第7讲 向量法解决中点、中线问题
向量法:在中,角的对边分别为,已知点是边的中点,则通常会利用向量,平方后解决中线相关的问题,即
【例1】在△ABC中，角A,B,C的对边分别为.已知点是边的中点,若,求.
【例2】已知的三个角的对边分别为,点为边的中点,,求面积的最大值.
【例3】的角所对的边分别为.已知,点为边的中点,且,求的最大值.
第8讲 已知图形解三角形
这一类题目求解的核心在于找到三角形,判定是否满足“知三求三”.所谓“知三求三”就是已知三角形中的三个量来求解其他三个量,如果不满足上述条件,就需要找图形中的边角关系,来列方程求解,“知三求三”的情况如下.
1.AAS/ASA:已知两角与一边,由及,可先求出角及,再求出.
2.SAS:已知两边及其夹角,由,先求出,再求出角.3.SSS:已知三边,由余弦定理可求出角.
4.ASS:已知两边及其中一边的对角,由正弦定理可求出另一边的对角,由,可求出角,再由可求出.通过求角时,可能有一解或两解或无解的情况.
在中,已知和角时,解的情况如下表所示.
注意:上表中为锐角时,,无解;为钝角或直角时,均无解.
求值
【例1】如下图所示,在中,点在边上,.
(1)求.
(2)若的面积为,求.
【例2】如下图所示,在中,角,的对边分别是,
,点在线段上,满足.
(1)求角的大小.
(2)若,求的值.
基本不等式求最值
【例1】如下图所示,在中,角,对应的边分别为,点在边上,且.
(1)若,求的长.
(2)若,求面积的最大值.
【例2】如下图所示,在平面四边形中,的平分线与交于点,且.
(1)求及的长.
(2)若,求四边形周长的最大值.
【例3】如下图所示,四边形的四个顶点共圆,,.
(1)求和的值.
(2)求四边形的周长的最大值.
函数法
典型例题
【例1】在如下图所示的四边形中,已知,,设点到的距离为.
(1)求用表示的解析式.
(2)求的最大值.
【例2】如下图所示,已知在中,角所对的边分别为,满足.
(1)求角B的大小.
(2),在直线的右侧取点,使得.当角为何值时,四边形面积最大
【例3】如下图所示,在四边形中,2,记.当为何值时,的面积有最小值 并求出最小值.第7讲 向量法解决中点、中线问题
向量法:在中,角的对边分别为,已知点是边的中点,则通常会利用向量,平方后解决中线相关的问题,即
【例1】在△ABC中，角A,B,C的对边分别为.已知点是边的中点,若,求.
【解析】点是边的中点,,
.将代入上式,整理得.
解得(舍去).
由余弦定理得
【例2】已知的三个角的对边分别为,点为边的中点,,求面积的最大值.
【解析】
即,当且仅当时,等号成立.
当且仅当时,取等号.
面积的最大值为.
【例3】的角所对的边分别为.已知,点为边的中点,且,求的最大值.
【解析】
第8讲 已知图形解三角形
这一类题目求解的核心在于找到三角形,判定是否满足“知三求三”.所谓“知三求三”就是已知三角形中的三个量来求解其他三个量,如果不满足上述条件,就需要找图形中的边角关系,来列方程求解,“知三求三”的情况如下.
1.AAS/ASA:已知两角与一边,由及,可先求出角及,再求出.
2.SAS:已知两边及其夹角,由,先求出,再求出角.3.SSS:已知三边,由余弦定理可求出角.
4.ASS:已知两边及其中一边的对角,由正弦定理可求出另一边的对角,由,可求出角,再由可求出.通过求角时,可能有一解或两解或无解的情况.
在中,已知和角时,解的情况如下表所示.
注意:上表中为锐角时,,无解;为钝角或直角时,均无解.
求值
【例1】如下图所示,在中,点在边上,.
(1)求.
(2)若的面积为,求.
【解析】(1)在中,设,
,
又,
由余弦定理得。
,
即，
解得.
.
此时为等边三角形,
.
(2),
解得.
则.
如下图所示,作交于.
由(1)知,在等边中,,,
在Rt中,
.
在中,由正弦定理得,
.
【例2】如下图所示,在中,角,
的对边分别是,
,点在线段上,满足.
(1)求角的大小.
(2)若,求的值.
【解析】(1)由正弦定理得,
,
.
又.
.
.
,解得.
(2),
为等边三角形.设,则,
在中,由余弦定理得9,解得.
基本不等式求最值
【例1】如下图所示,在中,角,对应的边分别为,点在边上,且.
(1)若,求的长.
(2)若,求面积的最大值.
【解析】(1),
.
在中,设,由余弦定理得.
在和中,由余弦定理得
整理得.
由(1)(2)式得.
(2),
,
由
面积的最大值为.
【例2】如下图所示,在平面四边形中,的平分线与交于点,且.
(1)求及的长.
(2)若,求四边形周长的最大值.
【解析】(1)在中,由正弦定理得
.
又,则,
.
,
,
.
在中,根据余弦定理得.
(2)令.在中,
由余弦定理得,
即有,即,
当且仅当时,等号成立.
四边形周长的最大值为.
【例3】如下图所示,四边形的四个顶点共圆,,.
(1)求和的值.
(2)求四边形的周长的最大值.
【解析】(1)在中,,.
利用余弦定理得,
解得或(舍去).
在中,,
.
由正弦定理得,
即,解得.
.
(2)由四边形的四个顶点共圆可知,,即.
又由(1)题知,,即为中最小的角,则
在中,利用余弦定理得,
整理得.
由不等式的基本性质得,
即.
解得,当且仅当时,等号成立.
四边形的周长的最大值为:
函数法
典型例题
【例1】在如下图所示的四边形中,已知,,设点到的距离为.
(1)求用表示的解析式.
(2)求的最大值.
【解析】(1)由已知得
在中,由正弦定理得
又
(2)在中,由正弦定理得,
,
于是
当时取得最大值
【例2】如下图所示,已知在中,角所对的边分别为,满足.
(1)求角B的大小.
(2),在直线的右侧取点,使得.当角为何值时,四边形面积最大
【解析】(1)法一:在中,由正弦定理得
.
.
.
.
.
法二:在中,由余弦定理得,
整理得.
.
.
(2)由(1)题知,.
为等边三角形.
设角,则在中,由余弦定理得,
,
.
四边形的面积.
,
.
当即时,.
当角时,四边形的面积取得最大值,最大值为.
【例3】如下图所示,在四边形中,2,记.当为何值时,的面积有最小值 并求出最小值.
【解析】
四边形的内角和为
在中
在中
当时,取最小值.
章末总结
恭喜成功打通第二关,攻克了解三角形这一板块的内容,又成功拿下一个小怪兽,还是一样的,我们从题型、方法、解题思路以及题型之间的联系,来用思维导图绘制出自己的知识结构图,重点需要掌握化边、化角两种思路,还有基本不等式法和函数法两种方法.
