线方程
抛物线
环节二 抛物线及其标准方程（2）
复习回顾
上节课，我们探索了抛物线的定义及其标准方程，本节课，我们先来回顾一下相关知识——抛物线是如何定义的？它的标准方程有几种形式？分别是怎样的？
答案：抛物线的定义
我们把平面内与一个定点F和一条定直线l（不过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．
问题1
复习回顾
答案：抛物线的标准方程共有四种形式．
问题1
图形
x
y
O
F
y2=2px (p>0)
x
y
O
F
y2=2px (p>0)
x
y
O
F
x2=2py (p>0)
x
y
O
F
x2=2py (p>0)
标准方程
焦点坐标
准线方程
课堂探究
结合上表，比较四种形式下的抛物线的图形、标准方程、焦点坐标、准线方程的相同点和不同点．并思考，如何通过抛物线的方程确定其焦点位置．
答案：相同点
问题2
（2）对称轴为坐标轴．
（1）抛物线都过原点．
（3）准线都与对称轴垂直；垂足与焦点在对称轴上且关于原点对称，它们到原点的距离都等于 ；焦点到准线的距离都为p．
课堂探究
答案：不同点
（2）开口方向与坐标轴正向一致时，焦点在此坐标轴的正半轴上，方程右边取正号；开口方向与坐标轴负向一致时，焦点在此坐标轴的负半轴上，方程右边取负号．
（1）图形关于x轴对称时，方程中x为一次项，y为二次项；方程左边为y ，右边为±2px；图形关于y轴对称时，方程中y为一次项，x为二次项，方程左边为x ，右边为±2py．
问题2
课堂探究
抛物线的焦点位置，看一次项的变量(x或y)定焦点所在轴，看一次项系数的正负定焦点在正半轴或负半轴．
答案：
问题2
课堂探究
二次函数y＝ax (a≠0)的图象为什么是抛物线？指出它的焦点坐标及准线方程．
答案：二次函数y＝ax (a≠0)可化为 ．它表示的曲线是以 为焦点， 为准线的抛物线．
问题3
x
y
O
F
x
y
O
F
课堂探究
答案：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下．
追问：二次函数y＝ax (a≠0)的图象的开口方向是怎样的？
问题3
x
y
O
F
x
y
O
F
知识应用
例1
（1）已知抛物线的标准方程是y2＝6x，求它的焦点坐标和准线方程．
（2）已知抛物线的焦点坐标是(0，－2)，求它的标准方程．
知识应用
例1解析
（2）因为抛物线的焦点在y轴负半轴上，而且 ＝2，所以p＝4，故抛物线的标准方程为x2＝－8y．
（1）因为p＝3，抛物线的焦点在x轴正半轴上，所以它的焦点坐标是F( ，0)，准线方程为 ．
知识应用
练习1
根据下列条件，写出抛物线的标准方程．
（1）焦点坐标是(-5，0)．
（3）焦点到准线的距离是2．
（4）焦点在直线x－y－4＝0上．
（2）准线方程是 ．
知识应用
练习1解析
（1）因为抛物线的焦点在x轴负半轴上，而且 ＝5，所以p＝10，故抛物线的标准方程为y2＝－20x．
（2）因为抛物线的准线方程为 ，而且 ，所以 ，故抛物线的标准方程为y2＝x．
（3）因为焦点到准线的距离为2，即p＝2，所以抛物线的标准方程为y2＝4x或y2＝－4x或x2＝4y或x2＝－4y．
知识应用
练习1解析
（4）根据焦点在x轴和y轴分类讨论．
②令y＝0，由方程x－y－4＝0，得x＝4，所以抛物线的焦点坐标是(4，0)，则抛物线的焦点在x轴正半轴上，且p＝8，故抛物线的标准方程为y2＝16x．
①令x＝0，由方程 x－y－4＝0，得y＝－4，所以抛物线的焦点坐标是(0，－4)，则抛物线的焦点在y轴负半轴上，且p＝8，故抛物线的标准方程为x2＝－16y．
综上可知，所求抛物线的标准方程为x2＝－16y或y2＝16x．
知识应用
一种卫星接收天线如图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线．在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处．已知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为1m．试建立适当的坐标系，并求出抛物线的标准方程和焦点坐标．
例2
知识应用
如图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，焦点在x轴上．
设抛物线的标准方程为y2＝2px（p>0）．
由已知条件，可得点A的坐标是(1，2.4)，
例2解析
代入方程，得2.42＝2p×1，即p＝2.88．
故所求抛物线的标准方程为y2＝5.76x，焦点坐标为(1.44，0)．
知识应用
练习2
已知点M为抛物线y2＝2px（p>0）上一点，若点M的横坐标为x0，则点M到焦点的距离是多少？
知识应用
练习2解析
由抛物线的定义，点M 到焦点的距离等于它到准线的距离，
由于点M的横坐标为x0，则点M到准线的距离为 ，
故点M 到焦点的距离等于 ．
再 见
抛物线
环节一 抛物线及其标准方程（1）
引入新课
通过前面的学习可以发现，如果动点M到定点F的距离与它到定直线l（定直线l不过点F）的距离之比为k．
当0
当k=1时，即动点M到定点F的距离与它到定直线l的距离相等时，点M的轨迹又会是什么形状？
下面我们就来研究这个问题．
思考
探索抛物线的概念
如何画出平面内任意一点到定点F的距离及其到定直线l（不过定点F）的距离？
答案：取平面内任意一点M，连接MF，过点M作MH垂直于直线l，并交直线l于点H，得到线段MF、MH．
线段MF为点M到定点F的距离，线段MH为点M到定直线l的距离．
问题1
H
l
M
F
探索抛物线的概念
追问1：如何取点M，才能使|MF|＝|MH|？
答案：从“等腰三角形三线合一”这一角度，或者从“到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”这一角度，都可以得到|MF|＝|MH|的结论，即点M应为线段HF垂直平分线上的点．
问题1
操作：利用信息技术作图，并进行动态演示．F是定点，l是不经过点F的定直线，H是直线l上任意一点，过点H作MH⊥l，线段FH的垂直平分线m交MH于点M．拖动点H，点M随之运动．
探索抛物线的概念
问题1
m
l
M
H
F
E
追问2：在演示过程中，随着点M的位置变化，是否存在不变的关系？点M的轨迹是什么形状呢？
答案：MF和MH的大小随着点M的变化而变化，但始终有|MF|=|MH|．点M的轨迹形状与二次函数的图象相似．
我们把平面内与一个定点F和一条定直线l（不过定点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线（parabola）．
其中点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
探索抛物线的概念
问题1
追问3：定义中的需要注意的要点有什么？
答案：定义中的要点有，一是抛物线的几何特征，二是直线l不过点F．
若点F在直线l上，动点的轨迹是过点F且垂直于直线l的一条直线．
探索抛物线的概念
问题1
观察抛物线，我们应如何选择坐标系，可能使所建立的抛物线方程更简单？
探索抛物线的概念
问题2
答案：通过观察抛物线的形状，直观发现抛物线的对称性，确定x轴所在的位置．取过点F且垂直于直线l的所在直线为x轴，垂足为K．
而y轴（原点）所在的位置，可以想到以下三种方案．
抛物线标准方程的建立
问题2
方案（一）
方案（三）
方案（二）
O
x
y
F
(K)O
M
x
y
O
F
K
M
x
y
O(F)
K
M
追问1：我们知道二次函数的图象就是抛物线，我们对二次函数的知识进行迁移．当二次函数的顶点在坐标系什么位置的时候，二次函数的解析式最简单？
我们应该选择以上哪种方案呢？
答案：二次函数的顶点在原点时，二次函数的解析式最简单，因而方案（三）的曲线方程应最简单．
抛物线标准方程的建立
问题2
答案：使得原点与线段KF的中点重合，建立平面坐标系xOy．
抛物线标准方程的建立
问题2
追问1：我们知道二次函数的图象就是抛物线，我们对二次函数的知识进行迁移．当二次函数的顶点在坐标系什么位置的时候，二次函数的解析式最简单？我们应该选择以上哪种方案呢？
设|KF|=p (p>0)，则抛物线的焦点坐标 ，准线 ．
若点M(x，y)是抛物线上任意一点，则点M到准线l的距离为d．
抛物线标准方程的建立
问题2
两边平方并化简，得
追问1：我们知道二次函数的图象就是抛物线，我们对二次函数的知识进行迁移．当二次函数的顶点在坐标系什么位置的时候，二次函数的解析式最简单？
我们应该选择以上哪种方案呢？
所以 ．
因为 ， ，
答案：由抛物线的定义，抛物线是点的集合 ．
追问2：抛物线上的点的坐标与方程y2=2px①的解之间是否是一一对应关系？
答案：从上述过程可看到，抛物线上任意一点的坐标(x，y)都是方程①的解．
抛物线标准方程的建立
问题2
即曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程．
的距离相等，所以以方程①的解为坐标的点都在抛物线上．
抛物线上的点的坐标与方程①的解之间是一一对应的关系．
以方程①的解为坐标的点(x，y) ，到抛物线的焦点 的距离和准线
追问2：抛物线上的点的坐标与方程y2=2px①的解之间是否是一一对应关系？
抛物线标准方程的建立
答案：我们把方程 ①叫做抛物线的标准方程．
问题2
p的几何意义是：焦点到准线的距离．
它表示焦点在x轴正半轴上，焦点是 ，准线是 的抛物线．
在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选择不同的坐标系，我们得到了不同形式的标准方程．抛物线的标准方程还会有哪些形式呢？请探究并完成表格．
抛物线标准方程的建立
问题3
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
x
y
O
F
x
y
O
F
x
y
O
F
x
y
O
F
x
y
O
F
x
y
O
F
x
y
O
F
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选择不同的坐标系，我们得到了不同形式的标准方程．抛物线的标准方程还会有哪些形式呢？请探究并完成表格．
抛物线标准方程的建立
问题3
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
x
y
O
F
x
y
O
F
x
y
O
F
x
y
O
F
x
y
O
F
x
y
O
F
x
y
O
F
图形
y22px (p>0)
y22px (p>0)
x22py (p>0)
x22py (p>0)
标准方程
焦点坐标
准线方程
抛物线
环节二 抛物线及其标准方程（2）
复习回顾
上节课，我们探索了抛物线的定义及其标准方程，本节课，我们先来回顾一下相关知识——抛物线是如何定义的？它的标准方程有几种形式？分别是怎样的？
答案：抛物线的定义
我们把平面内与一个定点F和一条定直线l（不过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．
问题1
复习回顾
答案：抛物线的标准方程共有四种形式．
问题1
图形
x
y
O
F
y2=2px (p>0)
x
y
O
F
y2=2px (p>0)
x
y
O
F
x2=2py (p>0)
x
y
O
F
x2=2py (p>0)
标准方程
焦点坐标
准线方程
课堂探究
结合上表，比较四种形式下的抛物线的图形、标准方程、焦点坐标、准线方程的相同点和不同点．并思考，如何通过抛物线的方程确定其焦点位置．
答案：相同点
问题2
（2）对称轴为坐标轴．
（1）抛物线都过原点．
（3）准线都与对称轴垂直；垂足与焦点在对称轴上且关于原点对称，它们到原点的距离都等于 ；焦点到准线的距离都为p．
课堂探究
答案：不同点
（2）开口方向与坐标轴正向一致时，焦点在此坐标轴的正半轴上，方程右边取正号；开口方向与坐标轴负向一致时，焦点在此坐标轴的负半轴上，方程右边取负号．
（1）图形关于x轴对称时，方程中x为一次项，y为二次项；方程左边为y ，右边为±2px；图形关于y轴对称时，方程中y为一次项，x为二次项，方程左边为x ，右边为±2py．
问题2
课堂探究
抛物线的焦点位置，看一次项的变量(x或y)定焦点所在轴，看一次项系数的正负定焦点在正半轴或负半轴．
答案：
问题2
课堂探究
二次函数y＝ax (a≠0)的图象为什么是抛物线？指出它的焦点坐标及准线方程．
答案：二次函数y＝ax (a≠0)可化为 ．它表示的曲线是以 为焦点， 为准线的抛物线．
问题3
x
y
O
F
x
y
O
F
课堂探究
答案：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下．
追问：二次函数y＝ax (a≠0)的图象的开口方向是怎样的？
问题3
x
y
O
F
x
y
O
F
知识应用
例1
（1）已知抛物线的标准方程是y2＝6x，求它的焦点坐标和准线方程．
（2）已知抛物线的焦点坐标是(0，－2)，求它的标准方程．
知识应用
例1解析
（2）因为抛物线的焦点在y轴负半轴上，而且 ＝2，所以p＝4，故抛物线的标准方程为x2＝－8y．
（1）因为p＝3，抛物线的焦点在x轴正半轴上，所以它的焦点坐标是F( ，0)，准线方程为 ．
知识应用
练习1
根据下列条件，写出抛物线的标准方程．
（1）焦点坐标是(-5，0)．
（3）焦点到准线的距离是2．
（4）焦点在直线x－y－4＝0上．
（2）准线方程是 ．
知识应用
练习1解析
（1）因为抛物线的焦点在x轴负半轴上，而且 ＝5，所以p＝10，故抛物线的标准方程为y2＝－20x．
（2）因为抛物线的准线方程为 ，而且 ，所以 ，故抛物线的标准方程为y2＝x．
（3）因为焦点到准线的距离为2，即p＝2，所以抛物线的标准方程为y2＝4x或y2＝－4x或x2＝4y或x2＝－4y．
知识应用
练习1解析
（4）根据焦点在x轴和y轴分类讨论．
②令y＝0，由方程x－y－4＝0，得x＝4，所以抛物线的焦点坐标是(4，0)，则抛物线的焦点在x轴正半轴上，且p＝8，故抛物线的标准方程为y2＝16x．
①令x＝0，由方程 x－y－4＝0，得y＝－4，所以抛物线的焦点坐标是(0，－4)，则抛物线的焦点在y轴负半轴上，且p＝8，故抛物线的标准方程为x2＝－16y．
综上可知，所求抛物线的标准方程为x2＝－16y或y2＝16x．
知识应用
一种卫星接收天线如图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线．在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处．已知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为1m．试建立适当的坐标系，并求出抛物线的标准方程和焦点坐标．
例2
知识应用
如图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，焦点在x轴上．
设抛物线的标准方程为y2＝2px（p>0）．
由已知条件，可得点A的坐标是(1，2.4)，
例2解析
代入方程，得2.42＝2p×1，即p＝2.88．
故所求抛物线的标准方程为y2＝5.76x，焦点坐标为(1.44，0)．
知识应用
练习2
已知点M为抛物线y2＝2px（p>0）上一点，若点M的横坐标为x0，则点M到焦点的距离是多少？
知识应用
练习2解析
由抛物线的定义，点M 到焦点的距离等于它到准线的距离，
由于点M的横坐标为x0，则点M到准线的距离为 ，
故点M 到焦点的距离等于 ．
再 见