第1讲 求通项公式
公式法
公式法:若判定出数列是等差数列或者等比数列,就直接带人等差数列或等比数列的通项公式或进行求解.
【例1】已知等差数列的前项和为,且满足,求数列的通项公式.
【例2】已知公比大于0的等比数列的前项和为是和的等差中项,求数列的通项公式.
累加法
累加法:如果递推公式的形式为,则可利用累加法求通项公式.
使用时要满足:
(1)等号右边为关于的表达式,且能够进行求和.
(2)的系数同构(结构相同),且为作差的形式.
【例1】数列满足:,且,求.
【例2】在数列中,已知,求数列的通项公式.
【例3】已知数列满足:,求数列的通项公式.
累乘法
累乘法:如果递推公式的形式为:,则可利用累乘法求通项公式.
【例1】已知数列满足:,且,求.
【例2】已知数列满足:1),求数列的通项公式.
【例3】数列满足:,求的通项公式.
构造法
构造法的核心步骤：
第一步:恒等变形.对递推公式(相邻几项的式子)进行恒等式变形,所谓恒等变形就是对等式两边的项进行同加、同减、同乘、同除或者拆分合并.
第二步:同构式.恒等变形的目的是变形出同构式,所谓同构式就是结构相同的式子,如:和是同构式.
第三步:整体代换.将同构式视为一个整体,整体代换后构造出新的等差数列或者等比数列,该数列作为辅助数列.通过求出辅助数列的通项公式,便可算出原数列的通项公式,以下是我们需要重点掌握的几种常见的构造法的结构.
结构一：一次函数结构型
递推公式的结构如同一次函数结构型:均为常数,且.
一般方法:设,得到,可得出数列是以为公比的等比数列,从而可求出.
【例1】在数列中,2,求数列的通项公式.
【例2】在数列中,1,试求其通项公式.
结构二:一次函数结构变形
递推公式的结构形如为常数.
一般方法:此类问题可先处理,两边同时除以,得,进而构造成,设,从而变成,从而将问题转化为一次函数结构型.
【例1】在数列中,,求数列的通项公式.
【例2】已知数列满足:,求数列的通项公式.
结构三:分式结构型
递推式的结构形如为常数,.
一般方法:两边取倒数后,得到一个新的特殊(等差或等比)数列或类似于一次函数结构型.
【例1】设数列的前列项和为,已知,求数列的通项公式.
【例2】已知在数列中,,求证:是等比数列,并求数列的通项公式.
【例3】已知数列满足,且.证明:数列是等差数列,并求数列的通项公式.
结构四:差式结构型
递推式的结构形如.
一般方法:可以考虑等式两边同时除以,转化为的形式,进而可设,递推公式变为,移项变形可得,若,则为等差数列,否则转变为一次函数结构型求解.
已知在数列中,,且.
在数列中,,求数列的通项公式.
结构五:三项递推结构
递推式的结构形如:.
一般方法:可根据两边项的系数对中间项拆分变形为:,得到同构式,整体代换后进行求解.
【例1】已知在数列中,,且,求.
【例2】已知在数列中,,.
(1)求证:数列是等比数列.
(2)求数列的通项公式.
相减消去法
题目中出现关于的关系式,求通项公式,这类题目经常考.利用,一方面可求出首项,另一方面可考虑将等式相减消去或转化为纯或纯的递推式,再利用上一讲中递推式的方法来求解,但这里要注意的是求出通项公式后还要对首项进行验证.
方法一：纯通项公式法
已知与的关系式为,消去的一般解题步骤如下:
第一步:类比出与的关系式,即.
第二步:两式作差,消去,剩下只的递推公式,即,按照前面所讲的方法根据递推公式,求解通项公式.
第三步:一定要注意最后检验是否满足用上面的方法求出的通项.
【例1】在数列中,已知,证明:数列是等比数列,并求出数列的通项公式.
设数列的前项和为,已知,且,证明:为等比数列,并求数列的通项公式.
【例3】在数列中,,求数列的通项公式.
方法二:纯求通项法
已知与的关系式为,消去的解题步骤如下:
第一步:直接把带人,从而消去,即.
第二步:剩下只含的递推公式,按照前面所讲方法,根据递推公式,求解前项和公式.
第三步:再作差,得通项公式,一定要注意最后检验是否满足求出的通项.
【例1】已知数列的前项和为,,且当时,,求数列的通项公式.
【例2】已知数列的前项和,.
(1)求证:数列为等差数列.
(2)求数列的通项公式.第1讲 求通项公式
公式法
公式法:若判定出数列是等差数列或者等比数列,就直接带人等差数列或等比数列的通项公式或进行求解.
【例1】已知等差数列的前项和为,且满足,求数列的通项公式.
【解析】设数列的公差为,依题意得
解得.
.
【例2】已知公比大于0的等比数列的前项和为是和的等差中项,求数列的通项公式.
【解析】设数列的公比为.
由题意知,
即,
,
,
累加法
累加法:如果递推公式的形式为,则可利用累加法求通项公式.
使用时要满足:
(1)等号右边为关于的表达式,且能够进行求和.
(2)的系数同构(结构相同),且为作差的形式.
【例1】数列满足:,且,求.
【解析】
累加可得
【例2】在数列中,已知,求数列的通项公式.
【解析】
以上各式相加可得.
又∵,
显然符合上式,
【例3】已知数列满足:,求数列的通项公式.
【解析】∵,
将以上个式子相加得
,
即.
∴.
当时,也符合上式,
∴.
累乘法
累乘法:如果递推公式的形式为:,则可利用累乘法求通项公式.
【例1】已知数列满足:,且,求.
【解析】
【例2】已知数列满足:1),求数列的通项公式.
【解析】
【例3】数列满足:,求的通项公式.
【解析】由
得.
,
构造法
构造法的核心步骤：
第一步:恒等变形.对递推公式(相邻几项的式子)进行恒等式变形,所谓恒等变形就是对等式两边的项进行同加、同减、同乘、同除或者拆分合并.
第二步:同构式.恒等变形的目的是变形出同构式,所谓同构式就是结构相同的式子,如:和是同构式.
第三步:整体代换.将同构式视为一个整体,整体代换后构造出新的等差数列或者等比数列,该数列作为辅助数列.通过求出辅助数列的通项公式,便可算出原数列的通项公式,以下是我们需要重点掌握的几种常见的构造法的结构.
结构一：一次函数结构型
递推公式的结构如同一次函数结构型:均为常数,且.
一般方法:设,得到,可得出数列是以为公比的等比数列,从而可求出.
【例1】在数列中,2,求数列的通项公式.
【解析】设即.
对比,可得.
.
注意:在这里,即为同构式,把这个式子作为整体,就能构造出一个新的等比数列,这一种结构的处理方式也是固定的,就是直接设出,求解出即可.
【例2】在数列中,1,试求其通项公式.
【解析】,两边同时加上1,得,
因此,数列是以2为首项,以2为公比的等比数列.
结构二:一次函数结构变形
递推公式的结构形如为常数.
一般方法:此类问题可先处理,两边同时除以,得,进而构造成,设,从而变成,从而将问题转化为一次函数结构型.
【例1】在数列中,,求数列的通项公式.
【解析】
。
【例2】已知数列满足:,求数列的通项公式.
【解析】,等式两边同时除以得.
令,可得,按一次函数结构型处理可得
是以为公比,为首项的等比数列.
结构三:分式结构型
递推式的结构形如为常数,.
一般方法:两边取倒数后,得到一个新的特殊(等差或等比)数列或类似于一次函数结构型.
【例1】设数列的前列项和为,已知,求数列的通项公式.
【解析】由可得,
【例2】已知在数列中,,求证:是等比数列,并求数列的通项公式.
【解析】将两边同时取倒数得
3的等比数列.
【例3】已知数列满足,且.证明:数列是等差数列,并求数列的通项公式.
【解析】
即.
数列是以为公差,首项为的等差数列.
注意:本题可用后面讲的不动点理论解决.
结构四:差式结构型
递推式的结构形如.
一般方法:可以考虑等式两边同时除以,转化为的形式,进而可设,递推公式变为,移项变形可得,若,则为等差数列,否则转变为一次函数结构型求解.
已知在数列中,,且.
【解析】
累加可得.
在数列中,,求数列的通项公式.
【解析】
数列是以3为首项,2为公差的等差数列.
结构五:三项递推结构
递推式的结构形如:.
一般方法:可根据两边项的系数对中间项拆分变形为:,得到同构式,整体代换后进行求解.
【例1】已知在数列中,,且,求.
【解析】.
设,
则,
且.
数列以2为首项,以4为公差的等差数列.
【例2】已知在数列中,,.
(1)求证:数列是等比数列.
(2)求数列的通项公式.
【解析】(1)证明:,
.
,
.
数列是首项、公比均为2的等比数列.
(2)是等比数列,
.
.
.
当时,符合上式,
数列的通项公式为.
相减消去法
题目中出现关于的关系式,求通项公式,这类题目经常考.利用,一方面可求出首项,另一方面可考虑将等式相减消去或转化为纯或纯的递推式,再利用上一讲中递推式的方法来求解,但这里要注意的是求出通项公式后还要对首项进行验证.
方法一：纯通项公式法
已知与的关系式为,消去的一般解题步骤如下:
第一步:类比出与的关系式,即.
第二步:两式作差,消去,剩下只的递推公式,即,按照前面所讲的方法根据递推公式,求解通项公式.
第三步:一定要注意最后检验是否满足用上面的方法求出的通项.
在数列中,已知,证明:数列是等比数列,并求出数列的通项公式.
【解析】
①式-②式得,即.
由且得,
.
成立.
,
又,
数列是以1为
首项,2为公比的等比数列.
.
数列的通项公式是.
【例2】设数列的前项和为,已知,且,证明:为等比数列,并求数列的通项公式.
【解析】已知
令,得,即,
由,解得.
当时,由得
,
则.
,则成立.
数列是以为首项,为公比的等比数列.
,即.
【例3】在数列中,,求数列的通项公式.
【解析】
①式减②式得,即
数列是从第二项开始的、以3为公比的等比数列,
,
方法二:纯求通项法
已知与的关系式为,消去的解题步骤如下:
第一步:直接把带人,从而消去,即.
第二步:剩下只含的递推公式,按照前面所讲方法,根据递推公式,求解前项和公式.
第三步:再作差,得通项公式,一定要注意最后检验是否满足求出的通项.
已知数列的前项和为,,且当时,,求数列的通项公式.
【解析】当时,,代入已知可得,
项,2为公差的等差数列.
故当时,.
【例2】已知数列的前项和,.
(1)求证:数列为等差数列.
(2)求数列的通项公式.
【解析】
(1)令.
变形可得.
.
是以为首项,1为公差的等差数列.
.
(2)由(1)可得,
(1)当时,.
(2)当时,
.
当时,成立,所以.
